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PHYSIQUE QUANTIQUE
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sation collective et d autre part les courtes citations justi ées par le caractère scienti que ou d information de l uvre dans laquelle elles sont incorporées (art L 122-4 L 122-5 et L 335-2 du Code de la propriété intellectuelle)
Quelle est la naissance de la physique quantique ?
La naissance de la physique quantique date dun siècle et cett e description des phénomènes physiques, qui a transformé notre vision du monde, nest toujours pas remise en cause, ce qui est e xceptionnel pour une théorie scienti- ?que. Ses prédictions ont toujours été véri?ées par lexpérience avec une pré- cision impressionnante.
Qu'est-ce que la physique quantique ?
La physique quantique prétend donc expliquer le comportement de la ma- tière à partir des constituants et des forces, mais il y a un prix à payer : les objets quantiques exhibent un comportement radicalement nouveau, qui dé?e notre intuition fondée sur lexpérience du comportement dobjets classiques.
Quels sont les avantages de la physique quantique?
Fondamentale pour notre compréhension profonde de la nature, la physique quan- tique est aussi à la base de toutes les technologies modernes omniprésentes dans notre vie quotidienne. Sans physique quantique, il n’y aurait ni lasers, ni transistors, ni ordinateurs, ni imagerie médicale par résonance magnétique.
Quelle est la différence entre physique quantique et physique classique ?
En physique quantique, les probabi- lités sont associées à des systèmes quantiques individuels alors quen physique classique les probabilités sont associées à des ensembles, et le recours aux pro- babilités est une façon de prendre en compte la complexité de phénomènes que nous ne pouvons pas (ou ne voulons pas) connaître dans le détail.
MICHEL LE BELLAC
PRÉFACES DE
CLAUDE
COHEN-TANNOUDJI
ET DE FRANCK LALOË
ACTUELSSAVOIRS
PHYSIQUE
PHYSIQUE
QUANTIQUE FONDEMENTS - TOME I
3e ÉDITION
Michel Le Bellac
Physique quantique
Tome I : Fondements
3 eéditionSAVOIRS ACTUELS
EDP Sciences/CNRS Éditions
Illustration de couverture : Vue d"artiste du comportement d"un photon. On observe une transition continue depuis un comportement ondulatoire (arrière- plan du dessin) à un comportement corpusculaire (avant-plan du dessin). F. Kaiser, T. Coudreau, P. Milman, D. Ostrowsky and S. Tanzilli, Entangle- ment enabled delayed choice experiment, Science338, 637 (2012). Copyright : F. Kaiser et S. Tanzilli, CNRS. Courtoisie de Sébastien Tanzilli.Imprimé en France.
c2013, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d"activités de Courtabuf,
91944 Les Ulis Cedex A
etCNRS Éditions
, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d"adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelqueprocédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l"autorisation
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sation collective, et d"autre part, les courtes citations justiées par le caractère scientique ou d"information de l"uvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent êtreréalisées avec l"accord de l"éditeur. S"adresser au : Centre français d"exploitation du droit
de copie, 3, rue Hautefeuille,75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.ISBNEDP Sciences 978-2-7598-0803-8
ISBNCNRS Éditions978-2-271-07736-3
Table des matières
Tome I : Fondements
A vant-proposxxiPréface de la première éditionxxv
Préface de la troisième éditionxxvii
1 Introduction1
1.1 Structuredelamatière...................... 1
1.1.1 Échelles de longueur : de la cosmologie aux
particulesélémentaires ................. 11.1.2 Étatsdelamatière ................... 2
1.1.3 Constituantsélémentaires................ 6
1.1.4 Interactions (ou forces) fondamentales . . . . . . . . . 8
1.2 Physiqueclassiqueetphysiquequantique ........... 11
