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MÉCANIQUE

GÉNÉRALE

Cours et exercices corrigés

Sylvie Pommier

Professeur à l'École Normale Supérieure de Cachan

Yves Berthaud

Professeur à l'université Pierre-et-Marie-Curie

Illustration de couverture : Digitalvision

© Dunod, Paris, 2010

ISBN 978-2-10-054820-0

TABLEDESMATIÈRES

INTRODUCTION1

PREMIÈREPAR TIE

CINÉMATIQUE-CINÉTIQUE

CHAPITRE1 •CINÉMATIQUE............................................7

1.1R éférentielsd'espaceetdetemps............................7

1.2Cinématique dupoint.......................................11

CHAPITRE2 •LESOLIDEINDÉFORMABLE .................................1 2

2.1Définition ...................................................12

2.2Paramétrage del apositionrelativede deuxsolides............12

2.3Cinématique dusolide.......................................19

Exercices.........................................................3 2 Solutionsdese xercices ............................................41 CHAPITRE3 •CINÉTIQUE...............................................50

3.1T orseurcinétique............................................50

3.2Calcul descentresd emasse..................................58

3.3Calculd esmomentsd 'inertieetdel 'opérateurd'inertie .......58

3.4M omentd'inertied'unsolideparrapport àunpoint ..........6 3

3.5Théorème d'Huyghens.......................................64

3.6Théorème d'HuyghensSteiner...............................65

3.7Axes principauxd'inertie.....................................66

3.8Énergie cinétiqued'unsolide.................................68

3.9Torseur dynamique..........................................69

Solutionsdese xercices ............................................75?

Dunod- Laphotocopie nonautoriséeestundélit

V

Tabledes matières

DEUXIÈMEPAR TIE

ACTION-LIAISONS-STATIQUE

CHAPITRE4 •ACTIONS,LIAISONS.......................................8 3

4.1Action mécanique...........................................83

4.2Liaisons .....................................................93

4.3Schématisation dessystèmesmécaniques.....................10 8

Exercices.........................................................11 2 Solutionsdese xercices ............................................112 CHAPITRE5 •STATIQUEDESSOLIDES....................................114

5.1Principe fondamentaldela statique..........................11 4

5.2Analyse desmécanismes.....................................118

Exercices.........................................................1 27 Solutionsdese xerc ices............................................136

TROISIÈMEPARTIE

CHAPITRE6 •INTRODUCTION..........................................15 5

6.1Énergétique .................................................155

6.2C onservationdel'énergie....................................160

QUATRIÈMEPARTIE

PRINCIPEFOND AMENTALDELADYNAMIQUE,PRINCIPEDES

PUISSANCESVIRT UELLES

CHAPITRE7 •PRINCIPEFONDAMENTA LDELADYNAMIQUE................1 67

7.1Introduction :unpeud'histoire ..............................167

7.2Énoncé duprincipefondamentaldeladynamique ............168

CHAPITRE8•PRINCIPEDESP UISSANCES VIRTUELLES......................1 74

8.1Introduction :unpeud'histoire ...............................174

8.2Énoncé duprincipedespuissancesvirtuelles..................174

VI

Tabledes matières

8.3Choix detorseursvirtuelsparticuliers etthéorèmesde la

dynamique..................................................1 75 Exercices.........................................................1 96 Solutionsdese xerc ices............................................200

