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En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre Nn par une puissance de 10 suffisament grande pour obtenir un nombre entier
Comment calculer les puissances d'un nombre rationnel ?
Enfin, nous avons vu que nous pouvons déterminer la puissance d'un nombre rationnel en trouvant séparément la puissance du numérateur et du dénominateur. Si est un entier positif et sur est un nombre rationnel, alors sur à la puissance est égal à à la puissance divisé par à la puissance .Qu'est-ce qu'une puissance rationnelle ?
Etant donné un rationnel il existe au moins un couple appartenant à Z × N ? tel que r = p q : on dit que est un représentant de.Quelles sont les règles des puissances ?
Propriétés des puissances
le produit de deux puissances de même exposant : a n × b n = (ab) n ; le produit de deux puissances du même nombre : a n × a p = a n +p ; le quotient de deux puissances du même nombre : \\frac{a^n}{a^p} = a^{n-p} ; une puissance de puissance : (a n ) p = a np .- La puissance d'un nombre se calcule en multipliant le nombre par lui-même. Une puissance est composée de 2 éléments: 1) Une base qui indique le nombre à multiplier par lui-même. 2) Un exposant qui indique combien de fois le nombre est multiplié par lui-même.
Cours d"analyse 1
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Guy Laffaille
Christian Pauly
janvier 2006 2Table des mati`eres
1 Les nombres r´eels et complexes 5
1.1 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2 Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.3 Densit´e des rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2 Logique et langage des ensembles 15
2.1 Propositions et op´erateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.3 Techniques de d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.1 R´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.2 Contrapos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.3 D´emonstration par l"absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.4 Langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
3 Suites r´eelles et complexes 21
3.1 Limite d"une suite r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.2 Propri´et´es de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
3.3 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
3.4 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
3.5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
4 Fonctions d"une variable r´eelle 39
4.1 Limite et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
4.2 Propri´et´es de la limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
4.3 Propri´et´es des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
4.4 Fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
4.5 Propri´et´es des fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
4.6 Application aux suites r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
5 D´eveloppements limit´es 55
5.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
5.3 Calcul de d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
34TABLE DES MATI`ERES6 Fonctions classiques 63
6.1 Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
6.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
6.3 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
6.4 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
7 Corrig´e des exercices 69
Remerciements.
Merci `a Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, Denis Trotabas et Daniel Maerten pour les exercices de TD. Merci `a Michele Bolognesi pour la r´edaction de quelques corrig´es d"exercices. Merci `a Ivan Babenko pour la preuve de l"irrationnalit´e du nombre d"Euler.Chapitre 1
Les nombres r´eels et complexes
1.1 Nombres rationnels
On d´esigne parNl"ensemble des entiers naturelsN={0,1,2,3,...}.
Comme chaque entier naturelnadmet un successeurn+ 1, on se convainc sans peine queNest un ensemble infini. On noteN?l"ensembleN\{0}, c"est-`a-dire l"ensemble des entiers naturels non nuls. ´Etant donn´e deux entiers naturelsxetyon sait d´efinir les nombres x+y,x-y,x·yetxy ,siy?= 0.On remarque que l"addition et la multiplication sont des op´erations qui ont leur r´esultat dansN.
Par contre le r´esultat d"une soustraction ou d"une division n"est pas toujours un entier naturel.
On cr´ee ainsi de nouveaux nombres
Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...},
l"ensemble des entiers relatifs - on noteraZ?=Z\ {0}- et Q=?ab |a?Zetb?Z?? l"ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fraction ab aveca·nb·npour touta?Z etb,n?Z?.On a bien entendu les inclusions suivantes
N?Z?Qet les quatre op´erations ´el´ementaires +,-,·et/peuvent s"´etendre `a l"ensembleQdes nombres
rationnels. Les Grecs classiques ont cru longtemps que toutes les quantit´es s"exprimaient par des nombres rationnels. Ils se sont aper¸cu que ce n"est pas toujours le cas. En effet on peut construire des nombres qui ne sont pas rationnels. Consid´erons par exemple un triangleABCrectangle enA56CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESABC
b caSi on noteala longueur du segmentBC,bcelle deCAetccelle deAB, alors le th´eor`eme dePythagore dit qu"on a la relation
a2=b2+c2.
