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Algorithmes et architectures pour ordinateurs

quantiques supraconducteurs par

Alexandre Blais

Th`ese pr´esent´ee au d´epartement de physique en vue de l"obtention du grade de docteur `es sciences (Ph.D.)

Facult

´e des Sciences

Universit

´e de Sherbrooke

Sherbrooke, Qu´ebec, Canada, d´ecembre 2002

Sommaire

Depuis sa formulation, la th´eorie de l"information a ´et´e bas´ee, implicitement, sur les lois de la physique classique. Une telle formulation est toutefois incompl`ete puis- qu"elle ne tient pas compte de la r´ealit´e quantique. Au cours des vingt derni`eres ann´ees, l"expansion de la th´eorie de l"information englobant les effets purement quan- tiques a connu un int´erˆet grandissant. La r´ealisation d"un syst`eme de traitement de l"information quantique, un ordinateur quantique, pr´esente toutefois de nombreux

d´efis. Dans ce document, on s"int´eresse `a diff´erents aspects concernant ces d´efis. On

commence par pr´esenter des concepts algorithmiques comme l"optimisation de calculs quantiques et le calcul quantique g´eom´etrique. Par la suite, on s"int´eresse au design et `a diff´erents aspects de l"utilisation de qubits bas´es sur les jonctions Josephson. En particulier, un nouveau design de qubit supraconducteur est sugg´er´e. On pr´esente aussi une approche originale pour l"interaction entre qubits. Cette approche est tr`es

g´en´erale puisqu"elle peut ˆetre appliqu´ee `a diff´erents designs de qubits. Finalement, on

s"int´eresse `a la lecture des qubits supraconducteurs de flux. Le d´etecteur sugg´er´e ici

a l"avantage de pouvoir ˆetre d´ecoupl´e du qubit lorsqu"il n"y a pas de mesure en cours. iii

Remerciements

Je tiens d"abord `a exprimer toute ma gratitude `a mes directeurs de recherche Andr´e-Marie Tremblay et Serge Lacelle. Ceux-ci m"ont donn´e toute libert´e pour explo-

rer diff´erentes avenues. Grˆace `a des discussions int´eressantes, certaines de ces avenues

ont abouti aux r´esultats pr´esent´es dans ce document. Les 'qubits supraconducteurs" ne font pas partie de leurs int´erˆets de recherche imm´ediats et je leur en remercie d"autant plus de m"avoir soutenu durant toutes ces ann´ees. Je souhaite vivement remercier les chercheurs et employ´es de D-Wave Systems, Inc. et, plus particuli`erement, Alexandre Zagoskin pour m"avoir donn´e l"opportunit´e de travailler avec eux, pour leur confiance et les nombreux contacts qu"ils ont rendus

possibles. Les trois derni`eres ann´ees auraient ´et´e beaucoup plus difficiles s"ils n"avaient

pas ´et´e disponibles pour discuter et ´echanger des id´ees. Je les remercie aussi pour le

bon temps pass´e en leur compagnie `a Vancouver : le travail comme les soupers avec un bon vin! Au cours de la r´ealisation des diff´erents projets pr´esent´es ici, j"ai grandement b´en´efici´e de discussions avec Martin Beaudry, Daniel Lidar, John Martinis et Alexandre

Shnirman. Je les remercie chaleureusement.

J"exprime aussi ma reconnaissance `a Michel Devoret, Patrick Fournier et Karyn LeHur d"avoir accept´e d"ˆetre membre du jury de th`ese. De plus, les ´etudiants et le personnel du d´epartement de physique ont contribu´e grandement `a rendre ces derni`eres ann´ees agr´eables au quotidien et je leur en suis reconnaissant. Finalement, sans le soutien constant d"H´el`ene ce travail n"aurait certainement pas abouti `a ce qui est pr´esent´e ici. Je la remercie pour sa patience au cours des longues semaines (ann´ees?) de travail, pour sa compr´ehension `a chacune de mes nombreuses absences et pour avoir partag´e avec moi l"enthousiasme que j"ai pour ce travail. Je remercie le CRSNG, D-Wave Systems, Inc., le fond FCAR et l"IMSI pour leur support financier. iv

Table des mati`eres

Sommaire iii

Remerciements iv

Table des mati`eres v

Table des figures vii

Introduction 1

1 Calcul quantique 4

1.1 Concepts fondamentaux et terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Le paradigme standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Op´erations logiques et universalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Hamiltoniens et op´erations logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Qubits encod´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Corrections quantiques d"erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2 Sous-espaces sans d´ecoh´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.3 Universalit´e encod´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Algorithmes quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.1 Transform´ee de Fourier quantique . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.2 Algorithme d"estimation de phase . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7 Optimisation d"algorithmes quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.7.1 Optimisation des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7.2 Circuits optimis´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

v

1.7.3 Optimisation par recuit simul´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7.4 Remarques et sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Calcul quantique g´eom´etrique 36

