Fiche dexercices 1 : puissances entières et rationnelles
nombres réels. Contrairement à celui des nombres rationnels le développement décimal d'un nombre réel non rationnel ne peut pas être décrit à l'aide d'une ...
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e2ix = 1. Correction ▽. Vidéo □. [000108]. Exercice 6. Dans R2 on définit les nombre 16n +4n +3 est-il divisible par 3. [000168]. Exercice 75. Démontrer
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Solution de l'exercice 90 : Si ce nombre était rationnel son écriture décimale serait pério- Solution de l'exercice 104 : Clairement
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Montrer que. √. 2 ∈ Q. 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Indication Τ. Correction Τ.
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a est un nombre rationnel différent de 0 nest un nombre entier naturel différent de 0. est une fraction rationnelle : Vrai. Exercice 8. On considère la ...
Chapitre 1 exercice 3 1. Vrai : la somme dun nombre rationnel et d
nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle. Démonstration. Soient x1x2 ∈ R tels que x1 est rationnel et x2 est irrationnel. Montrons ...
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Fiche dexercices 1 : puissances entières et rationnelles
Puissances rationnelles. Conventions d'écriture . — Soit a ? R a ? 0. Pour tout p ? Z et q ? N? on écrit a p q pour repré- senter le nombre (ap).
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7 Corrigé des exercices. 69. Remerciements. nombres qui ne sont pas rationnels. ... Proposition 1.1.2 Le nombre d'Euler e n'est pas un nombre rationnel.
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supérieur ou égal à 2 qui n'est pas une puissance n-ième parfaite. que le nombre 0
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L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ?. Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'un quotient ... Exercices conseillés En devoir.
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Définition 1.5.1 Un nombre rationnel est un réel de la forme a Exercice 48** (Italie 04) a) Montrer qu'il existe 2004 puissances parfaites distinctes en.
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35. B = 35. ? C = 54. 3. 24. 2. 62 96. ?. ?. +. Essayons de déterminer dans chaque radicande ( nombre situé sous le radical ) le carré parfait le plus.
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Corrigé Cours de Mr JULES v4.2 Les nombres sont le plus haut degré de la Connaissance. ... VII. Exercices récapitulatifs sur les puissances.
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Règles de calcul avec les puissances entières — Pour tous réels xy et pour tous entiers naturels n ? 1 et m ? 1 on a : Table 1 Propriétés Exemples
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Exercices CORRIGES sur les Puissances - Site de maths du lycee La Merci (Montpellier) Chap 1 - Ex 6B - Puissances entières d'un nombre relatif - CORRIGE
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Rappels : • La puissance n-ème d'un nombre a est le produit de n Exercice 9 4: En détaillant le calcul si nécessaire compléter les écritures suivantes:
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Une fraction est aussi appelée nombre rationnel Exercice 1 : Trouver les nombres décimaux équivalents aux fractions ci- Puissances (entières)
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En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre Nn par une puissance de 10 suffisament grande pour obtenir un nombre entier
Comment calculer les puissances d'un nombre rationnel ?
Enfin, nous avons vu que nous pouvons déterminer la puissance d'un nombre rationnel en trouvant séparément la puissance du numérateur et du dénominateur. Si est un entier positif et sur est un nombre rationnel, alors sur à la puissance est égal à à la puissance divisé par à la puissance .Qu'est-ce qu'une puissance rationnelle ?
Etant donné un rationnel il existe au moins un couple appartenant à Z × N ? tel que r = p q : on dit que est un représentant de.Quelles sont les règles des puissances ?
Propriétés des puissances
le produit de deux puissances de même exposant : a n × b n = (ab) n ; le produit de deux puissances du même nombre : a n × a p = a n +p ; le quotient de deux puissances du même nombre : \\frac{a^n}{a^p} = a^{n-p} ; une puissance de puissance : (a n ) p = a np .- La puissance d'un nombre se calcule en multipliant le nombre par lui-même. Une puissance est composée de 2 éléments: 1) Une base qui indique le nombre à multiplier par lui-même. 2) Un exposant qui indique combien de fois le nombre est multiplié par lui-même.
