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Espaces vectoriels

propriétés communes que partagent des ensembles pourtant très différents. Par exemple, on peut additionner deux

vecteurs du plan, et aussi multiplier un vecteur par un réel (pour l"agrandir ou le rétrécir). Mais on peut aussi

additionner deux fonctions, ou multiplier une fonction par un réel. Même chose avec les polynômes, les matrices,... Le

but est d"obtenir des théorèmes généraux qui s"appliqueront aussi bien aux vecteurs du plan, de l"espace, aux espaces

de fonctions, aux polynômes, aux matrices,... La contrepartie de cette grande généralité de situations est que la notion

d"espace vectoriel est difficile à appréhender et vous demandera une quantité conséquente de travail! Il est bon d"avoir

d"abord étudié le chapitre " L"espace vectorielRn».

1. Espace vectoriel (début)

Dans ce chapitre,Kdésigne un corps. Dans la plupart des exemples, ce sera le corps des réelsR.

1.1. Définition d"un espace vectoriel

Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs, de sorte que l"on puisse additionner (et soustraire) deux

vecteursu,vpour en former un troisièmeu+v(ouuv) et aussi afin que l"on puisse multiplier chaque vecteuru

d"un facteurpour obtenir un vecteuru. Voici la définition formelle :Définition 1. UnK-espace vectorielest un ensemble non videEmuni : d"une loi de composition interne, c"est-à-dire d"une application deEEdansE: EE!E (u,v)7!u+v d"une loi de composition externe, c"est-à-dire d"une application deKEdansE: KE!E (,u)7!u qui vérifient les propriétés suivantes :

1.u+v=v+u(pour tousu,v2E)

ESPACES VECTORIELS1. ESPACE VECTORIEL(DÉBUT)22.u+(v+w) = (u+v)+w(pour tousu,v,w2E) 3. Il existe un élément neutre0E2Etel queu+0E=u(pour toutu2E) 4. T outu2Eadmet unsymétriqueu0tel queu+u0=0E. Cet élémentu0est notéu. 5.

1 u=u(pour toutu2E)

6.(u) = ()u(pour tous,2K,u2E)

7.(u+v) =u+v(pour tous2K,u,v2E)

8.(+)u=u+u(pour tous,2K,u2E)Nous reviendrons en détail sur chacune de ces propriétés juste après des exemples.

1.2. Premiers exemples

Exemple 1(LeR-espace vectorielR2).PosonsK=RetE=R2. Un élémentu2Eest donc un couple(x,y)avecxélément deRetyélément deR. Ceci

s"écrit R

2=(x,y)jx2R,y2R.

Définition de la loi interne.Si(x,y)et(x0,y0)sont deux éléments deR2, alors : (x,y)+(x0,y0) = (x+x0,y+y0). Définition de la loi externe.Siest un réel et(x,y)est un élément deR2, alors : (x,y) = (x,y).

L"élément neutre de la loi interne est le vecteur nul(0,0). Le symétrique de(x,y)est(x,y), que l"on note aussi

(x,y).uu vu+vu0

L"exemple suivant généralise le précédent. C"est aussi le bon moment pour lire ou relire le chapitre " L"espace vectoriel

Rn».

Exemple 2(LeR-espace vectorielRn).

Soitnun entier supérieur ou égal à1. PosonsK=RetE=Rn. Un élémentu2Eest donc unn-uplet(x1,x2,...,xn)

avecx1,x2,...,xndes éléments deR. Définition de la loi interne.Si(x1,...,xn)et(x0

1,...,x0

n)sont deux éléments deRn, alors : (x1,...,xn)+(x0

1,...,x0

n) = (x1+x0

1,...,xn+x0

n). Définition de la loi externe.Siest un réel et(x1,...,xn)est un élément deRn, alors : (x1,...,xn) = (x1,...,xn).

ESPACES VECTORIELS1. ESPACE VECTORIEL(DÉBUT)3L"élément neutre de la loi interne est le vecteur nul(0,0,...,0). Le symétrique de(x1,...,xn)est(x1,...,xn), que

l"on note(x1,...,xn).

De manière analogue, on peut définir leC-espace vectorielCn, et plus généralement leK-espace vectorielKn.

Exemple 3.

Tout plan passant par l"origine dansR3est un espace vectoriel (par rapport aux opérations habituelles sur les vecteurs).

SoientK=RetE=Pun plan passant par l"origine. Le plan admet une équation de la forme : ax+by+cz=0 oùa,betcsont des réels non tous nuls.0 Un élémentu2Eest donc un triplet (noté ici comme un vecteur colonne)€ xyzŠ tel queax+by+cz=0. x y z‹ x0 y 0 z 0‹ deux éléments deP. Autrement dit, ax+by+cz=0, etax0+by0+cz0=0. x+x0 y+y0 z+z0‹ est aussi dansPcar on a bien : a(x+x0)+b(y+y0)+c(z+z0) =0.

Les autres propriétés sont aussi faciles à vérifier : par exemple l"élément neutre est

€000Š

; et si

€xyzŠ

appartient àP, alorsax+by+cz=0, que l"on peut réécrirea(x)+b(y)+c(z) =0 et ainsi€ xyzŠ appartient àP.