CINQUIÈMEPARTIE

ÉQUATIONSDUMOUVEMENT

CHAPITRE9•LINÉARISATIONDESÉQUATIONS DUMOUVEMENT............21 6

9.1L inéarisationdeséquationsdeLagrange ......................216

9.2V ibrationsautourd'unepositiond'équilibre stable............230

CHAPITRE10•CHOCSETP ERCUSSIONS...................................232

10.1Introduction .................................................232

10.2C asd'unpointmatériel......................................232

10.3Cas d'unsolideoud'unsystèmede solides...................233

SIXIÈMEPA RTIE

QUELQUESRAPPELSMATHÉMAT IQUESS URLESTORSEURS

ETLESTENSEURS

CHAPITRE11 •CALCULVECTORIEL........................................246

11.1Opérationssur lesv ecteurs...................................246

11.2Champs devecteurs.........................................2 49

CHAPITRE12•DÉRIVATIONVECTORIELLE.................................2 53

12.1Dérivéed 'unv ecteur.........................................253

12.2Changement debasededérivation...........................254

12.3C hampéquiprojectifdevecteurs.............................256

12.4T orseurs.....................................................25 7

12.5Opérationssur lestorseurs ...................................25 9

12.6Champ devecteursantisymétriques..........................260

12.7Vecteurs liés,libres..........................................261

12.8Champ demoment..........................................2 62?

Dunod-L aphotocopienon autoriséeestundélit

VII

Tabledes matières

12.9Axe d'untorseur............................................264

CHAPITRE13•ÉLÉMENTSSUR LESTENSEURS .............................2 65

BIBLIOGRAPHIE268

INDEX269

VIII

INTRODUCTION

Danslelang agecourant, lamécaniqueestd'abordl edomainedesmachines (moteurs,véhicules,engrenages, poulies,arbresde transmission,piston...),bref, de toutcequi produitout ransmetunm ouvementou biens'oppose àcemouv ement. Pourlesscientifiques, lamécaniqueest ladisciplinequi étudieles mouvements dessystèmes matérielsetlesf orcesquiprovoquentou modifientcesmouv ements. Lessystèmes matérielsétanttrès variés,denombreusesbranchesde cettedisci- plineco-e xistent.Lamécaniquegénérale(oumécanique dessystèmesdesolides indéformables)qui estl'objetde cetouvragee nestun exemple. Maisonpeut égalementciterla mécaniquedesmilieuxcontinus (quis'applique,commeson noml'indique, auxmilieux continusetcontinûmentdéformables),l amécanique statistique(quis'applique auxmilieux discrets,constituésd'un nombreconsidérable decomposants),l'acoustique (quis'applique auxgaz) oulamécanique desfluides (quis'appliqueaux liquides),l amécaniquede larupture(quis'applique auxmilieux fissurés),l amécaniquedesstructures (plaques,poutres,coques)...Lalisteest longue mêmeense limitantàl am écaniquenon-relativiste. Danslecadre non-relativiste,déterminer lesmouv ementsdusystèmeet les actionsqui provoquent cesmouvementsous'yopposent,consisteàé tablirun systèmed'équationsen appliquantquatreprincipes fondamentaux: •laconserva tiondelamasse; •leprincipefondamental dela dynamique(oul eprincipedes puissancesvirtuelles ouencorela conservation delaquantité demouvement); •laconserva tiondel'énergie(premierprincipede lathermodynamique); •lesecondprincipe dela thermodynamique. Ces" bons»principes s'appliquent,quelleque soitlabranche dela mécanique considérée,maisa vecun formalismetrèsdifférentselonlesfamilles demouv ements étudiés.L' étapeclefdelarésolutiond'un problèmedemécaniqueestdonc lamodé- lisationdum ouvementa ppeléeaussilacinématique. Lechoixd'une cinématiqueplutôtqu'une autrechangeradicalement laf orme desobjetsm anipuléspourreprésenter lemouvementou lesactions susceptiblesde modifierl emouvement.Ainsi,en mécaniquedesmilieuxcontinus,lemilieu étant continu,unseul espaceest défini:celui quicontientle milieu.Danscet espace,le mouvementestreprésentéparun champ dedéformatione tles actionsmécaniques parunc hampdecontrainte.

