[PDF] [PDF] Fiche dexercices 1 : puissances entières et rationnelles

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Année 2003-2004Fiche d"exercices 1 : puissances entières et rationnelles1 ????SAVOIR????Puissances entières positives et négatives Définition . -Soitn≥1 un entier naturel, la puissancened"un réelxest le produit den facteurs égaux àx, on le notexnet on lit "xà la puissancen». On a donc x n=x×x···×x???? nfois. Règles de calcul avec les puissances entières . -Pour tous réelsx,yet pour tous entiers

naturelsn≥1 etm≥1, on a :Table 1PropriétésExemples(1)xnxm=xn+m2527=25+7=212(2)(xn)m=xnm(25)7=25×7=235(3)?xy?n=xnyn610=(2×3)10=210·310(4)?xy?

n =xnyn(oùy?=0)?23? 4

=2434Identités remarquables . -(savoir au moins la première colonne)(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a-b)2=a2-2ab+b2(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3a2-b2=(a-b)(a+b)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)Extensiondeladéfinitionauxexposantsnégatifs. -On peut généraliser la définition dexn

auxexposantsnégatifsounuls,pourcelailfautquex?=0,etonposelesdéfinitionssuivantes:Définitions(x?=0 etn?N)Exemplesx0=120=1x-n=1xn3-2=132=19Et les règles de calcul exposées dans la table 1 sont encore vraies. En particulier :Propriétés (x?=0 etn,m?Z)Exemplesxnxm=xn-m2522=25-2=23=8xnxm=1xm-n2225=125-2=123=182

- EXERCICES-

I)Simplifier les expressions suivantes.

(8x8)8)(5x3y2)(4x3y5) 9) (-3a-7)(2a2)12)(u-2v3)-413)?a5b2a7b2? -3 14)

3?z2x4y?

4

17)?3x5y4x0y-3?

2

18)(-2x3y2)5?x78y3?

-2 19)

2a4b4(c-1)3a-2b3c43(a-1b-2c)2ac220)?

a4b-4(a-2b3)-2?

3?4(a-3b2)3a8b-10?

-2. II)Utiliser les identités remarquables pour transformer les expressions suivantes.1)x4+2x2y3+y6

2)z6-2z3t8+t163)2r-1-r2

????SAVOIR????Racines carrées, racines cubiques, racinesqe Définition . -Soitaetbdeux nombres réelspositifsetqun entier naturel non nul, on dit quebest la racineqedeasi on abq=a. On note ce nombrebparq?aou para1q. Remarques . -Pourq=1 on a1?a=aet pourq=2 on écrit?aau lieu de2?a. On lit alors " racine carrée dea» au lieu de " racine deuxième dea». Lorsqueq=3, on dit " racine cu- bique » plutôt que " racine troisième ».

Propriétés . -Soitp≥1 etq≥1 des entiers naturels eta,bdes réels positifs ou nuls on a :PropriétésExemples(0)01q=0(1)11q=1(2)(a1q)q=a(?3)2=3;(514)4=5(3)a1pa1q=a(1p+1q)213214=2(13+14)=2712(4)a1qb1q=(ab)1p214314=614;?50=?25×2=?25?2=5?2(5)(a1q)1q=a1pq3?4?2=?

214?

13=2112=12?2(6)?ab?

1q=a1qb1q3?38=?38?

13=313813=3?32- EXERCICES-

III) 1)Laracinecarréed"unnombrepeut-elleêtrestrictementnégative?2)Etlaracinecubiqued"un nombre?3)Combien existe-t"il de nombresxtel quex2=4?4)Combien existe-t"il de nombres xtel quex3=8?5)Combien existe-t"il de nombresxtel quex2= -4?6)Combien existe-t"il de nombresxtel quex3=-8?3 IV)Calculer :1)?162)16143)27134)?725)?(-7)26)?567)?32+528)?(3+5)29)(?α)2

10)?α211)(?6-?2)212)(2+?3)2.

6) ?(?7+2)2+?(?7-2)27)?(2+?7)2+?(2-?7)2. ????SAVOIR????Puissances rationnelles Conventions d"écriture . -Soita?R,a≥0. Pour toutp?Zetq?N?on écritapqpour repré- senter le nombre (ap)1q. Et pour tout nombre rationnelrreprésenté parpq, on écritar=apq.