Ainsi on obtient que la longueur de la diagonale d"un carr´e de cˆot´eb=c= 1 est ´egale `aa=⎷2.
Proposition 1.1.1Le nombre
⎷2n"est pas un nombre rationnel. D´emonstration.Nous allons faire une d´emonstration par l"absurde.1 Supposons que⎷2 est rationnel. Il existe alors deux entiers positifsa,btels que⎷2 =a/b. Si aetbsont pairs, on peut simplifier la fractiona/bpar 2. En simplifiant par 2 autant que possible, on arrive au cas o`u au moins un des deux entiersaoubestimpair.En ´elevant au carr´e l"´egalit´e⎷2 =a/bet en chassant le d´enominateur, on arrive `a
2b2=a2.
Donca2est pair. Siaest impair, on peut ´ecrirea= 2a?+ 1, alorsa2= 4a?2+ 4a?+ 1 qui est impair. On en d´eduit donc queaestpair, donc on peut ´ecrirea= 2a?, ce qui donne 2b2= 4a?2et en simplifiant par 2, on obtient b2= 2a?2.
C"est la mˆeme ´equation que ci-dessus aveca?`a la place debetb`a la place dea. Le mˆeme raisonnement montre alors quebest aussipair. On a donc une contradiction et⎷2 ne peut pas ˆetre rationnel.Voici d"autres exemples de nombres irrationnels.1.Le nombreπ= 3,1415...d´efini comme la circonf´erence d"un cercle de diam`etre 1.2.Le nombre d"Eulere= 2,718..., la base de l"exponentielle, d´efini comme somme infinie2
e= 1 +11! +12! +13! +···+1k!+···3.Les racines carr´es ⎷nsinest un entier qui n"est pas un carr´e, c"est-`a-dire qui n"est pas de la formen=k2aveck?N.Proposition 1.1.2Le nombre d"Euleren"est pas un nombre rationnel.1 voir section 2.3.32Par d´efinitionn! = 1·2·3···n
1.2. NOMBRES R
´EELS7D´emonstration.Comme pour⎷2 nous allons faire une d´emonstration par l"absurde. Supposons
donc queeest rationnel. Il existe alors deux entiersa,b?N?tels que e=ab = 1 +11! +12! +13! +···+1n!+··· Multiplions parb!. Alors on obtient l"´egalit´e ab b!-? b! +b! +b!2! +b!3! +···+b!b!?1b+ 1+1(b+ 1)(b+ 2)+1(b+ 1)(b+ 2)(b+ 3)+···+1(b+ 1)(b+ 2)···(b+n)+···
Il est clair que tous les termes de la somme `a gauche sont des nombres entiers, donc la somme, qu"on noteras, est aussi un entier. En utilisant la minoration (b+ 1)(b+ 2)···(b+n)>(b+ 1)n on obtient un l"encadrement suivant des0< s <1b+ 1+1(b+ 1)2+1(b+ 1)3+···+1(b+ 1)n+···.
Cette derni`ere somme infinie vaut
1b+1·11-1b+1=1b
d"apr`es la formule donnant la somme d"une s´erie g´eom´etrique (voir (1.1)). Ainsi on obtient l"encadrement0< s <1b
ce qui contreditsentier.La preuve de l"irrationalit´e deπet d´epasse largement le cadre de ce cours. Nous renvoyons par
exemple au livre "Autour du nombreπ" de Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon.Par contre l"irrationalit´e de
⎷nse montre de la mˆeme fa¸con que celle de⎷2 (exercice).1.2 Nombres r´eels
La proposition 1.1.1 dit que
⎷2 n"est pas rationnel, c"est-`a-dire ne peut pas s"´ecrire commequotient de deux entiers. Cependant nous savons que le nombre⎷2 peut s"´ecrire sous forme d"un
d´eveloppement d´ecimalinfini⎷2 = 1,41421356...Dans ce cours nous prenons cette repr´esentation d´ecimale comme d´efinition d"un nombre r´eel.D´efinition 1.2.1 (nombre r´eel)Un nombre r´eel est une collection de chiffres{c0,...,cm}et
{d1,d2,...}compris entre0et9. Les chiffrescisont en nombre fini et les chiffresdjpeuvent ˆetreen nombre infini. On fait correspondre `a cette collection le nombre donn´e par le d´eveloppement
d´ecimal x=cmcm-1...c1c0,d1d2d3...dn....Exemples.
8CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXES1.Les d´ecimales du nombreπsont
c0= 3, d1= 1, d2= 4, d3= 1,....2.S"il n"y a qu"un nombre fini de d´ecimalesdjnon nulles, alors le r´eelxest un rationnel et
x=cm10m+cm-110m-1+···+c110 +c0+d110-1+···+dn10-n(xest rationnel, car c"est une somme de rationnels).3.Un nombre rationnel admet un d´eveloppement d´ecimal, donc est r´eel. On a
13= 0,3333...(que des 3)Th´eor`eme 1.2.1Un nombre r´eel est rationnel si et seulement si son d´eveloppement d´ecimal est
p´eriodique `a partir d"un certain rang. Nous admettons ce r´esultat. On peut se convaincre que c"est vrai en effectuant une division dedeux entiers (3/7 par exemple) et en constatant qu"il n"y a qu"un nombre fini de possibilit´es pour
les restes, donc ¸c`a boucle.Remarques.1.Cette d´efinition nous suffira pour ce cours mais elle n"est pas tr`es satisfaisante. D"abord un
nombre r´eel peut avoir deux d´eveloppements d´ecimaux distincts. Par exemple 1 = 0,9999... (toujours des 9). On peut pour s"en convaincre ´ecrire0,9999···=910
1 +110
+···+110 n···? On voit qu"on a affaire `a un progression g´eom´etrique et on peut utiliser la formule donnant la somme d"une s´erie g´eom´etrique11-a= 1 +a+a2+···+an+···(1.1)
vraie pour tout r´eelatel que|a|<1 (ici on prenda=110.)2.Cette d´efinition fait r´ef´erence au nombre 10. On peut prendre une autre base de num´eration,
ce qui donnerait une d´efinition ´equivalente d"un nombre r´eel.3.Les op´erations addition, multiplication,... ne sont pas si faciles que l"on pourrait le penser
`a cause du probl`eme des retenues.4.Il existe des constructions plus intrins`eques de l"ensemble des r´eels. Ces constructions d´epassent
le cadre de ce cours.5.Il est impossible de d´efinir rigoureusement le nombreπpar son d´eveloppement d´ecimal. Il
faudrait un temps et un espace infini pour calculer TOUTES les d´ecimales deπ! Donner unevaleur approch´ee (utilis´ee dans le calcul num´erique) d"un nombre r´eel, aussi bonne qu"elle
soit, n"est pas une d´efinition au sens math´ematique. L"ensemble des r´eels sera not´eRet l"on a les inclusionsN?Z?Q?R.
On notera tr`es souventR?l"ensemble des r´eels non nuls. r´eels.1.2. NOMBRES R
´EELS9D´efinition 1.2.2 (majorant, minorant, partie born´ee)siAa un minorant.3.Si la partieAest major´ee et minor´ee, on dit queAestborn´ee.D´efinition 1.2.3 (intervalle, segment)
aussi que[a,b]est un segment.2.On note]a,b[l"ensemble des r´eelsxtels quea < x < b. C"est un intervalleouvert.