Attention! Un plan ne contenant pas l"origine n"est pas un espace vectoriel, car justement il ne contient pas le vecteur

nul€000Š

1.3. Terminologie et notations

Rassemblons les définitions déjà vues.

On appelle les éléments deEdesvecteurs. Au lieu deK-espace vectoriel, on dit aussi espace vectoriel surK.

Les éléments deKseront appelés desscalaires.

L"élément neutre0Es"appelle aussi levecteur nul. Il ne doit pas être confondu avec l"élément0deK. Lorsqu"il

n"y aura pas de risque de confusion, 0Esera aussi noté 0. Lesymétriqueud"un vecteuru2Es"appelle aussi l"opposé.

La loi de composition interne surE(notée usuellement+) est appelée couramment l"addition etu+u0est appelée

somme des vecteursuetu0.

La loi de composition externe surEest appelée couramment multiplication par un scalaire. La multiplication du

vecteurupar le scalairesera souvent notée simplementu, au lieu deu.

Somme denvecteurs.

Il est possible de définir, par récurrence, l"addition denvecteurs,n>2. La structure d"espace

vectoriel permet de définir l"addition de deux vecteurs (et initialise le processus). Si maintenant la somme den1

vecteurs est définie, alors la somme denvecteursv1,v2,...,vnest définie par v

1+v2++vn= (v1+v2++vn1)+vn.

L"associativité de la loi+nous permet de ne pas mettre de parenthèses dans la sommev1+v2++vn.

On noterav1+v2++vn=n

X i=1v i. ESPACES VECTORIELS2. ESPACE VECTORIEL(FIN)4Mini-exercices. 1. V érifierles 8 axiomes qui font de R3unR-espace vectoriel. 2. Idem pour une droite DdeR3passant par l"origine définie parax+by+cz=0 a

0x+b0y+c0z=0..

3.Justifier que les ensembles suivantsne sont pasdes espaces vectoriels :(x,y)2R2jx y=0;(x,y)2R2j

x=1;(x,y)2R2jx>0 ety>0;(x,y)2R2j 16x61 et16y61. 4.

Montrer par récurrence que si lesvisont des éléments d"unK-espace vectorielE, alors pour tousi2K:

1v1+2v2++nvn2E.2. Espace vectoriel (fin)

2.1. Détail des axiomes de la définition

Revenons en détail sur la définition d"un espace vectoriel. Soit doncEunK-espace vectoriel. Les éléments deEseront

appelés desvecteurs. Les éléments deKseront appelés desscalaires.

Loi interne.

La loi de composition interne dansE, c"est une application deEEdansE: EE!E (u,v)7!u+v

C"est-à-dire qu"à partir de deux vecteursuetvdeE, on nous en fournit un troisième, qui sera notéu+v.

La loi de composition interne dansEet la somme dansKseront toutes les deux notées+, mais le contexte permettra

de déterminer aisément de quelle loi il s"agit.

Loi externe.

La loi de composition externe, c"est une application deKEdansE: KE!E (,u)7!u

C"est-à-dire qu"à partir d"un scalaire2Ket d"un vecteuru2E, on nous fournit un autre vecteur, qui sera notéu.

Axiomes relatifs à la loi interne.

1.Commutativité.

Pour tousu,v2E,u+v=v+u. On peut donc additionner des vecteurs dans l"ordre que l"on souhaite.

2.Associativité.

Pour tousu,v,w2E, on au+(v+w) = (u+v)+w. Conséquence : on peut "oublier» les parenthèses et noter sans ambiguïtéu+v+w. 3.

Il existe unélément neutre, c"est-à-dire qu"il existe un élément deE, noté0E, vérifiant : pour toutu2E,u+0E=u

(et on a aussi 0 E+u=upar commutativité). Cet élément 0Es"appelle aussi levecteur nul. 4.

ToutélémentudeEadmetunsymétrique(ouopposé),c"est-à-dire qu"ilexiste un élémentu0deEtelqueu+u0=0E

(et on a aussiu0+u=0Epar commutativité). Cet élémentu0deEest notéu.Proposition 1. S"il existe un élément neutre0Evérifiant l"axiome (3) ci-dessus, alors il est unique.

Soit u un élément de E. S"il existe un élément symétrique u0de E vérifiant l"axiome (4), alors il est unique.Démonstration.

Soient 0Eet 00

Edeux éléments vérifiant la définition de l"élément neutre. On a alors, pour tout élémentudeE:

u+0E=0E+u=uetu+00 E=00 E+u=u Alors, la première propriété utilisée avec u=00

Edonne 00

E+0E=0E+00

E=00 E. La deuxième propriété utilisée avec u=0Edonne 0E+00 E=00

E+0E=0E.

En comparant ces deux résultats, il vient 0

E=00 E.

ESPACES VECTORIELS2. ESPACE VECTORIEL(FIN)5

Supposons qu"il existe deux symétriques deunotésu0etu00. On a :

u+u0=u0+u=0Eetu+u00=u00+u=0E.Calculonsu0+(u+u00)de deux façons différentes, en utilisant l"associativité de la loi+et les relations précédentes.

