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Applications linéaires matrices

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Applications linéaires

Exercice 3. Soit E un espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de E on définit l'application f : E1 ×E2 ? E par f(

Exercices Corrigés Applications linéaires Exercice 1 – On consid

Quelle est la matrice de f dans cette base ? 4) Montrer que kerf et Imf sont des sous-espaces supplémentaires de E. Exercice 4 – Posons e1 = (12)

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et

vectoriels et applications linéaires. Correction des exercices. Exercice 3 : Soit e un K-espace vectoriel de dimension finie n ? N? et f.

Polycopié MAT101

25 fév. 2021 Exercice corrigé. ... Applications linéaires et sous-espaces noyau et image. ... servent de modèle pour les exercices de raisonnement.

Applications linéaires

Exercice 13 : [corrigé]. Soit E un K espace vectoriel de dimension finie et f ? L(E) telle que f2 ?. 3f

Exercices Corrigés Applications linéaires Exercice 1 – On consid

1) Quelle est la matrice de f dans les bases canoniques de R2 et R4 ? 2) Déterminer le noyau de f. L'application linéaire f est-elle injective ? 3) Quelle est l

Chapitre 17 : Applications linéaires

Exercice type 4. E désigne ici un R-espace vectoriel et f un endomorphisme de E vérifiant l'égalité : f2 ? 2f ? 3I = 0

Corrigé : Applications linéaires

19 jan. 2014 Corrigé : Applications linéaires. Exercice 1. Soit l'application linéaire f : R3 ? R3 définie par : f(x1; x2; x3)=(x1 - x3;2x1 + x2 - 3x3; ...

Applications linéaires matrices déterminants

Soit :?3??2définie pour tout =( 1 2 3)??3par ( )=( 1+ 2+ 32 1+ 2? 3) 1 Montrer que est linéaire 2 Déterminer ker( ) Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Soit :?3??2définie par ( )=( + + ? +2 +2 ) On appelle =( 1 2 3)la base canonique de ?3(et ?= 1 2)la base canonique de ?2 1

Feuille d'exercices 21 Applications linéaires - u-bordeauxfr

Une application linéaire étant dé?nie de manière unique par ses images sur une basecelarépondàlaquestion 2 On va chercher à exprimer le vecteur px;y;zqdans la base B1 Pour cela il su?t d’exprimerlesvecteurse 1e 2 ete 3 delabasecanoniqueB danslabaseB1 Ona e 1 f 2 f 1; e 2 f 3 ete 3 f 1 f 3: Ainsiona px;y;zq xe 1 ye 2 ze 3 p x

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V Applications linéaires Référencepourcechapitre:Liret-Martinais1 Exercice V 1 4 Soit M un point du plan R2 di?érent de l’origine (0;0) et 2

???f:R3!R?????? ???f(x;y;z) =x+y+ 2z ???f:R2!R?????? ???f(x;y) =x+y+ 1 ???f:R2!R?????? ???f(x;y) =xy ???f:R3!R?????? ???f(x;y;z) =xz? ????f:R2!R2?????? ???f(x;y) = (x+y;xy)? ????J:C([0;1];R)!R?????? ???J(f) =R1

0f(t)dt?

????':C1(R;R)! C1(R;R)?????? ???'(f) =f003f0+ 2f? f(A)f(B)()A+ KerfB+ Kerf? f nX i=1E i! =nX i=1f(Ei)? f 1 pX j=1F j! pX j=1f

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??????f;g2 L(E;F)? ?? ???????

8x2E;9x2K;g(x) =xf(x)?

??????? ????? ??????2K??? ??? g=f? f

23f+ 2Id = 0?

??????? ???Kerf= Ker(gf)?Img= Im(gf)???? ???Kerf??Img???? fg= Id? ??? ??????? Ker(gf) = Kerf??Im(gf) = Img?

E= KerfImg?

??????f;g2 L(E)???? ??? gfg=g??fgf=f? ???pq=p??qp=q? ?? ????F= Ker(sId)??G= Ker(s+ Id)? G? f

2(+ 1)f+Id = 0?

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Ker(fId)Ker(f3Id) =E?

L=f2 L(E)9u2 L(E);f=up??M=g2 L(E)9v2 L(E);g=vq?

??? ??????? u(Kerp)Imp??ImpKeru? ?? ??????? u2= 0? ????n > p? uv= IdF?

ImpKerq?

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F=H??F=E?

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8f2E;f(e1) =:::=f(en) = 0 =)f= 0?

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Vf(V) =)f(V) =V?

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Kerf= Imf?

