Cours de Mécanique des Systèmes de Solides Indéformables
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Mécanique des solides. Cours + Exercices. 2eédition. Yves Berthaud. Professeur à l'UPMC. Cécile Baron. Chargée de recherche CNRS Aix-Marseille Université.
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COURS DE MECANIQUE. 2ème année. Catherine POTEL Philippe GATIGNOL. Chapitre 4. DYNAMIQUE DU SOLIDE. Université du Maine - UFR Sciences et Techniques.
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D'où on peut conclure que le champ de vitesse d'un solide est un champ équiprojectif (voir le cours sur les torseurs). C'est donc un champ de moment d'un
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MECANIQUE DU SOLIDE RIGIDE - sorbonne-universitefr
CHAPITRE I - CALCUL VECTORIEL – RAPPELS DE MATHEMATHIQUES 1 Espace vectoriel et représentation d’un vecteur Soit Eun espace vectoriel de dimension n = 3 en fait ?3 de base be=(12ee3) GGG formée de 3 vecteurs linéairement indépendants
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On appelle solide un système matériel géométriquement parfait indéformable et constitué de matière homogène et isotrope Si A et B (fig 1)sont deux points quelconques du solide on a la rela-tion : AB = Cte ?t EXEMPLES –Bielle ou vilebrequin d’un moteur à explosion levier de commande d’un cric Repère
Présentation Du Cours Mécanique Du Solide
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Exercices & Examens de Mécanique Du Solide
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Qu'est-ce que le cours de mécanique du solide ?
Conformément au descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables, le cours est articulé en sept chapitres : Mouvement d’un solide autour d’un point ou d’un axe fixes. NOTE: N’oubliez pas de voir des TD, QCM, Exercices et Examens de Mécanique du Solide.
Quels sont les chapitres de la mécanique des systèmes de solides indéformables ?
Conformément au descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables, le cours est articulé en sept chapitres : Mouvement d’un solide autour d’un point ou d’un axe fixes. NOTE: N’oubliez pas de voir des TD, QCM, Exercices et Examens de Mécanique du Solide. Liens dans la section ci-dessous.
Qu'est-ce que la mécanique du solide?
Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 43 • Actions de contact entre deux solides : Un système matériel solide (S) est en contact avec un support solide ( ?) ne faisant donc pas partie de (S).
Quels sont les avantages de la mécanique du solide?
Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 74 4 - Application à la résolution des problèmes : L’étude d’un mouvement avec contact de solides fait intervenir notamment les forces de contact comme inconnues.
Mécanique du solide
Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 2Mécanique du solide
I) Cinétique des systèmes matériels :
1 - Rappel ; composition des vitesses et des accélérations :
Soit (R) un premier référentiel (appelé " absolu », (Oxyz)) et (R") un référentiel (appelé " relatif »,
(O"x"y"z")) en mouvement par rapport à (R). • (R") est en translation par rapport à (R) :Composition des vitesses :
)'()(')(')(OvMvvMvMv e r r r r r Composition des accélérations : )'()(')(')(OaMaaMaMa e r r r r r Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 3 • (R") est en rotation autour d"un axe fixe de (R) : (O et O" sont confondus)Composition des vitesses :
OMMvvMvMv
RRe?Ω+=+=)/()'(
r r r r rComposition des accélérations :
ceaaMaMar r r r )('2)()(')(MvOMOMdtdMaMa
RRRRRRRR
rrrrrrr?Ω+ Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 4Exemple : un forain sur un manège pour enfants Un manège d'enfants tourne à une vitesse angulaire constante ω > 0 constante. Le propriétaire
parcourt la plate-forme pour ramasser les tickets. Partant du centre à t = 0, il suit un rayon de la
plate-forme avec un mouvement uniforme de vitesse vr.a) Etablir l'équation de la trajectoire de l'homme dans le référentiel terrestre (trajectoire vue par
les parents).b) Déterminer la vitesse de l'homme par rapport à la Terre, à partir des équations de la trajectoire
puis en utilisant la composition des vitesses.c) Déterminer l'accélération de l'homme par rapport à la Terre, à partir des équations de la
trajectoire puis en utilisant la composition des accélérations. Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 52 - Centre d"inertie d"un système, référentiel barycentrique :
Dans le cas de solides ou de systèmes matériels, on est amené à définir une masse volumique, une
masse surfacique ou encore une masse linéique : VSC dMmdSMmdMml Le centre d"inertie d"un système sera défini par : • Distribution discontinue : ii ii ii mOMmOGGMm;0r
• Distribution continue volumique : ;0)( VV mdOMMOGdGMM
r Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 6Le centre d"inertie possède la propriété d"associativité : le centre d"inertie G d"un système (S),
constitué de deux systèmes S1 et S
2 de masse m
1 et m
2 et de centres d"inertie G
1 et G
2, est défini
par :221121
)(OGmOGmOGmm+=+Quel est le centre d"inertie de ce solide ?
Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 7Référentiel barycentrique :
Le mouvement du système est étudié dans le référentiel (R). On appelle référentiel barycentrique (R
b)relatif au référentiel (R), le référentiel de centre G et animé d"un mouvement de translation à la
vitesse )(Gv r par rapport à (R). O xyz G G Gv(G) v(G) v(G)(R)(R b)(R b) (R b) O xyz G G Gv(G) v(G) v(G)(R)(R b)(R b) (R b) La loi de composition des vitesses s"écrit sous la forme : )()()(GvMvMv b r r r Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 83 - Résultante cinétique et moment cinétique d"un système matériel :
• Résultante cinétique (ou quantité de mouvement totale du système) : VGvmdMvMPr
r r Dans le référentiel barycentrique, la résultante cinétique est évidemment nulle. • Moment cinétique : Le moment cinétique par rapport à O du système, dans le référentiel (R) est : VO dMvMOMLτρ r r Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 9 Théorème de Koenig pour le moment cinétique : VbVO dGvMvMGMOGdMvMOMLτρτρ r r r r VbO dMvMGMGvmOGLτρ r r rSoit :
bGOLGvmOGL
r r rRemarque :
Le moment cinétique barycentrique ne dépend pas du point où on le calcule. En effet : bbAbGGLLLLr r r r Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 10Moment cinétique par rapport à un axe :
La projection du moment cinétique
OLr du système (S) sur un axe Δ passant par O définit le moment cinétique LΔ de (S) par rapport à Δ.
OLr (S)O Δur
Ainsi, en introduisant le vecteur unitaire
Δur
de l"axe (Δ), on obtient : =uLL Or r.On vérifie facilement que L
Δ est indépendant du point O de l"axe Δ.
La notion de moment cinétique par rapport à un axe est intéressante lorsque le système (un
solide par exemple) est justement en rotation autour de cet axe Δ. Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 114 - Torseur cinétique :
Résultante cinétique et moment cinétique d"une part possèdent les propriétés d"un concept
mathématique appelé torseur que nous allons définir. • Notion de torseurs :On considère un ensemble de points M
i et à chacun de ces points on associe un vecteur iqr (cevecteur pourra être la vitesse, la quantité de mouvement, une force qui agit en ce point, ...). On
définit alors : * La résultante : iiqRr r * Le moment en O : ∑ iiiO qOMM)(r r On vérifie aisément que le moment en deux points O et A vérifient la relation : Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 12 OARMRAOMM
OOA ?+=?+=r r r r r (BABAR !!!)La résultante
Rr et le moment en O,
OMr , sont appelés éléments de réduction en O du torseur (T) associé au système de vecteurs iqr. La donnée des éléments de réduction en un point Odéfinit complètement le torseur puisqu"il est alors possible de calculer les éléments de réduction
en tout autre point A :Rr est indépendante de A et
RAOMM OA r r r • Torseur cinétique : On vérifie que, dans le référentiel (R), la résultante cinétiquePr et le moment cinétique
OLr en
un point O d"un système matériel (S) forment les éléments de réduction d"un torseur, appelé
torseur cinétique et noté ),(OCLPTrr . On a notamment : PAOLL OA r r r Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 135 - Energie cinétique d"un système matériel :
• Définition : )(2 21Vc dMvMEτρ r • Théorème de Koenig pour l"énergie cinétique :
On montre que :
)(22 21)(21
Vbc dMvMGvmEτρ rr bcc EGvmE ,2 21+=r
Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 14
II) Mouvement d"un solide :
1 - Le solide en mécanique :
On appelle " solide » un corps indéformable : la distance entre deux points quelconques d"un solide reste constante au cours du temps.2 - Champ des vitesses :
Le solide (S) se déplace dans le référentiel (R). On considère le référentiel (RS) lié au solide (S)
d"origine P (point rigidement lié au solide). (R) O x y z z S yS xS P M (R S) Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 15 On considère un point M rigidement lié au solide ; on noteΩ=Ωr
r RR S/ le vecteur vitesse angulaire instantanée du référentiel (RS) par rapport à (R), qui est a priori
une fonction vectorielle du temps. La formule de Varignon (loi de dérivation dans les référentiels (R) et (R s)) donne : PMdtPMd dtPMd sRR rAprès calculs :
PMPvMv?Ω+=
r r rOn constate que les vitesses des points d"un solide vérifient la loi caractéristique des moments
d"un torseur, appelé " torseur des vitesses » ou " torseur cinématique », dont : Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 16 • la résultante est le vecteur rotationΩ=Ωr
r RR S/ • le moment en P est la vitesse )(Pv r du point P de (S) dans (R).Premier exemple : le mouvement d"une roue
On considère une roue de rayon b, de centre C, se déplaçant sur le sol horizontal fixe dans (R), en
restant dans le même plan vertical. M CI(t) = I
S(t) = I
R(t) y
x O z Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 17On appelle I le point de contact de la roue et du sol à l"instant t. On peut en fait distinguer trois
points au niveau du contact de la roue avec le sol : • le point IS du sol qui est fixe dans (R).
