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1

MECANIQUE DU SOLIDE RIGIDE

ENSEIGNEMENT DE LICENCE DE MECANIQUE

UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE

LA 201 SECTION B

ANNEE 2006-2007

UPMC

A. ALLICHE

2 CHAPITRE I - CALCUL VECTORIEL - RAPPELS DE MATHEMATHIQUES

1 Espace vectoriel et représentation d'un vecteur.

Soit E un espace vectoriel de dimension n = 3, en fait 3 , de base 123
(,,)beee formée de 3 vecteurs linéairement indépendants. Tout vecteur de E peut être représenté par une combinaison linéaire des vecteurs de base de b :

112233

vveveve e ou bien sous la forme 3 1 ii i vv Une autre notation peut être adoptée, appelée aussi convention de l'indice muet ou convention d'Einstein : ii vve

L'indice répété i est l'indice muet sur lequel se fait l'opération. Cette convention n'est

applicable que dans le même monôme.

L'espace vectoriel E est souvent représenté par un repère R possédant une origine O et une

base. On notera : 123
(,,)beee 122
(;,,)ROeee

2 Opérations sur les vecteurs

2 - 1 Produit scalaire

Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique de ExE sur telle que la forme quadratique associée soit définie positive. Par définition une forme bilinéaire f est une application qui à deux vecteurs de E associe le réel et uv (,)fuv . Par ailleurs f est une application linéaire par rapport à chacun des arguments.

Notation :

(,).fuvuv La symétrie du produit scalaire est définie par la propriété : UPMC

A. ALLICHE

3 (,)..(,)fuvuvvufvu Une forme est dite définie positive si le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est positif et ne s'annule que si le vecteur .uu 0u

Remarques :

On définie le produit scalaire de 2 vecteurs et uv dans une base par : 123
(,,)beee 33
11 iijjijijiijj ij uvueveuveeueve Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul : .0uv

Cette dernière propriété nous permet d'écrire que dans le cas d'une base orthonormée nous

avons : 1 si 0 si ijij ij ee ij D'où une autre écriture possible pour le produit scalaire :

112233

iijjii uvueveuvuvuvuv Norme d'un vecteur : Parmi les définitions possibles de la norme on retiendra celle de la norme euclidienne : 1/22 iii i uuuuuu On se sert de cette dernière définition pour introduire une nouvelle notation du produit scalaire impliquant l'angle entre les deux vecteurs : ..cos(,uvuvuv)

2 - 2 Produit mixte

Soit E un espace vectoriel de base

123
(,,)beee . On appelle produit mixte des vecteurs de E, leur déterminant dans la base, et uvw 123
(,,)beee . On le note : UPMC

A. ALLICHE

4 (,,)(,,)uvwDetuvw On démontre que le déterminant est invariant par changement de la base b.

Propriétés :

Le produit mixte est invariant par rotation circulaire des vecteurs. Cette propriété est directement liée à celle des déterminants : (,,)(,,)(,,)uvwwuvvwu Le produit mixte de 3 vecteurs coplanaires est nul : (,,)0,, liésuvwuvw Les autres cas de nullité du produit mixte se vérifient dans le cas où deux des trois vecteurs sont colinéaires, et lorsque un des vecteurs est nul.

2 - 3 Produit vectoriel :

Théorème :

Soient deux vecteurs de E. et uv

l'application ER wuvw est une forme linéaire.

