[PDF] Chapitre 1 - La fonction donde et léquation de Schrödinger

View - Download Chapitre 1 - La fonction donde et léquation de Schrödinger

Previous PDF

Next PDF

Chapitre 1

La fonction d"onde et l"équation de

1.1 Introduction

En physique classique, une particule est décrite par sa positionr(t). L"évolution de sa position (la trajectoire de la particule) est donnée par l"équation de Newton m d2rdt

2=F(r;t)

En physique quantique, en vertu de la dualité onde-corpuscule, la particule est maintenant décrite par une fonction d"onde(r;t)dont nous décrirons la signification et l"équation

1.2 Interprétation de la fonction d"onde

Nous associons maintenant à une particule une quantitéque nous appelons fonction d"onde.est un champ scalaire dépendant du temps : = (r;t) Cette notion de fonction d"onde est à rapprocher des observations expérimentales qui nous ont montré la dualité onde-corpuscule. Une particule a aussi un aspect ondulatoire. Comme pour les phénomènes ondulatoires,(r;t)est en général une fonction complexe. (r;t)2C 1

2CHAPITRE 1. LA FONCTION D"ONDE ET L"ÉQUATION DE SCHRÖDINGER

Que représente? Nous donnons ici l"interprétation de Born. Cette interprétation relie la quantité k(r)k2= (r)(r);(=conjugué complexe de) à la notion dedensité de probabilitéde trouver la particule enr. k(r)k2=Densité de probabilité Laprobabilité de trouver la particuledans un volumedV=d3rautour derest k(r)k2d3r Avec cette interprétation,est l"amplitude de probabilité.peut être positive, négative, oucomplexe, car seule=kk2doit être positive. Plus généralement, nous associons à la particule unefonction d"onde(r;t)complexe. (r;t)estl"amplitude de probabilité(en anglais : probability amplitude). La quan- titékk2est ladensité de probabilitéau pointr(en anglais : probability density). Laprobabilitéde trouver la particule ou le système dans un volumed3r=dVautour derest égale àk(r)k2d3r= (r)(r)d3r. La dimension de la densité de probabilitékk2est m3: h kk2i =m3 La connaissance de(r;t)permet alors (dans l"interprétation de Born) de connaître l"évolution dynamique de la probabilité de trouver la particule dans un volumed3rautour de tout pointren fonction du temps. On pourrait ainsi suivre au cours du temps le lieu dertel que k(r;t)k2d3r>une valeur donnée de la probabilité Si la probabilité est grande pourd3rpetit, on pourrait avoir une analogie avec la trajec- toire au sens classique. La question qui se pose est maintenant la suivante : si on poursuit le parallèle avec le mouvement d"une particule, il faut alors trouver une équation pour décrire la fonction d"onde(r;t). Vous pouvez par exemple vous poser la question suivante : soit un atome d"hydrogène formé d"un proton et d"un électron. La fonction d"onde(r)permet de calculer la densité de probabilitékk2de touver l"électron en un pointr. Mais comment trouver la fonction d"onde?

1.3. EQUATION DE SCHRÖDINGER3

du temps: i~@@t (r;t) = ~22mr2+V(r) (r;t)(1.1) où : ~=h2= 1:054571034Js, r

2est le laplacien,

mla masse de la particule, V(r)l"énergie potentielle de la particule au pointr. Lorsque l"on cherche une solution dequi ne dépend pas du temps (solution station- ~22mr2+V(r) (r) =E(r)(1.2) oùEest l"énergie de la particule.

Discussion

par exemple, l"équation de Newton).Sa validité est prouvée par les conséquences que l"on peut en tirer. La connaissance de(r;t= 0)suffit pour déterminer l"évolution de(r;t). En effet, dans l"approche probabiliste de Born,permet de trouver la probabilité de trouver la particule autour deren tout temps. La connaissance seule de(r;t= 0)doit donc suffire pour déterminer l"évolution.