Dunod-L aphotocopienon autoriséeestundélit

1

Introduction

Aucontraire,en mécaniquegénérale,l emilieu estconstituéde solides indéfor- mables,il estdoncdiscontinuparnature.Pour modélisercettediscontinuité, on travailleradansunecollectiond'espaces(un espacepars olide)entranslation ete n rotationl esunsparrapporta uxautres.Les mouvements sereprésententalorspardes objetsa ppeléstorseurscinématiques,quiserontconstruitsdanslepremierchapitre. Onleurassocie desactionsmécaniques appeléestorseursdesactionsmécaniques. Leprincipe deconserva tiondel amassepermetensuite,vial'introductiond'une représentationcondenséede ladistribution dela massedans unsolide(masse,centre d'inertie,t enseurd'inertied'unsolide),d'exprimer lesprincipesfondamentaux à l'échelledusolide, plutôtqu'àl 'échelled'unélément devolume dec esolide.Cette partiesera détailléedansl echapitre cinétique. Lemouvement etlesprincipes fondamentauxs'écrivant alorsàlam êmeéchelle (l'échelledu solide),lesé quationsdumouv ementpeuve ntêtreétabliesens'appuyant surle principefondamentaldela dynamique(oul aconservationde laquantitéde mouvementouencore leprincipe despuissancesvirtuelles).Cetteapprocheconduit généralementàun systèmed'équations pourlequell enombred'équationsestinfé- rieura unombred'inconnues.Leséquations complémentairessont donnéesparl es loisdecomportement, quidoiv entvérifier lepremiere tlesecondprincipedelather- modynamique.Ces loisdecomportementseronttrèssimples dansle cadredela mécaniquegénérale, parex emple: •comportementrigidei ndéformablepour lessolides; •loisde contactentresolides (loisdeC oulomb); •loisd'actionà distance(attractiongra vitationnelle,pare xemple). Unefois quelesystèmed'équationsestétabli, enutilisant parex emplel améthode deLagrange,i lpeutê trerésolupourdéterminerles mouvements dusystèmede solidesi ndéformablesétudié.Deuxgrandscadres peuventêtreutiliséspour cette résolution.Lecadre despetitsm ouvementscontinus dessolides, oùles équations sontlinéarisées ensupposantque silav ariationde positiontend verszéro, alors lav ariationdevitesseoud'accélérationenf aitdem ême.Lecadre deschocs où cetteh ypothèsen'estpasvalable,de trèspetitesv ariationsdeposition induisantde grandesv ariationsdevitesses(lorsqu'uneballeé lastiqueentreen collisionav ecun mur,savitessechangebrutalement desens enc onservant sonmodule, alorsquela ballen'a quasimentpasc hangédeposition). Pourterminercette introduction,ilest importantdese conv aincrequesi lesobjets manipuléssont différents d'unebrancheàl'autredelamécanique,les principes fondamentauxappliqués restentlesmêmes.Il estdoncpossibledet raiterunmême problèmea vecdeuxapprochesdifférentesetd'obtenirdesr ésultatsidentiques. Prenonspare xe mpleuntasdesablesec,àl'échellehumaineilpourra êtrevucomme 2

Introduction

unmatériaudéformable (lesable).À l'échelledesgrains desable,c 'estun système desolides indéformables.Il pourradoncêtremodélisédansdeux cadresdifférents, lamécaniquedes milieuxcontinus àl'échellehumaine, lamécaniquegénéraleà l'échelledes grainsdesable, maisl erésultat finaldoitê trelemême,puisqu'il s'agit biendu mêmetasde sable.Et nousneparlons pasd'approchesde typeg azqui peuvents'appliquera ussi! mouvementpeutêtre modéliséà l'échelledespoutresdansle cadredelamécanique despoutres. Maisàl 'échelledela structure,lemouv ementpeutêtresimplifiéet chaquepoutre modéliséecommeun assemblagedetiges rigidesliéesentre elles pardesliaisons élastiquesreprésentant larigiditée nfle xion,torsionettraction- compressionde lapoutre.E ncoreunefois, ils 'agitdelamême tourEif fel, etles résultatsobtenuspar cesdiff érentesapproches doive ntêtrelesmêmes. Pourclore cetteintroductionnous signalonsquecet ouvrageapour objectifde réactualiserceluirédigé parJ.-C. Bône,J. Morelet M.Boucher,réactualisationa u sensdel amise enformeplusque desconcepts,ceux-cidatantde quelquessiècles. Nousav onsreprisbonnombred'exerciceset defiguresissues d'unouvrage récem- mentéditéchez Dunodparl 'undesauteurs ave cdenombreux co-auteurs.Queces dernierssoientici remerciéspour cesemprunts. 3