Il existe un unique vecteur

de E tel que : ,()(,,).wEwuvww

Démonstration :

est linéaire puisque le déterminant est linéaire par rapport au dernier argument. unicité de la deuxième proposition :

Supposons qu'il existe deux vecteurs et '

tel que : ,()(,,).'.wEwuvwww alors et donc le vecteur (').0wEw est orthogonal à tout vecteur de E. C'est un vecteur nul '

Existence :

Notons P la matrice constituée des vectrices colonnes de , et uvw UPMC

A. ALLICHE

5 111
222
333
uvw Puvw uvw

Nous aurons

123322133131221

(,,)det()()()uvwPwuvuvwuvuvwuvuv

Si l'on pose pour

233211331212213

()()(uvuveuvuveuvuve)

Nous obtenons alors :

(,,).uvww

Le vecteur

ainsi défini est le produit vectoriel des deux vecteurs ,uv et on note : uv

Retour au produit mixte :

Nous pouvons donc aisément écrire le produit mixte de la manière suivante : (,,).uvwuvw

Les propriétés du déterminant et la symétrie du produit scalaire permettent d'écrire :

(,,).(,,)(,,).uvwuvwvuwvwuuvw

Expression du produit vectoriel :

Le produit vectoriel uv

peut s'écrire de divers manières, en particulier en se servant de l'expression du déterminant précédente, on aura :

223311

12

331122

uvuvuv uveee uvuvuv 3 es

Propriétés du produit vectoriel :

a) L'application de EE dans E est anticommutative, bilinéaire et non associative. b) et uvuuvv c) 0, colinéairuvuv

Formule du double produit vectoriel

UPMC

A. ALLICHE

6 ()(.)(.)uvwuwvuvw (démonstration en TD)

2 - 4 Division vectoriel :

Soient deux vecteurs et vw

connus, existe-t-il un vecteur x tel que : vxw

Remarque :

doit être non nul v doivent être orthogonaux et vw vSi existe, alors x x est aussi solution. Recherchons maintenant le vecteur en fonction de x et vw En multipliant vectoriellement par , on obtient : v ()vvxvw En utilisant la formule du double produit vectoriel, on aboutit à l'expression suivante : 2 1 (.)(.)vxvvvxvwxvvw v On peut démontrer, à ce niveau la deuxième remarque ci-dessus : 2 1( vvw vxvvvw vv 2 en développant ce double produit vectoriel, on obtient : 2 (.)vww vxw v

Cette solution n'est valable que si .0vw

3 - Identité de Lagrange

Théorème :

Soient deux vecteurs de E. et uv

L'identité de Lagrange est définie par la relation suivante : 22
2 (.).uvuvuv 2

Démonstration :

2 ().()(,,)(,,)(().)uvuvuvuvuvvuvuvuvu UPMC

A. ALLICHE

7 En utilisant la formule du double produit vectoriel on obtient : ()(.).(.).vuvvvuvuv

D'où :

222
2 .(.uvuvuv L'identité de Lagrange nous permet d'écrire une autre formulation du produit vectoriel : ().sin(,uvuvuv

Démonstration :

2222222

22
.(.).(1cos(,)).(sin(,uvuvuvuvuvuvuv 2 et donc : .sin(,uvuvuv v

Orientation du produit vectoriel :

Considérant le plan passant par le point O et contenant les vecteursuet )ee . Soient (, une base de ce plan. Soit e 12 3 un vecteur perpendiculaire à ce plan et tel que 123
(,,)eee constitue une base orthonormé directe de E : on dit que le plan est orienté pare 3 . On a alors l'expression du produit vectoriel : 3 ().sin(,).uvuvuve

4 - Applications

est l'aire orientée du parallélogramme construit sur les vecteursu. uv ,v le produit mixte est le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs (,,)uvw ,,uvw w uv v u u v h

Aire parallélogramme :

Aire = Base * Hauteur = ..covhvus

Volume parallélépipède :

UPMC

A. ALLICHE

8

Volume = Base * Hauteur = ..cos().(,,uvwuvwuvw

UPMC

A. ALLICHE

9

CHAPITRE 2 - TORSEURS

I- Applications antisymétriques.

Soit une application de l'espace vectoriel E dans E : ( )uMLuM

L est antisymétrique : , uvExE

- uLvvLu Propriété : Toute application antisymétrique est linéaire. 12 , uuE et 12 , on a :

122112

, LuuLuLu 2 Soit maintenant la matrice représentant l'application par rapport à la base orthonormée directe de E : L 123
, , eee

111213

212223

313233

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