3(r;t) =1(r;t) +2(r;t)

d)La fonction d"ondeest ditenormaliséesi Z 1 1 d3r = 1

4CHAPITRE 1. LA FONCTION D"ONDE ET L"ÉQUATION DE SCHRÖDINGER

e)Conditions sur: la condition de normalisation précédente impose quesoit de carré sommable. L"interprétation de Born surkk2interdit quepossède plusieurs

venir la dérivée seconde à travers le laplacienr2,et ses premières dérivées doivent

être continues. Il y a donc de fortes restrictions sur la classe des fonctions. Du point de vue mathématique,est un élément d"un espace de Hilbert. En effet, nous avons :

à carré sommable, alors

=11+22 de carré sommable : kk2=Z d

3r(11+22)(11+22)

Z d

3r[1111+2222+1212+2121]

Les fonctions1et2étant de carré sommable, les 4 termes de l"intégrale convergent. l"existence d"un produit scalaire entreet'défini comme h;'i=Z d 3r'

Sih;'i= 0,et'sont dits orthogonaux.

Le carré de la norme deest

kk2=h;i>0

Le produit scalaire satisfait la propriété

h;'i=h';i

Il est linéaire par rapport à':

h;1'1+2'2i=1Z '1d3r+2Z '2d3r =1h;'1i+2h;'2i

De même :

h11+22;'i=1Z

1'd3r+2Z

2'd3r =1h1;'i+2h2;'i Finalement, le produit scalaire satisfait l"inégalité de Schwarz : kh;'ik6ph;ih';'i

1.4. EXEMPLES DE CALCUL DEÀ UNE DIMENSION5

1.4 Exemples de calcul deà une dimension

stationnaire à une dimension s"écrit ~22md 2dx

2+V(x) =E(1.3)

1.4.1 Cas oùV(x) = 0

~22md 2dx 2=E

La solution générale est

=Aexpfikxg+Bexpfikxg avecE=~2k22m, etAetBdes constantes. dinger : ~22md 2dx

2=~22mk2[Aexpfikxg+Bexpfikxg] =E

en identifiantE=~2k22m. Donnons maintenant l"interprétation de Born de(x). PrenonsB= 0: (x) =Aexpfikxg

La densité de probabilité est

k(x)k2= =kAk2 La densité de probabilité est une constante indépendante de la position. Notez que nous avons ici un problème : la normalisation de(x)demande que Z 1 1 kk2dx= 1 Mais commekk2vautkAk2, il y a ici un problème mathématique, car l"intégrale diverge! Quelle est l"interprétation physique du résultat quantique? Nous décrivons la particule de massempar la fonction d"onde(x) =Aexpfikxg. Selon la relation de de Broglie, l"impulsionpde la particule est p=~k

6CHAPITRE 1. LA FONCTION D"ONDE ET L"ÉQUATION DE SCHRÖDINGER

En mécanique non quantique, l"énergie mécanique, en l"absence d"énergie potentielle

V(x), est donc :

E=Ecin=p22m=~2k22m

La théorie quantique nous donne un autre résultat très surprenant. Alors que l"impulsionp est exactement définie (p=~k), la densité de probabilitékk2est constante, quel que soitx.Nous ne savons pas où se trouve la particule, alors que nous avons une définition exacte de son impulsion!Nous reviendrons sur ce résultat connu sous le nom deprincipe d"incertitude de Heisenberg. Notez que nous avons fait la discussion avec =Aexpfikxg, c"est-à-dire aveck >0. Les résultats sont également valables si on considère =Bexpfikxg. Le vecteur d"ondek est négatif et tous les autres résultats sont également valables.

Cas où(x) = expfikxg+ expfikxg

C"est le casA=B= 1.

(x) = expfikxg+ expfikxg= 2cos(kx)

La densité de probabilitékk2vaut donc

kk2= 4cos2(kx) La densité de probabilité est maximale enkx=n,nentier, et nulle enkx= (n+12

La particule est localisée aux maximakx=n.

La fonction d"onde choisie est la superposition de deux ondes avec la même amplitude, l"une avec un vecteur d"onde+ket l"autre avec le vecteur d"ondek. Au vecteur+k correspond l"impulsionp1=~ket à l"autre l"impulsionp2=~k. Que nous donne la mesure de l"impulsion de la particule?