On d´efinit de mˆeme les intervalles mixtes ou semi-ouverts [a,b[ et ]a,b]. On introduit aussi le
Exemples.-1,23,πsont des majorants du segmentA= [0,1]. 1 est un majorant deA= [0,1[.-L"intervalle [a,+∞[ n"a pas de majorant.Th´eor`eme 1.2.2 (Propri´et´e d"Archim`ede)Soientxetydeux r´eels>0, alors il existe un
entierntel queny > x.Nous ne d´emontrons pas cette propri´et´e. Elle dit qu"en faisant assez de pas de longueuryon
d´epassex. D"ailleurs avec notre d´efinition des r´eels la propri´et´e d"Archim`ede est ´evidente, ce qui
est loin d"ˆetre le cas quand on d´efinit un nombre r´eel de mani`ere intrins`eque.D´efinition 1.2.4 (borne sup´erieure, borne inf´erieure)SoitAune partie non vide deR(ou
le minimum de l"ensemble des majorants deAetborne inf´erieuredeAle maximum de l"ensemble des minorants deA.Avant d"´enoncer le th´eor`eme d"existence de la borne sup´erieure dansR, montrons que la borne
sup´erieure n"existe pas toujours. On se place dansQmuni de l"ordre naturel.Proposition 1.2.1Consid´erons la partieA={x?Q|x2<2}. AlorsAn"a pas de borne
sup´erieure dansQ. D´emonstration.SoitMun majorant deAdansQ. Il y en a : 2,127 en sont. Posons M ?=M2+ 22M. Nous allons v´erifier queM?est un autre majorant (dansQ) et queM?< M, ce qui prouve qu"il n"y a pas de plus petit majorant. Montrons queM?est un majorant : il suffit de voir queM?2>2. On calcule M ?2-2 =(M2+ 2)24M2-2 =M4-4M2+ 44M2=(M2-2)24M210CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESqui est bien strictement positif. En effetM2-2?= 0, car sinon⎷2 serait rationnel (voir proposition
1.1.1).
V´erifions queM?< M. On calcule
M-M?=M-M2+ 22M=M2-22M
qui est bien strictement positif puisqueMest un majorant rationnel deA. On peut aussi tracer le graphe de la fonction qui donneM?en fonction deM y=x2+ 22x C"est une hyperbole de centre l"origine, d"asymptotex= 0 ety=x/2 qui coupe la premi`erebissectrice au point (⎷2,⎷2) o`u on a une tangente horizontale. On voit alors imm´ediatement sur
le dessin que⎷2< M?< Msi on a prisM >⎷2.MM0p2Remarque. Le choix de la fonctionfqui d´efinitM?=f(M) n"est pas essentiel. Ici on a choisif(x) =x2+22x, mais n"importe quelle fonction rationnelle (=quotient de deux polynˆomes) satisfaisant aux trois conditions (1)f(⎷2) =aurait pu servir dans la preuve pr´ec´edente. Ceci sera expliqu´e en d´etail un peu plus tard (section
4.6).Th´eor`eme 1.2.3SoitAune partie non vide deR.1.SiAest major´ee, alorsAadmet une borne sup´erieure, not´eesupA.2.SiAest minor´ee, alorsAadmet une borne inf´erieure, not´eeinfA.
Nous admettons ce th´eor`eme.
Exemples.-On a sup[0,1] = 1 et sup[0,1[ = 1.-On a sup{x?Q|x2<2}=⎷2 mais comme partie deQon vient de voir que cette partie
n"a pas de borne sup´erieure.1.3. DENSIT
´E DES RATIONNELS ET IRRATIONNELS111.3 Densit´e des rationnels et irrationnels D´efinition 1.3.1 (densit´e)SoitAune partie deR. On dit queAestdensedansRsiArencontre tout intervalle ouvert]a,b[aveca < b.Th´eor`eme 1.3.1L"ensembleQest dense dansR. D´emonstration.Soita,bdeux r´eels tels quea < b. Il s"agit d"exhiber un rationnelp/qtel que a < p/q < b.En appliquant la propri´et´e d"Archim`ede (th´eor`eme 1.2.2), on voit qu"il existe un entierqtel
que1b-a< q (on prendy= 1 etx= 1/(b-a)). On obtient qa+ 1< qb.(1) Soitple plus petit entier relatif tel quep > qa. On a alors D´emonstration.Soitiun nombre irrationnel, par exemple⎷2.Soientaetbdeux r´eels tels quea < b. On applique le th´eor`eme pr´ec´edent `a ]a-i,b-i[ : il
existe un rationnelrtel quea-i < r < b-i. Alorsa < i+r < b. Le nombrex=i+rest irrationnel, sinoni=x-rserait rationnel contrairement `a l"hypoth`ese. Le th´eor`eme est donc d´emontr´e.Remarque.quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20[PDF] puissance d'un nombre relatif exercice
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