Parité dune fonction Centre et axe de symétrie dune courbe
Centre et axe de symétrie d'une courbe. On considère une fonction f définie sur Df . Fonction paire. On dit que la fonction f est paire si l'ensemble Df est
Axe et centre de symétrie dune courbe
Axe et centre de symétrie d'une représentation graphique de fonction. Soit f une fonction définie sur l'ensemble Df et qui est représentée graphiquement
Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique
Si la courbe représentative de la fonction f(t) admet un centre de symétrie situé sur l'axe Ox alors
COURS DE CHIMIE ORGANIQUE Semestre 2 SVI
Chapitre II : ECRITURE DES FORMULES ET FONCTIONS. EN CHIMIE ORGANIQUE son image dans un miroir plan et ne possède ni plan ni centre de symétrie.
Fonctions : symétries et translations
27 févr. 2017 d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. x. ?x f (?x) = f (x). M.
Fonctions homographiques
7 janv. 2014 L'ensemble de définition de la fonction inverse est l'ensemble des réels ... L'hyperbole admet l'origine du repère comme centre de symétrie.
Titre : Le centre de symétrie
exercice sur le centre de symétrie à l'aide de la formule en 5 minutes. Réference. Etude d'une fonction 6e com & 6e péd
CHAPITRE 4 - Symétrie centrale
Les centres de ces cercles sont symétriques par rapport à ce point. Méthode : Pour tracer le symétrique d'un cercle il faut tracer le symétrique du centre et
Axe de symétrie dune parabole (1)
= >. 1 0 a donc la fonction admet un minimum lorsque =3 x . Ce minimum vaut alors -4 . Exercices. Déterminer l'extremum de la fonction f définie par :.
Des symétries aux propriétés : 4 - les systèmes monoclinique et
laire à cet axe et un centre de symétrie. C (Fig. 1). symétrique des sept systèmes cristallins
[PDF] Parité dune fonction Centre et axe de symétrie dune courbe
Dans ce cas la courbe représentative de la fonction f admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie Exemple: f(x) = x² – 3 Son ensemble de définition est
[PDF] Fonctions : symétries et translations - Lycée dAdultes
27 fév 2017 · d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées x ?x f (?x) = f (x) M
[PDF] Axe et centre de symétrie dune courbe - B Sicard
Axe et centre de symétrie d'une représentation graphique de fonction Soit f une fonction définie sur l'ensemble Df et qui est représentée graphiquement
Centre & axe de symétrie dune courbe y = f(x) - ChronoMath
Centre de symétrie et fonction impaire : en bleu l'hyperbole équilatère d'équation y = 1/x représentative d'une fonction impaire f : x
[PDF] Propriétés de symétrie dune courbe
Montrer que la droite d'équation x = 3 2 est axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f(x) = 2x² ? 6x + 5 Indications
[PDF] Eléments de symétrie dune courbe
est axe de symétrie de (C) Si g est impaire alors le point A est centre de symétrie de (C) On a tracé ici la courbe représentative d'une fonction dans un
axe de symétrie et centre de symétrie dune courbe représentative
Considérons la courbe C d'équation y = f(x) dans un repère ou f est une fonction Comment montrer que cette courbe admet le point de coordonnées O' ( a ; b)
[PDF] fonctions - SUNU-MATHS
Montrer que le point donné est centre de symétrie pour la fonction avons établi la formule suivante : Pn=15(10 – n) donnant le prix de la
[PDF] Centre de symétrie dune courbe Théorème
Soit C la courbe représentative d'une fonction f définie sur un ensemble D I (a b) est le centre de symétrie de C ssi : Pour tout h tel que a+h ? D
Comment trouver le centre de symétrie d'une fonction ?
Centre de symétrie Si la fonction f vérifie: pour tout x de Df tel que a – x et a + x Df , f( a – x) + f(a + x) = 2b, alors le point de coordonnées (a; b) est un centre de symétrie de la courbe représentative de f.Comment démontrer qu'un point est le centre de symétrie ?
Symétrique d'un point Deux points A et A' sont symétriques par rapport à une droite (d) s'ils se superposent par pliage le long de cette droite. Définition : On dit que le point A' est le symétrique du point A par rapport à une droite (d) si la droite (d) est la médiatrice du segment [AA'].Quel est le centre de la symétrie ?
Deux figures sont symétriques par rapport à un point O lorsqu'elles se superposent après avoir effectué un demi-tour autour du point O. Le point O est appelé « centre de symétrie ».- Une figure peut avoir des axes de symétrie et un centre de symétrie. Si une figure admet deux axes de symétrie perpendiculaires, Alors le point d'intersection des deux axes est un centre de symétrie de la figure.