La physique quantique nous dicte que :

si nous faisons une seule mesure, la valeur de l"impulsion mesurée sera soitp1=~k, soitp2=~k, si nous faisons plusieurs mesures, il y aura statistiquement50%de chance que ce soit p

1et50%que ce soitp2. Le fait qu"il y ait une probabilité de50%est lié au fait que

les amplitudes des ondesexpfikxgetexpfikxgsont égales.

Nous reviendrons à ce problème plus tard, lorsque nous traiterons le cas général où la

fonction d"onde est une superposition linéaire de fonctions d"ondes solutions de l"équation Notons ici un autre fait important. Si = expfikxg+ expfikxg, la particule est "mieux" localisée que dans le cas = expfikxg. La densité de probabilité est maintenant

1.4. EXEMPLES DE CALCUL DEÀ UNE DIMENSION7

maximale lorsquekx=n. Par contre, il y a une incertitude sur la valeur de l"impulsion. On retrouve une relation entre la localisation de la particule et l"incertitude sur la mesure de son impulsion, c"est-à-dire larelation d"incertitude de Heisenberg, que nous discuterons plus tard.

1.4.2 Particule dans un puits de potentiel

Considérons un puits de potentielV(x)décrit sur la figure 2.1.Zone I V 0Lx

Zone II Zone IIIFig.1.1 - Puits de potentiel

V(x) =8

:0;06x6L +1; x <0etx > L ~22md 2dx

2+V =E

~22md 2dx 2=E La solution, exprimée avec les fonctions cosinus et sinus, est =Csin(kx) +Dcos(kx)dans la zone II et l"énergie qui lui correspond est E k=~2k22m

8CHAPITRE 1. LA FONCTION D"ONDE ET L"ÉQUATION DE SCHRÖDINGER

Dans les zones I et III, le potentielVest infini. D"une manière intuitive, en regardant la (x) = 0dans les zones I et III

A ce stade, nous avons donc

(x) =8 >>>:0;pourx <0

Csin(kx) +Dcos(kx);pour06x6L

0;pourx > L

Nous avons mentionné que la fonction(x)est une fonction continue. La condition de continuité enx= 0implique queDvaut0. La condition de continuité enx=Limplique que kL=n,k=nL Le vecteurkne peut prendre que desvaleurs discrètesn=L. L"impulsion correspon- dantepvaut p=pn=~k=~nL On dit alors queketpsontquantifiés. La quantification dekimplique donc aussi la quantification de l"énergieEde la particule :

E=~2k22m=~2n222L2m

L"énergie d"une particule dans un puits de potentiel de longueurLet de profondeur infinie consiste en des niveaux discrets(n2~22=2L2m). Notez queEvarie commen2.

L"énergie est aussi quantifée.

D"où viennent ces diverses quantifications? Mathématiquement, elles viennent du fait que nous avons dû satisfaire des conditions aux limites, dans ce cas particulier la continité de la fonction enx=L. Normalisation de la fonction d"onde dans la zone II

Dans la zone II, la fonction d"onde est

(x) =CsinnL x La condition de normalisation de la fonction d"onde est Z L 0 dxkCk2sin2nL x = 1

1.4. EXEMPLES DE CALCUL DEÀ UNE DIMENSION9

kCk2L2 = 1,C=r2 L

La fonction d"onde normalisée est donc

(x) =8 >>>>>:0;pourx <0 r2 L sinnxL ;pour06x6L

0;pourx > L

et l"énergie vaut

E=n2~222L2m

Quelles sont les propriétés physiques associées à la fonction d"onde(x)que nous venons de trouver? Dans le cadre de la mécanique classique, l"énergie de la particule est continue depuis0jusqu"à1. Dans le cadre de la mécanique quantique, l"énergie ne peut prendre que des valeurs discrètes. La séparation en énergie entre les niveaux(n+ 1)etnvaut

E=En+1En=(2n+ 1)~222L2m

Dans la région06x6L,est la superposition d"une ondeexpfinxL get d"une onde expfinxL g. Une mesure unique de l"impulsion donnera soitn~=Lsoitn~=L. Sta- tistiquement, il y aura50%de chance de trouvern~=Let50%de trouvern~=L.