1.3 Unpeudhistoire......................... 14
1.3.1 Lerayonnementducorpsnoir ............. 14
1.3.2 Leetphotoélectrique ................. 18
1.4 Ondesetparticules:interférences................ 19
1.4.1 HypothèsededeBroglie ................ 19
1.4.2 Diraction et interférences avec des neutrons
froids........................... 201.4.3 Interprétation des expériences ............. 23
1.4.4 InégalitésdeHeisenbergI................ 27
1.4.5 Interféromètre de Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Niveauxdénergie......................... 33
1.5.1 Niveaux dénergie en mécanique classique et modèles
classiquesdelatome .................. 331.5.2 LatomedeBohr..................... 36
1.5.3 Ordres de grandeur en physique atomique . . . . . . . 38
1.6 Exercices ............................. 40
1.6.1 Ordresdegrandeur ................... 40
1.6.2 Lecorpsnoir....................... 41
1.6.3 InégalitésdeHeisenberg................. 42
ivPhysique quantique : Fondements1.6.4 Diffiraction de neutrons par un cristal . . . . . . . . . 42
1.6.5 Atomeshydrogénoïdes ................. 45
1.6.6 Interféromètreàneutronsetgravité.......... 45
1.6.7 Diffiusion cohérente et diffiusion incohérente
deneutronsparuncristal................ 461.7 Bibliographie ........................... 47
2 Mathématiques de la mécanique quantique I :
dimension "nie492.1 EspacesdeHilbertdedimensionfinie.............. 50
2.2 Opérateurs linéaires surH.................... 51
2.2.1 Opérateurs linéaires, hermitiens,unitaires....... 51
2.2.2 ProjecteursetnotationdeDirac............ 53
2.3 Décomposition spectrale des opérateurs hermitiens . . . . . . 55
2.3.1 Diagonalisation d"un opérateur hermitien . . . . . . . 55
2.3.2 Diagonalisation d"une matrice2×2hermitienne . . . 57
2.3.3 Ensemble complet d"opérateurs compatibles . . . . . 59
2.3.4 Opérateurs unitaires et opérateurs hermitiens . . . . 60
2.3.5 Fonctions d"un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Produit tensoriel de deux espaces vectoriels . . . . . . . . . . 62
2.4.1 Définition et propriétés du produit tensoriel . . . . . 62
2.4.2 Espaces de dimensiond=2.............. 64
2.5 Exercices ............................. 66
2.5.1 Produitscalaireetnorme................ 66
2.5.2 Commutateursettraces................. 66
2.5.3 Déterminantettrace .................. 67
2.5.4 Projecteur dansR3................... 67
2 .5.5 Théorèmedelaprojection ............... 672.5.6 Propriétésdesprojecteurs ............... 68
2.5.7 Intégralegaussienne................... 68
2.5.8 Commutateurs et valeur propre dégénérée . . . . . . . 68
2.5.9 Matricesnormales.................... 69
2.5.10 Matricespositives.................... 69
2.5.11 Identitésopératorielles ................. 69
2.5.12 Indépendance du produit tensoriel par rapport au choix
delabase......................... 702.5.13 Produit tensoriel de deux matrices2×2....... 70
2.5.14 Propriétés de symétrie de|?.............. 70
2.6 Bibliographie ........................... 70
3 Polarisation : photon et spin 1/273
3.1 Polarisation de la lumière et polarisation d"un photon . . . . 73
3.1.1 Polarisation d"une onde électromagnétique . . . . . . 73
3.1.2 Polarisation d"un photon . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.1.3 Cryptographiequantique................ 86
Table des matièresv
3.2 Spin1/2.............................. 91
3.2.1 Moment angulaire et moment magnétique
enphysiqueclassique .................. 913.2.2 Expérience de Stern-Gerlach et "ltres
deStern-Gerlach..................... 933.2.3 États de spin dorientation arbitraire . . . . . . . . . 96
3.2.4 Rotationdunspin1/2 ................. 98
3.2.5 Dynamique et évolution temporelle . . . . . . . . . . 104
3.3 Exercices ............................. 107
3.3.1 Polarisation elliptique et détermination
delapolarisation .................... 1073.3.2 Une stratégie optimale pour Ève . . . . . . . . . . . . 107