DERNIÈRE IMPRESSION LE27 février 2017 à 16:06 Fonctions : symétries et
translationsTable des matières
1 Définition2
1.1 Fonction numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Ensemble de définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Comparaison de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Parité d"une fonction4
2.1 Fonction Paire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Fonction impaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Autres symétries5
3.1 Symétrie par rapport à un axe vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Symétrie par rapport à un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Des représentations déduites par symétrie. . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Translation9
4.1 Translations horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Translations verticales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉFINITION
1 Définition
1.1 Fonction numérique
Définition 1 :Unefonctionnumériquefd"unevariableréellexestunerelation qui à un nombre réelxassocie un unique nombre réelynotéf(x). On écrit alors : f:RouDf-→R x?-→f(x) ?Il faut faire la différence entre la fonctionfqui représente une relation etf(x) qui représente l"image dexparfqui est un nombre réel.Exemple ::
f(x) =3x-7fest une fonction affine (droite)
f(x) =5x2-2x+1fest une fonction du second degré (parabole) f(x) =x+22x-3fest une fonction homographique (hyperbole) f(x) =e-x2fonction de Gauss (courbe en cloche)1.2 Ensemble de définition
Définition 2 :L"ensemble définition d"une fonctionfest l"ensemble des va- leurs de la variablexpour lesquelles la fonction est définieExemple :
Soit la fonctionfdéfinie parf(x) =⎷4-xa pour ensemble de définition : D f=]-∞; 4](4-x?0) Soit la fonctiongdéfinie parg(x) =3x2-5x-6a pour ensemble de défini- tion :Dg=R-{-1 ; 6}(x2-5x-6?=0,x=-1 racine évidente) Soit la fonctionhdéfinie parh(x) =ln(x+1)a pour ensemble de définition D h=]-1 ;+∞[(x+1>0)1.3 Comparaison de fonctions
Définition 3 :On dit que deux fonctionfetgsont égales si et seulement si : Elles ont même ensemble de définition :Df=DgPour toutx?Df,f(x) =g(x)
PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉFINITION
Exemple :Les fonctionfetgdéfinies ci-dessous, sont-elles égales? f(x) =? x-1 x+3etg(x) =⎷ x-1⎷x+3Déterminons leur ensemble de définition :
Pourf, on doit avoir :x-1x+3?0, d"oùDf=]-∞;-3[?[1 ;+∞[ Pourg, on doit avoir :x-1?0 etx+3>0, d"oùDg= [1 ;+∞[ On a donc :Df?=Dg. Les fonction ne sont donc pas égales. ?On remarquera cependant que sur[1 ;+∞[, on af(x) =g(x) Définition 4 :Soit I un intervalle et soitfetgdeux fonctions définies sur I.On dit que sur I :
f?g? ?x?I,f(x)?g(x).
f?0? ?x?I,f(x)?0.
festmajorée? ?M?R,?x?I,f(x)?M.
festminorée? ?m?R,?x?I,m?f(x).
festbornée? ?m,M?R,?x?I,m?f(x)?M.
Remarque :La relation d"ordre pour les fonctions n"est pas totale car deux fonc- tions ne sont pas toujours comparables. Soit les fonctionsfetgdéfinies surRpar :f(x) =xetg(x) =x2. On a par exemple : 12>?12?
2 ?f?12? >g?12? et 2<22?f(2)On met la fonction sous la forme canonique :
f(x) =-x2+x=-(x2-x) =-? x-1 2? 2 +14 La parabole représentantfest tournée vers le bas et de sommet S?1 2;14?La fonctionfest donc majorée par1
4. Montrer que la fonctiongdéfinie surRparg(x) =4sinx-3 est bornée.On a pour toutx?R:
-1?sinx?1? -4?4sinx?4? -7?4sinx-3?1? -7?g(x)?1 gest donc bornée par[-7 ; 1].PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
2. PARITÉ D"UNE FONCTION
M fmajorée m fminorée M m fbornée Propriété 1 :Sifune fonction est monotone sur un intervalle I= [a;b]alors fest bornée. Démonstration :Supposons quefest croissante sur[a;b](le casfdécrois- sante se traite de façon analogue). Soitx?[a;b], i.e.a?x?b, commefest croissante, elle conserve la relation d"ordre, d"oùf(a)?f(x)?f(b). On peut prendrem=f(a)etM=f(b),fest donc bornée.2 Parité d"une fonction
2.1 Fonction Paire
Définition 5 :On dit qu"une fonctionfest paire surDfssi l"on a : Son ensemble de définitionDfest symétrique par rapport à l"origine.?x?Df,f(-x) =f(x)