La densité de probabilitékk2vaut

kk2=8 >>>>:0;pourx <0 2L sin2nxL ;pour06x6L

0;pourx > L

Pour des grandes valeurs den(à part les oscillations), la densité de probabilité est "continue" entre0etL, comme dans le cas classique.Le cas classique est obtenu pour des grandsn.

10CHAPITRE 1. LA FONCTION D"ONDE ET L"ÉQUATION DE SCHRÖDINGER

1.4.3 Effet tunnel

Considérons la distribution du potentiel décrite dans la figure 2.2.Zone I V 0L x

Zone II Zone IIIV

0Fig.1.2 - Effet tunnel

V=8 :0; x <0 V

0;06x6L

0; x > L

On considère la situation classique suivante :

une particule arrive sur la barrière de potentiel depuisx <0, on suppose que l"énergieEde la particule est inférieure àV0. En mécanique classique, la particule est réfléchie par la barrière de potentiel.

Résolvons le problème dans le cadre de la mécanique quantique. Dans la zone I, l"équation

~22md 2dx 2=E

I=Aexpfikxg+BexpfikxgetE=~2k22m

~22md 2dx

2+V0 =E

La solution est :

II(x) =CexpfKxg+DexpfKxgavec~K=p2m(V0E)

Dans la zone III,Vest nul etvaut

III=A0expfikxg+B0expfikxgetE=~2k22m

1.4. EXEMPLES DE CALCUL DEÀ UNE DIMENSION11

Nous devons imposer la continuité deenx= 0etx=L, ainsi que la continuité deddx enx= 0etx=L. Donc

8>>>>>>>><

>>>>>>>:A+B=C+D

CexpfKLg+DexpfKLg=A0expfikLg+B0expfikLg

ikAikB=KCKD

KCexpfKLg KDexpfKLg=ikA0expfikLg ikB0expfikLg

B

0vaut0car dans la zone III, il n"y a pas de particule allant dans la direction négative.

Il nous reste donc 5 inconnues et 4 équations. L"amplitude deAest arbitraire. On peut donc exprimer toutes les autres quantités en fonction deA.kAk2donne la probabilité de la particule allant de gauche à droite.kA0k2donne la probabilité de trouver la particule dans la zone III. Appelons le rapportT=kA0k2=kAk2coefficient de transmission de la zone I à la zone III en traversant la barrière de potentiel. T=8

1 +[expfKLg expfKLg]216

EV 0 1EV 09 ;1 Le fait queTsoit non nul montre qu"il y a une probabilité non nulle que la particule traverse la barrière de potentiel et ressorte dans la zone III. C"est ce qu"on appellel"effet tunnel.

PourKL1, on peut faire un approximation pourT:

T= 16EV

0 1EV 0 expf2KLg avecK=p2m(V0E)=~. L"effet tunnel décroît exponentiellement avecLetm1=2. Les particules légères comme les électrons ont une probabilité plus grande de faire un effet tunnel que les particules plus lourdes.

Application de l"effet tunnel en microscopie

Considérez un électron à la surface d"un corps. Il est retenu dans ce corps par une barrière

de potentiel. Plaçons près de cette surface (L0:5nm) une pointe métallique. Par effet

tunnel, il existe une probabilité non nulle pour que l"électron quitte le métal. On détecte

alors un courant à travers la pointe.

12CHAPITRE 1. LA FONCTION D"ONDE ET L"ÉQUATION DE SCHRÖDINGERCourant tunnel

LPointe

Surface

ADans un microscope à balayage basé sur l"effet tunnel, on essaye de garder le courant tunnel constant lorsque la pointe se promène sur la surface, en contrôlant la hauteur de la pointe. On obtient ainsi une image de la surface du métal.

