[PDF] Cours de mathématiques - Exo7

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DiagonalisationLa diagonalisation estune opération fondamentale des matrices. Nous allons énoncerdes conditions

qui déterminent exactement quand une matrice est diagonalisable. Nous reprenons pas à pas les

notions du chapitre " Valeurs propres, vecteurs propres », mais du point de vue plus théorique des

applications linéaires.

Notations.

Dans ce chapitre,Eest unK-espace vectoriel.Kest un corps. Dans les exemples de ce chapitre,K seraRouC. Sauf mention contraire,Esera de dimension finie.

1. Valeurs propres, vecteurs propres

Commençons par définir les valeurs et les vecteurs propres d"une application linéaire. Il est

important d"avoir d"abord compris le chapitre " Valeurs propres, vecteurs propres » des matrices.

1.1. Définitions

Rappel.f

:E!Eest appelé unendomorphismesifest une application linéaire deEdans lui-même. Autrement dit, pour toutv2E,f(v)2Eet, en plus, pour tousu,v2Eet tout2K: f(u+v) =f(u)+f(v)etf(v) =f(v)Définition 1.

Soitf:E!Eun endomorphisme.

2K est ditevaleur proprede l"endomorphismefs"il existe un vecteur non nulv2Etel quef(v) =v.• Le vecteurvest alors appelévecteur propredef, associé à la valeur propre. Lespectredefest l"ensemble des valeurs propres def. Notation :sp(f)(ouspK(f)si on

veut préciser le corps de base).Sivest un vecteur propre alors, pour tout2K,vest aussi un vecteur propre.

Ces définitions sont bien sûr compatibles avec celles pour les matrices. SoitA2Mn(K). Soit f:Kn!Knl"application linéaire définie parf(v) =Av(oùvest considéré comme un vecteur colonne). Alors les valeurs propres (et les vecteurs propres) defsont celles deA. DIAGONALISATION1. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES2

1.2. ExemplesLa principale source d"exemples provient des matrices et nous renvoyons encore une fois au

chapitre " Valeurs propres, vecteurs propres ».

Exemple 1.

Soitf:R3!R3définie par

f(x,y,z) =2x2y+2z,3xy+3z,x+y+z. 1. Écriture en terme de matrice. L "applicationfs"écrit aussif(X) =AXavec : X=0 @x y z1 A etA=0 @22 2 31 3

1 1 11

A 2.

Le vecteur v1= (1,1,0)est vecteur propre.

En effet,f(1,1,0) = (4,4,0), autrement ditf(v1) =4v1. Ainsiv1est un vecteur propre associé à la valeur propre1=4.

Si on préfère faire les calculs avec les matrices, on considèrev1comme un vecteur colonne et

on calculeAv1=4v1.

3.2=2 est valeur propre.

Pour le prouver, il s"agit de trouver un vecteur non nul dansKer(f2idR3)pour2=2. Pour cela, on calculeA2I3:

A2I3=0

@42 2 33 3
1 111 A On trouve quev2= (0,1,1)est dans le noyau deA2I3, c"est-à-dire(A2I3)v2est le vecteur nul. En d"autres termes,v22Ker(f2idR3), c"est-à-diref(v2)2v2=0, doncf(v2) =2v2. Bilan :v2est un vecteur propre associé à la valeur propre2=2.

4.3=0 est valeur propre.

On peut faire juste comme au-dessus et trouver quev3= (1,0,1)vérifief(v3) = (0,0,0). Ainsi f(v3) =0v3. Bilan :v3est vecteur propre associé à la valeur propre3=0. 5. On a trouvé3valeurs propres, et il ne peut y en avoir plus car la matriceAest de taille33.

Conclusion : sp(f) =f4,2,0g.

Exemple 2.

Soitf:Rn!Rnl"application linéaire définie par(x1,...,xn1,xn)7!(x1,...,xn1,0). Géométri- quement,fest une projection surRn1f0g Rn. Notonse1= (1,0,0,...),e2= (0,1,0,...),..., e n= (0,...,0,1)lesnvecteurs de la base canonique deRn. Alors f(e1) =e1f(e2) =e2...f(en1) =en1etf(en) =0.

