[PDF] Chapitre1 : Groupes Si de plus ? est commutative





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Cours : Groupes

(R?×) est un groupe commutatif



Groupes sous-groupes

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00020.pdf



Alg`ebre 1-GROUPES

des applications est un groupe. Il peut être non commutatif même si. G l'est [exercice : montrer que c'est le cas pour G = Z/2Z × Z/2Z].



Chapitre1 : Groupes

Si de plus ? est commutative on dit que (G





1 Exemples de groupes sous-groupes

http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/calaque/Enseignements/TD-groupes.pdf



Sans titre

Comment montrer qu'un groupe est cyclique ? 5. Comment montrer qu'un un groupe commutatif et T l'ensemble des éléments de G d'ordre fini. Montrer que T ...





Chapitre II Notion de structure de groupe

Définition : Un groupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne alors est dit commutatif (ou abélien). ... Ce qui nous montre que ( ) ( ) ...



Chapitre 5 Lois de composition internes - Relations

Si de plus la loi est commutative



Exo7 - Cours de mathématiques

la loi de groupe est ¯ l’inverse s’appelle plus couramment l’opposé 5 En?n x¯ y? y¯x et donc (Z¯) est un groupe commutatif – (Q¯) (R¯) (C¯) sont des groupes commutatifs – Soit R l’ensemble des rotations du plan dont le centre est à l’origine O



Cours de mathématiques - Exo7

Le groupe (A ) est-il commutatif? Montrer que l’ensemble H formé des éléments f ? A tels que f(x)?f(y) = x?y pour tous xy ? R forme un sous-groupe de A En préciser les éléments 3 Soit G un sous-ensemble non vide ?ni de GL n Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes: (1) G est un sous-groupe de GL n (2



TD1 - Relation d’équivalence ensemble quotient

1) Montrer que HK est un sous-groupe de G 2) Soit ? : H ×K ? HK l’application dé?nie par ?(hk)=hk 2 1) Montrer que ? est un morphisme de groupes 2 2) Déterminer l’image de ? et montrer que ker ? = {(hh?1)h? H ?K} 2 3) Montrer que HK est isomorphe à un quotient du groupe H × K par un sous-groupe bien choisi



Exercices sur les groupes 1 Les inexcusables

1) Lemme 1 Montrer que le centre d'un p-groupe non trivial est non réduit à l'élément neutre (voir l'exercice 15) 2) Lemme 2 Soit Gun groupe et Hun sous-groupe du centre de G Montrer que HCG On suppose de plus que G=Hest un groupe monogène ( ni ou in ni) Montrer que Gest commutatif 3) Montrer qu'un groupe d'ordre p2 est commutatif



Exercices sur les structures algébriques - normale sup

montrer que (]?1;1[?) est un groupe commutatif Montrer qu'il est isomorphe à (R+) Exercice 5 On considère l'ensemble constitué des six fonctions de R{0;1} dans lui-même suivantes : f 1(x) = x f 2(x) = 1 1?x f 3(x) = x x?1 f 4(x) = 1 x f 5(x) = 1 ? x et f 6(x) = x?1 x Montrer qu'il s'agit d'un groupe pour la



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Dé?nition 1 1 Un groupe est un triplet (Gme) composé d’un ensemble G d’une application m : G×G ? G (aussi appelée loi de composition interne) et d’un élément e ? G tels que : i) la loi m est associative : ?(g 1g 2g 3) ? G3 m(m(g 1g 2)g 3) = m(g 1m(g 2g 3)) ii) l’élément e est neutre : ?g ? G m(eg) = m

Comment montrer qu’un ensemble est un groupe ?

Montrer qu’un ensemble est un groupe à partir de la dé?nition peut être assez long. Il existe uneautre technique, c’est de montrer qu’un sous-ensemble d’un groupe est lui-même un groupe : c’estla notion de sous-groupe. Soit (G,?) un groupe. e2H, pour toutx2H, on ax¡12H.

Comment montrer qu'un groupe est un groupe monogène ?

Pour les group es faut con aître la clas ication. Lemme Montrer 2. 15). est un groupe monogène (ni ou inni). Montrer que est non réduit à l'élément neutre (voirPrépa Agreg G. On sup ose de est commutatif. est commutatif. 6) 5) Complément. ? 3 Group e quotient G. On dénit des nombres premiers distincts). pour RH 8x ) 8x xHx1 0RHnG). ). :

Comment montrer qu'un morphisme est un pro duit de commutateurs ?