'(P) = (P(a0);P(a1);:::;P(an)) '(P) =P(a0);P0(a0);:::;P(an);P0(an)? rg(f+g)rg(f) + rg(g) rg(f)rg(g)rg(fg)? f2 L(E;F);g2 L(F;E)?????? ???fgf=f??gfg=g? ??????? ???f;g;fg??gf??? ???? ????? rg(u)rg(v)rg(u+v)rg(u) + rg(v)? ? ??????u??v????L(R2)???? ??? rg(u+v)Ker(f) + Ker(g) =E? ???rg(fg)min(rgf;rgg)? ???rg(fg)rgf+ rggdimE? rgf+ rgg= dimE? rgu+ rgu2n? ??????f;g2 L(E)???? ??? f+g= IdE??rgf+ rgg= dimE? ??????u;v2 L(Kn)???? ??? u+v= Id??rg(u) + rg(v)n? ???? ????p2N? ?? ????Ip= Imfp??Np= Kerfp?

8sr;Is=Ir??Ns=Nr?

Ker(gf) = Kerh+ Kerf?

rghrgfdimKerg? rg(gf) + rg(hg)rgg+ rg(hgf)? ??????v2 L(E;F)??u2 L(F;G)? ??????? rgu+ rgvdimFrg(uv)min(rgu;rgv)? dimKer(gf)dim(Kerg) + dim(Kerf)? dimKerf\FdimFrgf? f0gu 0!E1u 1!E2u 2!u n1!Enu n!f0g ??? ?????? ?? ?? ?Imuk= Keruk+1???? ????k2 f0;:::;n1g? ??????? ??? ?? n X k=1(1)kdimEk= 0?

8k;`2N;dimKeruk+`dimKeruk+ dimKeru`?

E? rgf+ rggnrg(fg)? rg(f2) = rg(f)?

Im(f2) = Im(f)??Ker(f2) = Ker(f)?

Ker(f)Im(f) =E?

E= Imu+ Imv= Keru+ Kerv?

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Ker(fIdE)Im(fIdE) =E?

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F= Kerf= Kerg??G= Imf= Img?

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ImfKerg=E?

f(Img) = Imf? E???? ?? ????? ????IdE? ?? ????F1;:::;Fm??? ?????? ??p1;:::;pm? ??????? E=m k=1Fk? n??? ????? f(1;0;0) = (0;1);f(1;1;0) = (1;0)??f(1;1;1) = (1;1)?

C(f) =g2 L(E)gf=fg?

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C(f) = Vect(Id;f;:::;fn1)?

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8P2Rn[X];Z

1 0

P(t)dt=nX

k=0 kP(ak)? F j(P) =Z aj 0 P? ??????? ???(F0;F1;:::;Fn)??? ??? ???? ??(Rn[X])?

8x;y2E;x6=y=) 9'2E;'(x)6='(y)?

??? ?????? ???E? ???????

9x2E;f(x)g(x)6= 0?

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1(x) =:::=fn(x) = 0?

??????? ??? ?? ???????(f1;:::;fn)??? ?????

A=u2 L(E;F)GKer(u)?

F=f2 L(E)ImfF??BF=f2 L(E)FKerf?

dimKer'? (P) =P(X+ 1)P(X)?

8P2Rn[X];n+1X

k=0a kP(X+k) = 0? (P) =P(X+ 1)P(X)? ???? P2C[X]??n2N? ??????? n(P) = (1)nnX k=0(1)kn k

P(X+k)?

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9P2Rp[X];8n2N;un+1=aun+P(n)?

??? ??????? ?? u2Sp?P??? ??????? ?? ?? ??????Pu? k2J0;pK?? u

0=2??un+1= 2un2n+ 7?

9g2 L(E);fg+gf= IdE()Imf= Kerf?

ImgImf() 9h2 L(E);g=fh?

KerfKerg() 9h2 L(E);g=hf?

??????;2R??~u= (x;y);~v= (x0;y0)2R2 f(~u+~v) =f(x+x0;y+y0) f(~u+~v) =(x+x0) + (y+y0);(x+x0)(y+y0) f(~u+~v) =(x+y;xy) +(x0+y0;x0y0) =f(~u) +f(~v)? ???? ????(x;y)2R2?? ????(x0;y0)2R2 x0=x+y y

0=xy()x= (x0+y0)=2

y= (x0y0)=2? (x0+y0)=2;(x0y0)=2 f

1: (x0;y0)7!(x0+y0)2

;(x0y0)2 ??????;2R??f;g2 C([0;1];R)?

J(f+g) =Z

1 0 f(t) +g(t)dt

J(f+g) =Z

1 0 f(t)dt+Z 1 0 g(t)dt=J(f) +J(g)? ??????;2R??f;g2 C1(R;R)? '(f+g) = (f+g)003(f+g)0+ 2(f+g) '(f+g) =(f003f0+ 2f) +(g003g0+ 2g) '(f+g) ='(f) +'(g)? f2Ker'()f003f0+ 2f= 0? f(x) =C1ex+C2e2x?

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F=F+ Keru=F\Imu

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F+ Keru=F=F\Imu?

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0f(t)dt?

1(Fj)?

8x2E;9x2K;g(x) =xf(x)?

23f+ 2Id = 0?

E= KerfImg?

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C(f) = Vect(Id;f;:::;fn1)?

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