1.4.4 Particule avec une énergie supérieure à la barrière de potentiel

Soit la barrière de potentielV(x)suivante :

Zone I

V 0x

Zone IIV

0Fig.1.3 - Barrière de potentiel

V(x) =8

:0; x <0 V

0; x >0

Soit une particule d"énergie cinétique, enx <0, égale àE=12 mv2> V0. Du point de vue classique, la situation est simple : la particule passe par dessus la barrière en venant dex <0.

Qu"en est-il du point de vue quantique?

Dans la zone I, nous avons vu que

I=AexpfikIxg+BexpfikIxg

aveck2I= 2Em=~2. Notez que nous avons pris la solution générale, superposition d"une onde progressive expfikIxget d"une onde rétrogradeexpfikIxg.

1.4. EXEMPLES DE CALCUL DEÀ UNE DIMENSION13

~22md 2dx

2= (EV0)

avec(EV0)>0. Donc

II=CexpfikIIxg

aveck2II= 2m(EV0)=~2. Nous prenons ici seulement l"onde progressiveexpfikIIxg, car dans la zone II, la particule se propage vers lesxcroissants.

Les conditions imposées enx= 0sont

la continuité deI(x= 0) = II(x= 0), la continuité deddx

I(x= 0) =ddx

II(x= 0),

soit : 8< :A+B=C k

I(AB) =kIIC

Comme dans le cas examiné pour l"effet tunnel, on note queBetCpeuvent être calculés en fonction deA.8< :BC=A k

IB+kIIC=kIA

Les solutions sont

B=kIkIIk

I+kIIA

C=2kIk

I+kIIA

On définit lecoefficient de réflexionRcomme :

R=kBk2kAk2=(kIkII)2(kI+kII)2

et lecoefficient de transmission1Tcomme :

T=kCk2kAk2k

IIk

I=4kIkII(kI+kII)2

Discussion mathématique

Dans la zone I, nous avons dû prendre en compte l"onde rétrogradeBexpfikxg, sinon nous n"aurions pas pu satisfaire les conditions de continuité enx= 0deet0.1 Notez le facteurkII=kIdans l"expression du coefficient de transmissionT.

14CHAPITRE 1. LA FONCTION D"ONDE ET L"ÉQUATION DE SCHRÖDINGER

Discussion physique

Cas classique :La particule passe par dessus la barrière de potentiel. Il n"y a rien de semblable à une réflexion. Cas quantique :Même siE > V0, une partie de l"onde incidente est réfléchie. Nous avons

R+T=(kIkII)2(kI+kII)2+4kIkII(kI+kII)2= 1

dinger

Nous avons, d"une manière générale, considéré la solution générale de l"équation, par

exemple (cas de l"effet tunnel pour la zone II) : =CexpfKxg+DexpfKxg Nous exigeons que la fonctionsatisfasse les conditions générales suivantes : -est bornée dans le domaine considéré. Par exemple, si la zone II s"étend jusqu"à x=1, alors nous devons éliminer le termeexpf+Kxgcar il n"est pas borné. -etd=dxdoivent être continues aux limites oùVvarie brusquement. De plus, nous devons réfléchir à la physique de ce que nous écrivons. Ainsi : =Aexpfikxg $Onde progressive (se propageant vers lesx >0)$Particule se propageant versx >0. =Bexpfikxg $Onde rétrograde (se propageant vers lesx <0)$Particule se propageant versx <0. Prenons le cas extrêmement simple d"un potentielVdonné parquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

[PDF] résolution d'équation complexe en ligne

[PDF] pédagogie d'enseignement primaire

[PDF] maison des expatriés

[PDF] droit d un francais a l etranger

[PDF] cours de contrôle fiscal

[PDF] télécharger la marseillaise

[PDF] guide fiscal 2016 pdf

[PDF] séquence le bourgeois gentilhomme 5ème

[PDF] fiscalité des banques

[PDF] guide pratique du contribuable 2017

[PDF] inéquation du second degré pdf

[PDF] inéquation du second degré avec fraction

[PDF] fiscalité des opérations bancaires

[PDF] résoudre une inéquation du second degré graphiquement

[PDF] resoudre inequation second degré en ligne