-u0+(u+u00) =u0+0E=u0 -u0+(u+u00) = (u0+u)+u00=0E+u00=u00

On en déduit u0=u00.Remarque.

Les étudiants connaissant la théorie des groupes reconnaîtront, dans les quatre premiers axiomes ci-dessus, les axiomes

caractérisant un groupe commutatif.

Axiomes relatifs à la loi externe.

5. Soit 1 l"élément neutre de la multiplication de K. Pour tout élémentudeE, on a 1u=u. 6. P ourtous éléments etdeKet pour tout élémentudeE, on a (u) = ()u.

Axiomes liant les deux lois.

7.Distributivité

par rapport à l"addition des vecteurs. Pour tout élémentdeKet pour tous élémentsuetvdeE,

on a (u+v) =u+v.

8.Distributivitépar rapport à l"addition des scalaires. Pour tousetdeKet pour tout élémentudeE, on a :

(+)u=u+u.

La loi interne et la loi externe doivent donc satisfaire ces huit axiomes pour que(E,+,)soit un espace vectoriel surK.

2.2. Exemples

Dans tous les exemples qui suivent, la vérification des axiomes se fait simplement et est laissée au soin des étudiants.

Seules seront indiquées, dans chaque cas, les valeurs de l"élément neutre de la loi interne et du symétrique d"un

élément.

Exemple 4(L"espace vectoriel des fonctions deRdansR).

L"ensemble des fonctionsf:R!Rest notéF(R,R). Nous le munissons d"une structure deR-espace vectoriel de la

manière suivante. Loi interne.Soientfetgdeux éléments deF(R,R). La fonctionf+gest définie par :

8x2R(f+g)(x) =f(x)+g(x)

(où le signe+désigne la loi interne deF(R,R)dans le membre de gauche et l"addition dansRdans le membre

de droite).

Loi externe.Siest un nombre réel etfune fonction deF(R,R), la fonctionfest définie par l"image de tout

réelxcomme suit :

8x2R(f)(x) =f(x).

(Nous désignons parla loi externe deF(R,R)et parla multiplication dansR. Avec l"habitude on oubliera les

signes de multiplication :(f)(x) =f(x).) Élément neutre.L"élément neutre pour l"addition est la fonction nulle, définie par :

8x2Rf(x) =0.

On peut noter cette fonction 0

F(R,R).

Symétrique.Le symétrique de l"élémentfdeF(R,R)est l"applicationgdeRdansRdéfinie par :

8x2Rg(x) =f(x).

Le symétrique defest notéf.

ESPACES VECTORIELS2. ESPACE VECTORIEL(FIN)6

Exemple 5(LeR-espace vectoriel des suites réelles).On noteSl"ensemble des suites réelles(un)n2N. Cet ensemble peut être vu comme l"ensemble des applications deN

dansR; autrement ditS=F(N,R).

Loi interne.Soientu= (un)n2Netv= (vn)n2Ndeux suites appartenant àS. La suiteu+vest la suitew= (wn)n2N

dont le terme général est défini par

8n2Nwn=un+vn

(oùun+vndésigne la somme deunet devndansR).

Loi externe.Siest un nombre réel etu= (un)n2Nun élément deS,uest la suitev= (vn)n2Ndéfinie par

8n2Nvn=un

oùdésigne la multiplication dansR.

Élément neutre.L"élément neutre de la loi interne est la suite dont tous les termes sont nuls.

Symétrique.Le symétrique de la suiteu= (un)n2Nest la suiteu0= (u0 n)n2Ndéfinie par :

8n2Nu0

n=un.

Elle est notéeu.

Exemple 6(Les matrices).

L"ensembleMn,p(R)des matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients dansRest muni d"une structure deR-espace

vectoriel. La loi interne est l"addition de deux matrices. La loi externe est la multiplication d"une matrice par un

scalaire. L"élément neutre pour la loi interne est la matrice nulle (tous les coefficients sont nuls). Le symétrique de

la matriceA= (ai,j)est la matrice(ai,j). De même, l"ensembleMn,p(K)des matrices à coefficients dansKest un

K-espace vectoriel.

Autres exemples :

1. L"espace vectorielR[X]des polynômesP(X) =anXn++a2X2+a1X+a0. L"addition est l"addition de deux

polynômesP(X)+Q(X), la multiplication par un scalaire2RestP(X). L"élément neutre est le polynôme nul.

L"opposé deP(X)estP(X).

2. L "ensembledes fonctions continues de RdansR; l"ensemble des fonctions dérivables deRdansR,... 3.C est unR-espace vectoriel : additionz+z0de deux nombres complexes, multiplicationzpar un scalaire2R. L"élément neutre est le nombre complexe 0 et le symétrique du nombre complexezestz.

2.3. Règles de calculProposition 2.

Soit E un espace vectoriel sur un corpsK. Soient u2E et2K. Alors on a :

1.0u=0E

2.0E=0E

3.(1)u=u

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