Règles de calcul . -Pour tousa,b?R,a≥0,b≥0,p?Zetq?N?,r,r??QPropriétés(1)apq=(ap)1q=?

r=arbr(oùb?=0)- EXERCICES-

VI)Remplacer les points d"interrogation par des valeurs numériques adéquates :1)3?2×4?5=12??

2)

7?a23?a?

2=a?×??a5.

VII)Simplifier les expressions suivantes :1)?4?

3??4?

2??22)3

?4?8?

5?3?4?

2??23)27-23×4912×1654?5?243?24)

3 ?a5?

4?a7?2?a2?25?a26?a35)5

?4?

5?3?4?

28)16
?9·3?9? ??9?

3?5??3?

2.4 ????SAVOIR????L"équationxn=apour les nombres réels Quand on écrita1q,apq,?a,n?a, par définitionaest un nombrepositifet ces symboles repré- sentent des nombrespositifs. Néanmoins on peut, grâce aux racines rationnelles, exprimer les solutions réellesxde l"équationxn=a, oùnetasont respectivement un entier et un nombre réel. On doit considérer deux cas suivant la parité den: 1 ercas :nest pair(c"est-à-dire quendivisé par 2 est un entier).

alors-xest aussi solution. Il suffit donc de connaître les solutions positives de cette équation

pour décrire toutes les solutions. Lorsquea≥0 l"équationxn=an"a qu"une seule solution réelle et positive : c"est n?a, et l"autre solution est-n?a. 2 ecas :nest impair(c"est-à-dire quendivisé par 2 n"est pas un entier). Dans ce cas, même lorsqueaest négatif, il y a des solutions. Sia≥0, alorsx≥0 et par définition on ax=n?a. Cette solution est unique. D"après ce qui prècède on a l"unique solutiony=n?aqui se récritx= -n?-ace qu"on peut écrire plus simplementx=-n?|a|, en ayant remarqué que-a=|a|(valeur absolue dea). -xsinon. - EXERCICES- VIII)Résoudre les équations :1)x6=642)x5=2433)x6=-7124)x3=-85)(x+2)10=?26) IX)(Tiré de l"examen 2003) La masse moyenneMen kg d"une femme dont la taille en cm esthest donnée parM=0,0097h1,7.1)Calculer la taille d"une femme pesant 60kg.2)Que devient la taille lorsque la masse d"une personne de 1,70m augmente de 10%? ?Uncomplémentsurlesensemblesdenombres. -Lesnombresentiers naturelssontlesnombres

obtenus à partir de 0 par ajout successifs de 1. Les nombres entiers naturels sont donc les nombres 0,

1, 2, 3,... L"ensemble des entiers naturels est notéN. Étant donné un entier natureln, il existe un seul

nombrextel quex+n=0. Ce nombre se note-net s"appelle l"opposé den. Un nombre qui est soit entiernaturelsoitl"opposéd"unentiernaturels"appelleunnombreentier(ondit aussiparfoisentier relatif). Les nombres entiers sont donc ...,-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5... On noteZl"ensemble des nombres entiers. Les nombresrationnelssont les nombres obtenus en divisant un entier par un an=n/1). L"ensemble des nombres rationnels est notéQ. Par exemple, 4/5 et-6/71 sont des ration-

nels. Les nombres rationnels ont un développement décimalpériodique à partir d"un certain rangce5

qui signifie qu"à partir d"une certaine décimale, une suite de chiffres se répète. Le développement de

-6/71 est

Pour obtenir le développement décimal entier, il faut reporter à la place de···la suite

08450704225352112676056338028169014

une infinité de fois. Le développement décimal de 1/30 est obtenu en remplaçant dans 0,0333... les

points par 3 répété infiniment. Les nombres qui sont rationnels ou qui ont un développement déci-

mal qui n"est pas périodique à partir d"un certain rang sont appelés nombresréels. Contrairement à

être décrit à l"aide d"une suite finie de chiffres. Par exemple, la longueur de la diagonale d"un carré

de côté 1 est le nombre réel (et non rationnel) noté?2. Le périmètre d"un cercle de diamètre 1 est le

nombre réel (et non rationnel) notéπ. On noteRl"ensemble des nombres réels. On a les inclusions

N?Z?Q?R

ce qui signifie que chaque entier naturel est aussi un entier, chaque entier est aussi un rationnel et

chaque rationnel est aussi un réel. Il est souvent difficile de savoir si un nombre est rationnel ou non,

c"est encore un sujet derecherche très actuel. Il existe d"autres nombres dont nous ne parlerons pas ici.?6quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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