Ainsie1,...,en1sont des vecteurs propres associés à la valeur propre1. Etenest un vecteur propre

associé à la valeur propre 0. Conclusion : sp(f) =f0,1g.

Voici d"autres exemples plus théoriques.

Exemple 3.

DIAGONALISATION1. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES3

1.SoitE=Rn[X]l"espace des polynômesde degré6n. Soitd:E!E,P(X)7!P0(X)l"application

de dérivation. Pour des raisons de degré, P

0=P=)=0 etPconstant

De plus, tout polynôme constant non nul est un vecteur propre ded, de valeur propre associée

0; donc sp(d) =f0g.

2. (Cet exemple est en dimension infinie.) SoitE=C1(R)l"espace des fonctions infiniment dérivables deRdansR. Soitd:E!E,7!0l"application de dérivation.

Pour tout2R, définissons la fonction

e :R!R,x7!exp(x).

On ae0

=e, donc chaque fonctioneest un vecteur propre dedde valeur propre associée . Ici, sp(d) =R.

1.3. Sous-espaces propres

Cherchons une autre écriture de la relation de colinéarité définissant les vecteurs propres :

f(v) =v()f(v)v=0 ()(fidE)(v) =0 ()v2Ker(fidE)

D"où la définition :Définition 2.

Soitfun endomorphisme deE. Soit2K. Lesous-espace propreassocié àest le sous-espace vectorielEdéfini par :E =Ker(fidE)

On notera aussi ce sous-espaceE(f)si on souhaite signaler sa dépendance vis-à-vis de l"endomor-

phismef.

Autrement dit :E

=v2Ejf(v) =v

C"est le sous-espace vectoriel deEconstitué des vecteurs propres defassociés à la valeur propre

, auquel on ajoute le vecteur nul. Être valeur propre, c"est donc exactement avoir un sous-espace propre non trivial : valeur propre()E6=f0g

Remarque.

Plaçons-nous dans le cas oùEest de dimension finie. Siest une valeur propre def, alors le sous-espace propre associéEest de dimension>1. Le sous-espace propreEest stable parf, c"est-à-diref(E)E. En effet : v2Ker(fidE) =)f(f(v)) =f(v) =f(v) =)f(v)2Ker(fidE)Théorème 1. Soitfun endomorphisme deE. Soient1,...,rdes valeurs propresdistinctesdef. Alors les sous-espaces propres associés E1,...,Ersont en somme directe. DIAGONALISATION1. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES4

On retrouve un résultat déjà prouvé dans le cas des matrices :Corollaire 1.Soient1,...,rdes valeurs propres distinctes defet, pour16i6r, soitviun vecteur propre

associé ài. Alors les visont linéairement indépendants.Cela implique que le nombre de valeurs propres est6dimE.

Avant de lire les exemples et la preuve de ce théorème, lire si besoin la section suivante sur les

sommes directes.

Exemple 4.

Reprenons l"exemple

1 avec f:R3!R3définie par f(x,y,z) =2x2y+2z,3xy+3z,x+y+z. Nous avions trouvé les valeurs propres et les vecteurs propres associés suivants :

1=4v1= (1,1,0)2=2v2= (0,1,1)3=0v3= (1,0,1)

Par le corollaire

1 ,(v1,v2,v3)forme une famille libre deR3(ce que l"on vérifie par un calcul direct). Mais trois vecteurs indépendants deR3forment automatiquement une base. Conclusion : (v1,v2,v3)est une base de vecteurs propres deR3.

Ce que l"on peut aussi écrire :

R

3=Rv1Rv2Rv3

ou encore R

3=E4E2E0.

Exemple 5.

Reprenons l"exemple

2 , avecf:Rn!Rndéfinie par(x1,...,xn1,xn)7!(x1,...,xn1,0). Nous avions trouvé deux valeurs propres 0 et 1. Pour la valeur propre0, nous avions un seul vecteur propreen= (0,...,0,1), ainsiE0=Ren. Pour la valeur propre1, nous avions trouvén1vecteurs propres linéairement indépendants e1= (1,0,0,...),e2= (0,1,0,...),...,en1= (0,...,0,1,0). Plus précisément, E

1=Ker(fidRn) =Vect(e1,...,en1) =(x1,x2,...,xn1,0)2Rnjx1,...,xn12R=Rn1f0g.