2.1 Portes g´eom´etriques adiabatiquesvsnon-adiabatiques . . . . . . . . . 38

2.1.1 Phase de Berry et calcul g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.2 Phase g´eom´etrique non-adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.3 Calcul g´eom´etrique non-adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Tol´erance au bruit des param`etres de contrˆole . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 G´eom´etriquevstopologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4 Sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Qubits supraconducteurs 57

3.1 Circuits ´electriques quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.1 Exemple additionnel : la boˆıte de Cooper . . . . . . . . . . . . 63

3.2 R´eduction vers un syst`eme `a deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.1 Qubit de Charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.2 Qubit de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 Relaxation et d´ephasage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4 Qubits supraconducteurs : designs et r´ealisations . . . . . . . . . . . . 75

3.4.1 Qubits bas´es sur la charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4.2 Qubits bas´es sur la phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.4.3 Designs r´ecents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.5 Sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4 Interaction qubit-qubit ajustable 85

4.1 M´ethodes d"interaction pour qubits supraconducteurs . . . . . . . . . 85

4.1.1 Qubits de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.1.2 Qubits de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.1.3 Designs r´ecents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2 Interaction r´esonante entre CBJJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2.1 D´ephasage et relaxation du circuit r´esonant . . . . . . . . . . 97

4.3 Interaction r´esonante pour qubits supraconducteurs . . . . . . . . . . 101

vi

4.3.1 Interaction qubit-qubit universelle . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3.2 Approximation s´eculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.3.3 D´ephasage et relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4 Sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5 Lecture d"un qubit de phase supraconducteur 116

5.1 Aspects de la mesure en m´ecanique quantique . . . . . . . . . . . . . 117

5.2 Amplificateurs lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3 D´etecteurs pour qubits supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3.1 Lecture du qubit de phase par un SQUID-dc . . . . . . . . . . 121

5.3.2 Autres strat´egies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.4 Lecture du qubit de flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.4.1 Contrˆole des fluctuations phase-charge dans un SSET . . . . . 127

5.4.2 Transducteur flux-charge pour qubits de flux . . . . . . . . . . 128

5.4.3 Sensibilit´e et r´etroaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.4.4 Remarques et sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Conclusion 143

A Phase g´eom´etrique sur qubit de charge 146 A.1 Phase g´eom´etrique adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 A.2 Phase g´eom´etrique non-adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 B Distance pour op´erations dynamiques bruyantes 151 C Encodage et suppression d"erreurs pour qubits de phase supracon- ducteurs 154

D Qubits `a terminaux multiples 183

E Taux de d´ephasage et de relaxation 189

Bibliographie 193

vii

Table des figures

1.1 La sph`ere de Bloch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Circuits quantiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Circuit quantique d´etectant le renversement d"un bit. . . . . . . . . . 14

1.4 Universalit´e encod´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Circuit quantique pour la QFT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Circuit quantique pour l"estimation de phase. . . . . . . . . . . . . . 24

1.7 Op´eration contrˆol´ee sur des qubits distants. . . . . . . . . . . . . . . 29

1.8 Circuit quantique optimis´e pourF5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.9 Comparaison du coˆut en temps pour la QFT. . . . . . . . . . . . . . 32

1.10 Circuit am´elior´e par recuit simul´e pour la QFT sur cinq qubits. . . . 34

2.1 Sph`ere de Bloch et espace projectif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2 ´Evolution du vecteur de Bloch sur la sph`ere de Bloch sous la s´equence r´ealisant la phase AA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Distance en fonction deθet de l"amplitude maximale du bruit. . . . . 50

2.4 Parcours dans l"espace des param`etres r´ealisant la porte de phase adia-

batique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1 Convention de signes pour les voltages et courants de branche. . . . . 58

3.2 Exemple de circuit ´electrique : boucle supraconductrice form´ee de trois

jonctions Josephson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Boˆıte de Cooper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4 ´Energie de la boˆıte de Cooper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5 Design modifi´e pour le qubit de phase `a trois jonctions. . . . . . . . . 68

viii

3.6 Courbes de niveaux de l"´energie potentielle pour le qubit de phase `a

trois jonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.7 Mod´elisation des sources de bruit pour les qubits supraconducteurs. . 72