Z(O(V)),Z(SO(V)). Group e dérivé un group e. Pour commutateurs. est un pro duit de commutateurs. D(G) = 1. un morphisme de group es. Montrer que l'est). l'est pas. est (surjectif (resp. bijectif ) si l'est). Don er un exemple où Z(G) =G? ker'. groupe ab élien. Montrer que tout morphisme se : G!G=D(G). Homg r . (G=D(G); A)!Homg r . Homg r.

Comment écrire les permutations ?

Notation 9.10Ceci mène à une nouvelle manière d’écrire les permutations. Un cycle est noté enindiquant entre des parenthèses les images successives d’un point de son orbite non ponctuelle, parexemple la notation?= (134)désigne le3-cycle tel que?(1) = 3,?(3) = 4et?(4) = 1.

(Z,+)

G=ta,b,cu ♡

x♡y x y a b c a a b c b b c a c c a b a b♡c=c♡b=a G

¯x x

xPG,¯¯x=x x,yPG x,y,zPG x=y ā ĕ x1=x2 nPNx$n

˛x$0 =e

(x$n)$p=x$(nˆp) Ŀ ŀ xPGnPN x$(´n) = ¯x$n x$(´n) = x$n

ĕ Z

(G,ˆ) 1G xPG x´1 x

ˆ xˆy xy

(x´1)´1=x (xy)´1=y´1x´1 xy=zðñx=zy´1 yx=zðñx=y´1z xz=yzùñx=y zx=zyùñx=y x

0= 1Gx1=x

@nPN,x(n+1)=xnx@nPN,x´1= (x´1)n= (xn)´1 @n,pPZ,xnxp=x(n+p)@n,pPZ,(xn)p=xnˆp (G,+) xPG ´x x

´(´x) =x

´(x+y) = (´y) + (´x) = (´x) + (´y)

(y+x=)x+y=zðñx=z+ (´y) z+ (´y) z´y x+z=y+zùñx=y

0.x= 0G1.x=x

@nPN,(n+ 1).x=n.x+x@nPN,(´n).x=n.(´x) =´(n.x) ´n.x @n,pPZ,n.x+p.x= (n+p).xp.(n.x) = (pˆn).x

EE ˝ S(E) (S(E),˝)

E ĕ E

EE EE

EPS(E)

fPS(E) ˝ f´1 (S(E),˝) abc E f,g:EÑE '%f(a) =b f(b) =a @xPEzta,bu,f(x) =x,$ '%g(b) =c g(c) =b @xPEztb,cu,g(x) =x.

ā f˝g‰g˝f

(f˝g)(a) =f(g(a)) =f(a) =b, g˝f)(a) =g(f(a)) =g(b) =c.

Sn (S(E),˝)E=t1,2,3,...,nu Sn n!

S2S2=t,τu ɍ :t1,2u ÝÑ t1,2u

xÞÝÑx τ:t1,2u Ñ t1,2u

τ(1) = 2τ(2) = 1

x˝y x y

S3S3=tE,τ1,2,τ2,3,τ3,1,s,s1u ɍ

:t1,2,3u ÝÑ t1,2,3u xÞÝÑx a,b:t1,2,3u Ñ t1,2,3u τa,b(a) =bτa,b(b) =aτa,b(x) =x s:t1,2,3u Ñ t1,2,3u s(1) = 2s(2) = 3s(3) = 1 s1:t1,2,3u Ñ t1,2,3u s1(1) = 3s1(2) = 1s1(3) = 2 x˝y x y

τ1,2τ1,3τ2,3s s1

τ1,2τ1,3τ2,3s s1

1,2

1,2s1s τ2,3τ1,3

1,3

1,3ss1τ1,2τ2,3

2,3

2,3s1sτ1,3τ1,2

s s τ

1,3τ2,3τ1,2s1

s 1 s

1τ2,3τ1,2τ1,3s

(F(A,G),b) ɍA (G,ˆ) b @f,gPF(A,G), fbg:AÝÑG xÞÝÑf(x)ˆg(x) n nPN,ně2 Z "n @x,yPZ,x"nyùñy´xPnZ @xPZ,x"nx x´x= 0PnZ x,yPZ x"ny y´xPnZ x´yPnZ y"nx z´y=nk1ɍk1PZ z´x= (z´y) + (y´x) =n(k1+k)PnZ x"nz x,x1,y,y1PZ x"nx1y"ny1 x´x1PnZy´y1PnZ x´x1+y´y1PnZ @x,yPZ,(˙x= ˙yðñx"y[n]) x,yPZ x"y[n] zP˙x z"x[n] z"y[n]"n zP˙y ˙xĂ˙y ā˙yĂ˙x ˙x= ˙y