Nous avons bien

R n=E0E1=RenRn1f0g.

Preuve du théorème

1 Pour chaque16i6r, soitvi2Ei. On supposev1++vr=0, et nous allons montrer par récurrence qu"alorsv1=0,v2=0,...,vr=0. Sir=1, c"est vérifié. Fixonsr>2et supposons notre assertion vraie pour les familles der1 vecteurs. Soit une famille qui vérifie v

1+v2++vr1+vr=0. (1)

Par composition par l"application linéairef,

f(v1)+f(v2)++f(vr1)+f(vr) =0.

Mais commevi2Eialorsf(vi) =iviet donc :

1v1+2v2++r1vr1+rvr=0. (2)

À partir des équations (

1 ) et ( 2 ), on calcule l"expression(2)r(1): (1r)v1+(2r)v2++(r1r)vr1=0

DIAGONALISATION1. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES5(le vecteurvrn"apparaît plus dans cette expression). On applique l"hypothèse de récurrence à la

famille den1vecteurs(1r)v1, ...,(r1r)vr1, ce qui implique que tous ces vecteurs sont nuls : (1r)v1=0 ...(r1r)vr1=0 Comme les valeurs propres sont distinctes, alorsir6=0 (pouri=1,...,r1). Ainsi v

1=0 ...vr1=0.

L"équation (

1 ) implique en plus v r=0. Cela termine la récurrence.1.4. Rappels sur les sommes directes

Il faut bien comprendre le vocabulaire suivant. On commence par le cas de deux sous-espaces.Définition 3.

SoientE1,E2deux sous-espaces vectoriels d"un espace vectorielE.

LasommedeE1et deE2est

E

1+E2=v

1+v2jv12E1etv22E2.

On dit queE1etE2sont ensomme directesiE1\E2=f0g.

On dit queE1etE2sont ensomme directe dansEsiE1+E2=EetE1\E2=f0g. On note alorsE=E1E2.Cela se généralise à plusieurs sous-espaces.

Définition 4.

SoientE1,E2,...,Erdes sous-espaces vectoriels d"un espace vectorielE.

LasommedeE1,E2,...,Erest

E

1+E2++Er=v

1+v2++vrjv12E1,v22E2,...,vr2Er.

On dit queE1,E2,...,Ersont ensomme directesi

On dit queE1,E2,...,Ersont ensomme directe dansEs"ils sont en somme directe et que

E1+E2++Er=E. On note alorsE=E1E2Er.Exemple 6.

Si(v1,...,vn)est une famille libre deE, alors les droitesKv1,...,Kvnsont en somme directe. Si(v1,...,vn)est une base deE, alors les droitesKv1,...,Kvnsont en somme directe dansE:

E=Kv1Kvn.

La notion de somme directe généralise celle de base :Proposition 1. Les sous-espaces vectorielsE1,...,Ersont en somme directe si et seulement si, pour chaquev2 E

1++Er, il existe vi2Eiunique (16i6r) tel que

v=v1+v2++vr.

DIAGONALISATION1. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES6En particulier,E=E1Ersi et seulement si, pour toutv2E, il existe un uniquevi2Eitel

que v=v1+v2++vr. Voici une autre application : siE=E1Eret siBiest une base deEi(pour16i6r) alors

B=B1[...[Brest une base deE.

Il est facile de calculer la dimension d"une somme directe :Proposition 2.

Les sous-espaces vectoriels E

1,...,Ersont en somme directe si et seulement si

dim(E1++Er) =dimE1++dimEr. En particulier, siE=E1++Er, alors les sous-espaces vectorielsE1,...,Ersont en somme directe dansEsi et seulement si dimE=dimE1++dimEr.Mini-exercices. 1. Soitf:E!Eun endomorphisme. Quel est le lien entre l"assertion "finjective » et les valeurs propres def? SiEest de dimension finie, que peut-on dire de plus? 2. Soitf:E!Eun endomorphisme. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses.

Justifier.

(a)

Si 1et2sont valeurs propres, alors1+2aussi.

(b)

Si v1etv2sont vecteurs propres, alorsv1+v2aussi.

(c)

Si est valeur propre, alorsaussi (pour2K).

(d)

Si vest vecteur propre, alorsvaussi (pour2K).

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