Document disponible àhttp://www.univ-montp3.fr/miap/ens/AES/XA101M/index.html.XA101M - méthodologie mathématique
Année 2003-2004Fiche d"exercices 1 : puissances entières et rationnelles1 ????SAVOIR????Puissances entières positives et négatives Définition . -Soitn≥1 un entier naturel, la puissancened"un réelxest le produit den facteurs égaux àx, on le notexnet on lit "xà la puissancen». On a donc x n=x×x···×x???? nfois. Règles de calcul avec les puissances entières . -Pour tous réelsx,yet pour tous entiersnaturelsn≥1 etm≥1, on a :Table 1PropriétésExemples(1)xnxm=xn+m2527=25+7=212(2)(xn)m=xnm(25)7=25×7=235(3)?xy?n=xnyn610=(2×3)10=210·310(4)?xy?
n =xnyn(oùy?=0)?23? 4=2434Identités remarquables . -(savoir au moins la première colonne)(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a-b)2=a2-2ab+b2(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3a2-b2=(a-b)(a+b)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)Extensiondeladéfinitionauxexposantsnégatifs. -On peut généraliser la définition dexn
auxexposantsnégatifsounuls,pourcelailfautquex?=0,etonposelesdéfinitionssuivantes:Définitions(x?=0 etn?N)Exemplesx0=120=1x-n=1xn3-2=132=19Et les règles de calcul exposées dans la table 1 sont encore vraies. En particulier :Propriétés (x?=0 etn,m?Z)Exemplesxnxm=xn-m2522=25-2=23=8xnxm=1xm-n2225=125-2=123=182
- EXERCICES-I)Simplifier les expressions suivantes.
(8x8)8)(5x3y2)(4x3y5) 9) (-3a-7)(2a2)12)(u-2v3)-413)?a5b2a7b2? -3 14)3?z2x4y?
417)?3x5y4x0y-3?
218)(-2x3y2)5?x78y3?
-2 19)2a4b4(c-1)3a-2b3c43(a-1b-2c)2ac220)?
a4b-4(a-2b3)-2?3?4(a-3b2)3a8b-10?
-2. II)Utiliser les identités remarquables pour transformer les expressions suivantes.1)x4+2x2y3+y62)z6-2z3t8+t163)2r-1-r2
????SAVOIR????Racines carrées, racines cubiques, racinesqe Définition . -Soitaetbdeux nombres réelspositifsetqun entier naturel non nul, on dit quebest la racineqedeasi on abq=a. On note ce nombrebparq?aou para1q. Remarques . -Pourq=1 on a1?a=aet pourq=2 on écrit?aau lieu de2?a. On lit alors " racine carrée dea» au lieu de " racine deuxième dea». Lorsqueq=3, on dit " racine cu- bique » plutôt que " racine troisième ».Propriétés . -Soitp≥1 etq≥1 des entiers naturels eta,bdes réels positifs ou nuls on a :PropriétésExemples(0)01q=0(1)11q=1(2)(a1q)q=a(?3)2=3;(514)4=5(3)a1pa1q=a(1p+1q)213214=2(13+14)=2712(4)a1qb1q=(ab)1p214314=614;?50=?25×2=?25?2=5?2(5)(a1q)1q=a1pq3?4?2=?
214?13=2112=12?2(6)?ab?
1q=a1qb1q3?38=?38?
13=313813=3?32- EXERCICES-
III) 1)Laracinecarréed"unnombrepeut-elleêtrestrictementnégative?2)Etlaracinecubiqued"un nombre?3)Combien existe-t"il de nombresxtel quex2=4?4)Combien existe-t"il de nombres xtel quex3=8?5)Combien existe-t"il de nombresxtel quex2= -4?6)Combien existe-t"il de nombresxtel quex3=-8?3 IV)Calculer :1)?162)16143)27134)?725)?(-7)26)?567)?32+528)?(3+5)29)(?α)210)?α211)(?6-?2)212)(2+?3)2.
6) ?(?7+2)2+?(?7-2)27)?(2+?7)2+?(2-?7)2. ????SAVOIR????Puissances rationnelles Conventions d"écriture . -Soita?R,a≥0. Pour toutp?Zetq?N?on écritapqpour repré- senter le nombre (ap)1q. Et pour tout nombre rationnelrreprésenté parpq, on écritar=apq.Règles de calcul . -Pour tousa,b?R,a≥0,b≥0,p?Zetq?N?,r,r??QPropriétés(1)apq=(ap)1q=?
r=arbr(oùb?=0)- EXERCICES-VI)Remplacer les points d"interrogation par des valeurs numériques adéquates :1)3?2×4?5=12??