Z/nZ n x,yPZ ˙x'˙y=˙Ŕx+y

' Z/nZ (Z/nZ,') a=x´nk ɍk=[x n n

Z/nZ n ˙a,aPJ0,n´1K

n

ăk+1

k=[y n n n

ă1 k=[y

n ]= 0 y=x+nk=x @x,yPJ0,n´1K,˙x= ˙yùñx=y @x,yPJ0,n´1K,x‰yùñ˙x‰˙y

Z/nZ n ˙a,aPJ0,n´1K Z/nZ

n x y x1 ˙x1= ˙x y1 ˙y1= ˙y x1"nxy1"ny x1+y1"nx+y

Ŕx+y=˙Ŕx1+y1

' Z/nZ ' x,y,zPZ

(˙x'˙y)'˙z=˙Ŕx+y'˙z=˙Ŕ(x+y) +z=˙Ŕx+ (y+z) = ˙x'˙Ŕy+z= ˙x'(˙y'˙z)

Z/nZ ' ˙0 xPZ

˙x'˙0 =˙Őx+ 0 = ˙x=˙Ŕ0 +x=˙0'˙x xPZ y=´xyPZ ˙x'˙y=˙Ŕx+y=˙Ŕx+ (´x) =˙0 =˙Ŕ(´x) +x=˙Ŕy+x= ˙y'˙x

Z/nZ '

' x,yPZ x'˙y=˙Ŕx+y=˙Ŕy+x= ˙y'˙x (G,ˆ) H G H (G,ˆ) 1 GPH

H ˆ@x,yPH,xˆyPH

H (G,ˆ) ˆ H (H,ˆ)

R tzPC,zn= 1u 0 nPNnZ Z (G,ˆ) t1GuG G G

σ(A) ā A σ(A)ĂAùñσ(A) =A H

(Sn,˝) PH H ˝ σ(A)ĂAσ1(A)ĂA σ˝σ1(A)ĂA

H σ(A)ĂA σ´1(A)ĂA

σ(A)ĂA σ(A) =A xPA xPσ(A)

(F(R,R),+) tλf,λPRuɍf F(R,R) tfPF(R,R),f(0) = 0u C n(R,R)ɍnPNDn(R,R)ɍnPN T T k k Z/6Z t

1Z/6Z˙5

2˙4t˙0,˙2,˙4u

3t˙0,˙3u

(Z,+)

G Z t0u Z

ně1 G=nZ xPG xnx=nq+r ɍqPZrPJ0,n´1K r=x´nq=xloomoon

PG+(´nq)loomoon

r= 0răn xPnZ Z nZ ɍ nPN (G,ˆ) H G H (G,ˆ) %1 GPH @x,yPH,xy´1PH %1 GPH @x,yPH,xy´1PH

1GPHĘ

x= 1G yPHy´1PH (G,ˆ) G G (Hi)iPI G I H=Ş iPIHi

1GPH @iPI,1GPHi

x,yPH iPIxPHiyPHixy´1PHi xy´1PH

H (G,ˆ)

(G,ˆ) A G A

GA xAy=Ş

HPEH tau xay Z/6Zx˙2y=t˙0,˙2,˙4ux˙3y=t˙0,˙3ux˙5y=Z/6Z ˙5 Z/6Z xt

˙2,˙3uy=Z/6Zt˙2,˙3u Z/6Z

(R,+)x2πy= 2πZ xay=tak,kPZu 1G=a0 k,k

1PZ xy=akak1=ak+k1P tak,kPZu

x

´1= (ak)´1=a´kP tak,kPZu

aa=a1 (Z,+) ĕ Z=tk.1,kPZu=x1y

Z ĕ nZ=tk.n,kPZu=xny

(Un,ˆ) Un=tωk,kPZu=xωyɍω=e2π n (G,)(H,♡) (G,)(H,♡) φ:GÑ

H @x,yPG,φ(xy) =φ(x)♡φ(y)

xÞÑ? xÞÑax(R,+)(R,+) uÞÑ(u) Sc(N,R)(R,+) @x,yPG,φ(xy) =φ(x)φ(y)