• le point IR de la roue qui, lorsqu"elle roule, ne se trouve plus au contact du sol à un instant
ultérieur. • le point géométrique I qui localise le contact. Dans le référentiel (R) lié au sol, la vitesse du point IS est bien évidemment nulle.
La vitesse du point I
R de la roue s"exprime en fonction de celle du centre C :CICvCICvIv
RR ?Ω+=?Ω+=r r r r r où zur r est le vecteur vitesse angulaire instantanée de la roue. Le mouvement de la roue peut se décomposer en un mouvement de translation du centre Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 18 d"inertie C et en un mouvement de rotation autour de l"axe ),(zuCrà la vitesse angulaire :
zzuur& r rLa vitesse
)(RIvr s"appelle vitesse de glissement de la roue sur le sol, )(RgIvvr r . Elle est tangente au sol.La roue roule sans glisser sur le sol lorsque :
0)(r r r RgIvv Si on note x l"abscisse de C (et donc celle de I), on peut écrire : xyzxgubxubuuxvr r r& r& rLa condition de non glissement donne alors :
Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 19 0=-θ&&bx
Remarque :
Cette condition de non glissement revient à écrire que : θbMIxOI=== Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 202èm exemple ; mouvement d"une roue sur un support cylindrique
La roue de centre C et de rayon b roule sans glissement sur un support cylindrique de centre O et de rayon a, fixe dans (R), tout en restant dans un plan vertical. x y a O I b C rur ?urDéterminer le vecteur rotation
Ωr de la roue en fonction de l"angle
),(OCu yr Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 21On souhaite écrire :
0)()(r
r r r =?Ω+=CIuCvIv z puisqu"il n"y a pas glissement de la roue sur le support cylindrique. Or :0)(;)())(()(;r
rr&r&rrr ububaubaubadtdCvubCI rrPar conséquent :
bba+ Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 223 - Eléments cinétiques ; relations typiques pour un solide :
• Rotation d"un solide autour d"un axe fixe :On considère un solide (S) en rotation autour d"un axe Δ lié au solide et fixe dans (R) (Oxyz).
Très souvent, le référentiel d"étude sera le référentiel barycentrique (R b) (Gxyz) et les axes (Oz) et (Gz) seront soient confondus soient parallèles à l"axe de rotation Δ. Le solide est supposé homogène et on notera : VV dmdMm On pourra ensuite généraliser aux répartitions discrètes, surfaciques ou linéiques. Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 23Moment cinétique en un point de l"axe :
On prend l"exemple d"une porte qui tourne autour de ses gonds. M H z x y y S A O (S) zur&rθ=Ω xS Le solide et le référentiel lié au solide R (S)(OxSySz) tourne à la vitesse angulaire
zur& v autour de l"axe (Oz). Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 24On veut calculer le moment cinétique du solide dans le référentiel (R) par rapport à un point A
situé sur l"axe de rotation : VAMvdmAMLr
rOn introduit le point H tel que :
HM AH AM alors AHuAM z= r.Après calculs :
,//,)()(2AAVVALLdmHMAHdmHMLr
r r r Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 25Moment d"inertie :
On note
zAuLLr r la coordonnée du moment cinétique sur l"axe Δ : LΔ est appelé moment
cinétique du solide par rapport à l"axe Δ :Δ)(2
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