PartieI

Cinématique-Cinétique

CINÉMATIQUE

1

1.1RÉFÉRENTIELSD 'ESPACEETDE TEMPS

Nousallons donnerquelquesé lémentsutilespour lacompréhensiongénérale mais nousconseillonsau lecteurdes ereporter àl'excellent ouvragede P.Rougée[2] quidéfinitde façont rèspréciseet commentéetouteslesnotionsmathématiques importantes.Les quelqueslignes quisuiv ents'eninspirenten partie. Lanotiond etempsoudedurée enmécaniqueclassique estunconcept auto- nome.Onparlera d'instantstdansunensemble Tmunid'unechronologie. La différenceentredeuxinstantsestappelée durée.Leshorloges -supposéesg ali- léennes,termequi seraprécisédans lechapitredynamique -sont classiquement fondéessurdes mouvements répétitifs:l arotationdela Terrea étéle premierd'entre eux. L'espacedanslequelnous allonstrav aillerestcelui quinousentoure, modélisé parunespace affiner éeleuclidiende dimensiontrois.IlseranotéE.Danscetespace setrouv entdespointsquipeuvent constituerdes droitesoudes plans.Repérer desdéplacementsdans Econduitàla notiondev ecteurquiappartient àunespace vectorielnotéEdedimensio ntroisluiaus si. Lepoin tAquiseseradéplacépourse trouverenunpoint BdeEconduitdonc auvecteur déplacementnotéU=AB.

Remarque

Dansceto uvragelesv ecteurssontnotésengras (notationanglo-saxonne), par xou xdansd'autres ouvrages.Iln'yauraaucuneconfusion possiblecarnous ne manipuleronsdanscetouvrageque desscalaire sx,desvecteursxoudest orseurs constituésde vecteurs.Lest enseursd'ordr edeuxser ontévoquésàpropos detenseur d'inertieo uduvecteurro tationderrière lequelsecache untenseuranti-symétrique. Nousdonnons quelquesinformationsopérationnelles surleso utilsindispensables quesont lesproduitsscalaire ,vectorieletmixte.Le lecteurestinvitéà sereporterà deso uvragesplusspécialiséspourplusde renseignements.Nous travaillerons dans toutcecours avecdes baseso rthonorméesdirectes.Ilest doncimportant desavoir lesconstruir erapidement.Nousutiliseronslaméthode suivante(figur e1.1): unpre- miervecteur unitaireuesttracé. Ledeuxièmevdoitêtr edirectementperpendiculaire (avecuna ngledroit danslesenst rigonométrique).Letroisièmeen estdéduit(par produitvectoriel)en utilisantlarèglesimplequiconsiste àpositionnerlepouce(de lamaindr oite)suru,l'indexsurv;lemajeurrepliépointealorsdanslatroisième directionetpermetdetracerw. 7

PartieI. Cinématique-Cinétique

u v w Figure1.1Règlede lamaindroite pourleproduit vectoriel. Leproduit scalairededeuxv ecteursuetvestnotéu·v.Sicesvecteursontdes composantes(x u ,y u ,z u )et(x v ,y v ,z v )dansunebaseorthonorméeona: u·v=x u x v +y u y v +z u z v

Silesv ecteursuetvfontunangle u(figure1.2), ona:

?u···v?=?u??v?cosu. Danslecas oùlesdeux vecteursont unenormeunité, onaalors : ?u···v?=cosu. Lesprincipalespropriétés duproduitscalaire sont: •qu'ilestsymétrique u···v=v···u; •qu'ilestdistrib utifs url'additiondesvecteursu···(v+w)=u···v+u···w; •quedeuxv ecteursnonnuls sontorthogonauxsietseulement sileurproduit scalaireest nul. u u v vu···v v···u u?v u u

Figure1.2Produitsscalairee tv ectoriel.

8

Chapitre1

Cinématique

Leproduit vectorieldedeuxv ecteursuetvestnotéu?v.Ils'agitd'unvecteur normala uplancontenantles deuxvecteurs uetv.Sicesvecteursontdescompo- santes(x u ,y uquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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