3.8 Mod`ele de Caldeira-Leggett pour une imp´edance et une admittance. . 73

3.9 Design utilis´e pour l"exp´erience de Nakamuraet al.. . . . . . . . . . 76

3.10 Qubits bas´es sur les supraconducteurs de typed. . . . . . . . . . . . . 79

3.11 Qubit phase-charge de Saclay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.12 Qubit bas´e sur une jonction unique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1 Qubits coupl´es en parall`ele `a une inductanceL. . . . . . . . . . . . . 87

4.2 Paire de qubits CBJJ coupl´es par une capacit´eCc. . . . . . . . . . . . 91

4.3 Potentiel cubique associ´e `a une CBJJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.4 Repr´esentation des ´etats logiques et des ´etats propres sur la sph`ere de

Bloch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.5 Interaction entre qubits supraconducteurs. . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.6 S´equence d"interactions qubits-jonction pour la r´ealisation de l"op´eration⎷SWAP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.7 Temps de relaxation et d´ephasage en pr´esence de la CBJJ . . . . . . 110

4.8 Design int´egr´e pour l"interaction et la mesure de qubits supraconducteurs.114

5.1 Qubit de phase coupl´e inductivement `a un SQUID-dc. . . . . . . . . . 122

5.2 Courbe IV pour une jonction hyst´er´etique. . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.3 Mesure d"un qubit de charge par un SSET. . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.4 Circuit utilis´e par Matterset al.pour ´etudier l"effet des fluctuations de

phase dans un syst`eme dans le r´egime de blocage de Coulomb. . . . . 127

5.5 R´esultats exp´erimentaux de Matterset al.. . . . . . . . . . . . . . . 129

5.6 Nouveau design pour la lecture d"un qubit de flux. . . . . . . . . . . . 130

5.7 Courant critique dans le syst`eme SSET-SQUID-qubit obtenu dans

l"approximation `a deux charges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.8 Courant critique dans le syst`eme SSET-SQUID-qubit obtenu par dia-

gonalisation exacte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.9 Courant critique dans le syst`eme SSET-SQUID-qubit obtenu par dia-

gonalisation exacte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 ix A.1 Circuit dans l"espace des param`etres{Φx,ng}. . . . . . . . . . . . . . 147 A.2 Phase de Berry en fonctionngmet Φxm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

A.3 S´equence de flux externe Φ

xet de charge de grillengr´ealisant l"op´eration R AAz(θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A.4 Phase g´eom´etrique, champ effectifBnet temps d"op´eration en fonction des param`etres de contrˆole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 x

Introduction

L"informatique quantique est un domaine en ´emergence faisant appel `a plusieurs

sp´ecialit´es : physique, g´enie, chimie, informatique et math´ematiques. L"objectif vis´e

par cette int´egration de connaissances est la r´ealisation d"un ordinateur quantique et l"utilisation d"un tel ordinateur pour effectuer certains calculs beaucoup plus rapide- ment qu"avec un ordinateur fonctionnant de fa¸con standard (ordinateur classique). Cette acc´el´eration est rendue possible en tirant profit des ph´enom`enes quantiques tels que les superpositions d"´etats, l"enchevˆetrement et l"interf´erence [1]. Quel que soit l"angle disciplinaire sous lequel on l"envisage, les d´efis dans ce do- maine sont de taille. Par exemple, tr`es peu d"algorithmes quantiques (algorithmes adapt´es pour fonctionner sur un ordinateur quantique) efficaces sont connus. De mˆeme, plusieurs aspects concernant l"enchevˆetrement ne sont pas encore bien com- pris. Ces concepts ne pourront toutefois ˆetre applicables qu"une fois un ordinateur quantique dˆument r´ealis´e. `A ce jour, un prototype d"ordinateur quantique `a sept bits

quantiques (qubits) a pu ˆetre r´ealis´e exp´erimentalement en utilisant les techniques de

r´esonance magn´etique nucl´eaire [2]. Malheureusement, on sait que cette technique ne pourra pas permettre la r´ealisation d"un ordinateur de taille beaucoup plus impor- tante [3]. De ce point de vue, les qubits bas´es sur les syst`emes de l"´etat solide et sur l"uti- lisation des techniques standards de lithographie ont plus de chance de permettre la r´ealisation d"un ordinateur quantique de taille utile. Pour ces syst`emes toutefois, maintenir la coh´erence de phase sur des ´echelles de temps suffisamment longues pour r´ealiser des calculs utiles est un probl`eme important. En ce sens, les mat´eriaux su- praconducteurs semblent ˆetre avantageux puisqu"il est possible de tirer profit de la coh´erence quantique macroscopique de l"´etat supraconducteur. De mˆeme, l"´etude du 1 comportement quantique de ces syst`emes m´esoscopiques pr´esente un int´erˆet fonda- mental. Ce document a pour objet principal l"´etude des ordinateurs quantiques bas´es surquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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