3.3.3 Polarisation circulaire et opérateur de rotation
pourlesphotons..................... 1083.3.4 Théorème de non-clonage quantique . . . . . . . . . . 109
3.3.5 Expérience à choix retardé . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3.6 Autressolutionsde(3.45)................ 110
3.3.7 Décomposition dune matrice2×2.......... 111
3.3.8 Exponentielles de matrices de Pauli . . . . . . . . . . 111
3.3.9 Tenseurijk....................... 112
3 .3.10 Mesures successives dun spin 1/2 . . . . . . . . . . . 1123.3.11 Rotation de2dunspin1/2.............. 112
3.3.12 Diusion de neutrons par un cristal : noyaux
despin1/2........................ 1133.4 Bibliographie ........................... 114
4 Postulats de la physique quantique115
4.1 Vecteurs détat etpropriétésphysiques............. 116
4.1.1 Principedesuperposition................ 116
4.1.2 Propriétésphysiquesetmesure............. 118
4.1.3 InégalitésdeHeisenbergII ............... 124
4.2 Évolutiontemporelle....................... 126
4.2.1 Équationdévolution .................. 126
4.2.2 Opérateurdévolution.................. 129
4.2.3 Étatsstationnaires.................... 131
4.2.4 InégalitédeHeisenbergtemporelle........... 133
4.3 Approximationsetmodélisation................. 139
4.4 Exercices ............................. 142
4.4.1 Dispersionetvecteurspropres ............. 142
4.4.2 Méthodevariationnelle ................. 142
4.4.3 Théorème de Feynman-Hellmann . . . . . . . . . . . 143
4.4.4 Évolution temporelle dun système à deux niveaux . . 143
4.4.5 Inégalités de Heisenberg temporelles . . . . . . . . . . 144
viPhysique quantique : Fondements4.4.6 L"énigme des neutrinos solaires . . . . . . . . . . . . . 145
4.4.8 BornedeHelstrom.................... 147
4.4.9 RègledeBorngénéralisée................ 148
4.4.10 Le système des mésonsK neutres : évolution non
unitaire.......................... 1494.5 Bibliographie ........................... 151
5 Systèmes à nombre de niveaux "ni153
5.1 Chimiequantiqueélémentaire.................. 153
5.1.1 Moléculed"éthylène................... 153
5.1.2 Moléculedebenzène................... 156
5.2 Résonance magnétique nucléaire (RMN) . . . . . . . . . . . . 160
5.2.1 Spin 1/2 dans un champ magnétique périodique . . . 161
5.2.2 Oscillations de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2.3 PrincipesdelaRMNetdel"IRM ........... 166
5.3 Lamoléculed"ammoniac..................... 169
5.3.1 La molécule d"ammoniac comme système à deux
niveaux.......................... 1695.3.2 La molécule dans un champ électrique : le maser
àammoniac ....................... 171
5.3.3 Transitionshorsrésonance ............... 176
5.4 Atomeàdeuxniveaux...................... 179
5.4.1 Absorption et émission de photons . . . . . . . . . . . 179
5.4.2 Principesdulaser.................... 183
5.4.3 Franges de Ramsey et principe des horloges
atomiques ........................ 1875.5 Exercices ............................. 191
5.5.1 Base orthonormée de vecteurs propres . . . . . . . . . 191
5.5.2 Moment dipolaire électrique du formaldéhyde . . . . . 191
5.5.3 Lebutadiène....................... 192
5.5.4 Vecteurs propres du hamiltonien (5.22) . . . . . . . . 194
5.5.5 L"ion moléculaire H
+2.................. 194 5 .5.6 ComplémentssurlaRMN ............... 1955.6 Bibliographie ........................... 195
6 Mathématiques de la mécanique quantique II : dimension
in"nie1976.1 EspacesdeHilbert........................ 197
6.1.1 Définitions........................ 197
6.1.2 Réalisations d"espaces séparables et de dimensio
infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.2 Opérateurs linéaires surH.................... 201
6.2.1 Domaine et norme d"un opérateur . . . . . . . . . . . 201
6.2.2 Conjugaisonhermitienne ................ 203
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