φ(1G) = 1H

@xPG,φ(x´1) = (φ(x))´1 @xPG,@nPZ,φ(xn) = (φ(x))n a=aˆa´1= 1H xPG φ(x´1)φ(x) =φ(x´1x) =φ(1G) = 1H āφ(x)φ(x´1) = 1H

φ(x´1) = (φ(x))´1

xPG @nPN,φ(xn) = (φ(x))n n= 0φ(x0) =φ(1G) = 1H= (φ(x))0 nPN φ(xn) = (φ(x))n φ(xn+1) =φ(xnx) =φ(xn)φ(x) = (φ(x))nφ(x) = (φ(x))n+1 n

φ1H1H=φ(1G)

φ(xy)Pφ

φ=txPG,φ(x) = 1Hu

φ G

1

GPφφ(1G) = 1H

x,yPφ φ(xy) =φ(x)ˆφ(y) = 1Hˆ1H= 1H xyPφ xPφφ(x´1) = (φ(x))´1= (1H)´1= 1H x´1Pφ x,yPGφ(x) =φ(y)ðñxy´1Pφ

φ φ=t1Gu

φ(x) =φ(y)ðñφ(x)(φ(y))´1= 1Hðñφ(x)φ(y´1) = 1H

ðñφ(xy´1) = 1Hðñxy´1Pφ

xPφ φ(x) = 1H=φ(1G) φ x= 1G φĂ t1Gu

φ=t1Gu

x,yPG φ(x) =φ(y) xy´1Pφ xy´1= 1G x=y

θÞÝÑeθ

x,yPG =φHI(φGH(x)φGH(y)) = (φHI˝φGH(x))♡(φHI˝φGH(y))

φ (G,ˆ)(H,ˆ) φ´1 (H,ˆ)

φ (G,ˆ)(H,ˆ) x,yPH u,vPG φ(u) =x

uˆv=φ´1(x)ˆφ´1(y) φ´1 (H,ˆ)(G,ˆ) 2 2 @x,yP] 2 2 @x,yP] 2 2 @x,yP]´π 2 2 2 2 [R f:ZÝÑU kÞÝÑe2kπ n (Z,+)(Un,ˆ) nZ f(x+y) =e2(x+y)π n =e2xπ n e2yπ n =f(x)f(y) n xPZ xPfðñf(x) = 1ðñ2xπ n

P2πZðñx

n

PZðñxPnZ

φ:Z/nZÝÑUn

uÞÝÑe2kπ n

ɍk ˙k=u

n k k k,k1PZ ˙k=˙k1 k´k1PnZ k´k1Pf f(k) =f(k1) e2kπ n =e2k1π n

φ(u+u1) =e2(k+k1)π

n =e2kπ n e2k1π n =φ(u)φ(u1). n

ɍkPZ

n = 1 kPnZ u=˙k=˙0 φĂ t˙0u φ nZ

φ (Un,ˆ)(Z/nZ,+)

G H H G

GH GH

GH GH

G GG

G G ā

G ā

G (G,ˆ) xay n G n

φ:ZÝÑG

kÞÝÑak.

φ (Z,+)(G,ˆ) @k,k1PZ,ak+k1=akak1

φ=tak,kPZu=xay φ (Z,+) mZɍmPN

m= 0 φ=t0uφ φ Z φ=xay xay mě1xay=ta0,a1,...am´1u

ĕ ta0,a1,...am´1u Ă xay

0 k=mq+rrPJ0,m´1K b=amq+r=(am)qloomoon

=1

GmPmZ=φa

r=arP 1 2 1 1 3 1 ak= 1G am= 1G@kPJ1,m´1K,ak‰1Ga0= 1G a 1 2 1 3 m=ně1 φ‰ t0u a n 2 1

1.˙2 =˙2‰˙02.˙2 =˙4‰˙0

(S8,˝)

Sn 1ÞÑa1... 

1 2 3¨¨¨n

a

1 2 3 4 5 6 7 8

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