Exemple :Les fonctions suivantes sont paires sur leur ensemble de définition: f1(x) =x2,f2(x) =5x4+3x2-1,f3(x) =cosx,f4(x) =sinx
x,f5(x) =e-x2 Remarque :Le terme " pair » doit son nom au fait que les fonctions polynômes qui ne contiennent que des termes de puissances paires vérifient :f(-x) =f(x)Propriété 2 :La représentation
d"une fonction paire estsymétrique par rapport à l"axe des ordonnées. ??x -x f(-x) =f(x)MM"OPAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
3. AUTRES SYMÉTRIES
2.2 Fonction impaire
Définition 6 :On dit qu"un fonctionfest impaire si et seulement si l"on a : Son ensemble de définitionDfest symétrique par rapport à l"origine.?x?Df,f(-x) =-f(x)
Exemples :
Les fonctions suivantes sont impaire sur leur ensemble de définition : f1(x) =x3,f2(x) =sinx,f3(x) =tanx,f(x)4=1
x,f5(x) =4x3-3x Remarque :Le terme " impair » doit son nom au fait que les fonctions po- lynômes qui ne contiennent que des termes de puissances impaires vérifient : f(-x) =-f(x)Propriété 3 :La représentation
d"une fonction impaire estsymétrique par rapport à l"origine. x -x f(x)f(-x) MM" O3 Autres symétries
3.1 Symétrie par rapport à un axe vertical
Théorème 1 :Soit A(a; 0)dans le repère(O,?ı,??). Si un point M a pour coordonnées(x;y)dans un repère(O,?ı,??)et(X;Y)dans un repère(A,?ı,??), alors, on a les relations :?X=x-a Y=y SoitCfla courbe de la fonctionfdans le repère(O,?ı,??). La courbeCfest symé- trique par rapport à l"axex=asi et seulement si la fonctiongdont la courbe estCfdans le repère(A,?ı,??)est paire.Remarque :On peut aussi montrer quef(a+x) =f(a-x)
PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
3. AUTRES SYMÉTRIES
Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x2-2x-1. Montrer queCfest symétrique par rapport à l"axex=1.On change de repère passant de
(O,?ı,??)à(A,?ı,??). On a les relations suivantes : ?X=x-1Y=f(x)?
x=X+1 g(X) = (X+1)2-2(X+1)-1 ?x=X+1 g(X) =X2+2X+1-2X-2-1? x=X+1 g(X) =X2-2 1 -1 -21 2 3-1? x X=x-1 x=1 A M Comme la fonction carrée est paire, la fonctiongest paire et donc la courbeCfest symétrique par rapport à la droitey=1. Remarque :Autre méthode :f(1+x) =f(1-x)en effet : f(1+x) = (1+x)2-2(1+x)-1=1+2x+x2-2-2x-1=x2-2 f(1-x) = (1-x)2-2(1-x)-1=1-2x+x2-2+2x-1=x2-23.2 Symétrie par rapport à un point
Théorème 2 :Soit I(a;b)dans le repère(O,?ı,??). Si un point M a pour coordonnées(x;y)dans un repère(O,?ı,??)et(X;Y)dans un repère(I,?ı,??), alors, on a les relations?X=x-a Y=y-b SoitCfla courbe de la fonctionfdans le repère(O,?ı,??). La courbeCfest symé- trique par rapport au point I(a;b)si et seulement si la fonctiongdont la courbe estCfdans le repère(I,?ı,??)est impaire. Remarque :On peut aussi montrer quef(a+x) +f(a-x) =2b Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surR-{-1}tel quef(x) =2x-1x+1. Montrer queCfest symétrique par rapport au point I(-1 ; 2).On change de repère passant de
(O,?ı,??)à(I,?ı,??). On a les relations suivantes :PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR
3. AUTRES SYMÉTRIES
?X=x+1Y=f(x)-2????x=X-1
g(X) =2(X-1)-1X-1+1-2????x=X-1
g(X) =2X-3X-2 ?x=X-1 g(X) =2X-3-2XX????x=X-1
g(X) =-3X Comme la fonction inverse est impaire, la fonctiongest impaire et donc la courbe deCfest symétrique par rapport au point I.Remarque :Autre méthode :
f(-1+x) +f(-1-x)2(-1+x)
-1+x+1+2(-1-x)-1-x+1 -2+2x x--2-2xx =4=2×2246 -22 4-2-4 xX=x+1yY=y-2MIM"
O3.3 Des représentations déduites par symétrie
Soit la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x3-3x2+1 représentée ci-dessous.1) Déduire les courbes des fonctionsg,
hetkdéfinies surRpar : a)g(x) =-f(x) b)h(x) =|f(x)| c)k(x) =f(-x)2) On définie surRla fonctionFpar :
F(x) =f(|x|).
a) Démontrer que la fonctionFest paire b) En déduire la représentation deF 12 -1 -2 -3 -41 2 3-1-2 Cf O 1) a)PAUL MILAN7VERS LE SUPÉRIEUR
3. AUTRES SYMÉTRIES
La courbeCgest l"image deCfpar
lasymétrie par rapport à l"axe desquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] montrer qu'une fonction admet un axe de symétrie
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