2)7?a23?a?
2=a?×??a5.
VII)Simplifier les expressions suivantes :1)?4?
3??4?2??22)3
?4?8?5?3?4?
2??23)27-23×4912×1654?5?243?24)
3 ?a5?4?a7?2?a2?25?a26?a35)5
?4?5?3?4?
28)16?9·3?9? ??9?
3?5??3?
2.4 ????SAVOIR????L"équationxn=apour les nombres réels Quand on écrita1q,apq,?a,n?a, par définitionaest un nombrepositifet ces symboles repré- sentent des nombrespositifs. Néanmoins on peut, grâce aux racines rationnelles, exprimer les solutions réellesxde l"équationxn=a, oùnetasont respectivement un entier et un nombre réel. On doit considérer deux cas suivant la parité den: 1 ercas :nest pair(c"est-à-dire quendivisé par 2 est un entier).alors-xest aussi solution. Il suffit donc de connaître les solutions positives de cette équation
pour décrire toutes les solutions. Lorsquea≥0 l"équationxn=an"a qu"une seule solution réelle et positive : c"est n?a, et l"autre solution est-n?a. 2 ecas :nest impair(c"est-à-dire quendivisé par 2 n"est pas un entier). Dans ce cas, même lorsqueaest négatif, il y a des solutions. Sia≥0, alorsx≥0 et par définition on ax=n?a. Cette solution est unique. D"après ce qui prècède on a l"unique solutiony=n?aqui se récritx= -n?-ace qu"on peut écrire plus simplementx=-n?|a|, en ayant remarqué que-a=|a|(valeur absolue dea). -xsinon. - EXERCICES- VIII)Résoudre les équations :1)x6=642)x5=2433)x6=-7124)x3=-85)(x+2)10=?26) IX)(Tiré de l"examen 2003) La masse moyenneMen kg d"une femme dont la taille en cm esthest donnée parM=0,0097h1,7.1)Calculer la taille d"une femme pesant 60kg.2)Que devient la taille lorsque la masse d"une personne de 1,70m augmente de 10%? ?Uncomplémentsurlesensemblesdenombres. -Lesnombresentiers naturelssontlesnombresobtenus à partir de 0 par ajout successifs de 1. Les nombres entiers naturels sont donc les nombres 0,
1, 2, 3,... L"ensemble des entiers naturels est notéN. Étant donné un entier natureln, il existe un seul
nombrextel quex+n=0. Ce nombre se note-net s"appelle l"opposé den. Un nombre qui est soit entiernaturelsoitl"opposéd"unentiernaturels"appelleunnombreentier(ondit aussiparfoisentier relatif). Les nombres entiers sont donc ...,-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5... On noteZl"ensemble des nombres entiers. Les nombresrationnelssont les nombres obtenus en divisant un entier par un an=n/1). L"ensemble des nombres rationnels est notéQ. Par exemple, 4/5 et-6/71 sont des ration-nels. Les nombres rationnels ont un développement décimalpériodique à partir d"un certain rangce5
qui signifie qu"à partir d"une certaine décimale, une suite de chiffres se répète. Le développement de
-6/71 estPour obtenir le développement décimal entier, il faut reporter à la place de···la suite
08450704225352112676056338028169014
une infinité de fois. Le développement décimal de 1/30 est obtenu en remplaçant dans 0,0333... les
points par 3 répété infiniment. Les nombres qui sont rationnels ou qui ont un développement déci-
mal qui n"est pas périodique à partir d"un certain rang sont appelés nombresréels. Contrairement à
être décrit à l"aide d"une suite finie de chiffres. Par exemple, la longueur de la diagonale d"un carré
de côté 1 est le nombre réel (et non rationnel) noté?2. Le périmètre d"un cercle de diamètre 1 est le
nombre réel (et non rationnel) notéπ. On noteRl"ensemble des nombres réels. On a les inclusions
N?Z?Q?R
ce qui signifie que chaque entier naturel est aussi un entier, chaque entier est aussi un rationnel et
chaque rationnel est aussi un réel. Il est souvent difficile de savoir si un nombre est rationnel ou non,
c"est encore un sujet derecherche très actuel. Il existe d"autres nombres dont nous ne parlerons pas ici.?6quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7[PDF] puissance d'un nombre relatif exercice
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