[PDF] Les nombres complexes 2.2 Opérations sur

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Les nombres complexes

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Généralités2

1.1 Définitions

2

1.2 Règles de calcul dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.3 Interprétation géométrique

3

2 Conjugué d"un nombre complexe

3

2.1 Définition - Propriétés

3

2.2 Opérations sur les nombres conjugués

4

3 Équation du second degré5

Table des figures

1 Interprétation géométrique

3

2 Affixe du conjugué d"un nombre complexe

4 ?

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1

1 GÉNÉRALITÉS

Activité :Activité 1 page 2321[TransMath]

1 Généralités

1.1 DéfinitionsDéfinition :Un nombre complexe est un nombre de la formea+ib, oùaetbsont deux nombres réels et

iun nombre tel quei2=-1.

L"ensemble des nombres réels est notéC.Théorème (admis) :L"écriture d"un nombre complexezsous la formea+ibavecaetbréels est unique.

Elle est appelée

écriture algébrique

du nom brecomplexe z.Définition :Soitz=a+ibun complexe, aveca,bréels. le réel aest laparti eréelle du nom brec omplexez. Elle est notéeRe (z).

le réel best lap artieimaginaire du nom brecomplexe z. Elle est notéeIm (z).Exemples :1.Re ?⎷3-i?=⎷3et Im?⎷3-i?=-1.

2.

Re (-4i) = 0et Im(-4i) =-4.

3. Comme i2=-1,-2i2+ 3 = 2 + 3 = 5donc Re?-2i2+ 3?= 5et Im?-2i2+ 3?= 0.

Remarques :Soitz?C

-zest unréel si et seulemen tsi Im (z) = 0.

En particulier,R?C.

-zest unimaginaire pur si et seulemen tsi Re (z) = 0.

-z= 0si et seulement siRe (z) = 0etIm (z) = 0.Propriété :Deux nombres complexeszetz?sontégau xsi et seu lementsi Re (z) =Re(z?)et

Im(z) =Im(z?).1.2 Règles de calcul dansC

On muni l"ensemble des nombres complexes d"une addition et d"une multiplication en appliquant les règles de

calcul dansRet en remplaçanti2par-1(voir Activité page 1 page 232 [TransMath]). On obtient :Addition et multiplication dansC:Soientzetz?de forme algébriquez=a+ibetz?=a?+ib?.

z+z?=( a+a?) +i(b+b?) z.z ?=( aa?-bb?) +i(ab?+a?b)Démonstration : z+z?=a+ib+a?+ib?= (a+a?) +i(b+b?) z.z ?= (a+ib)(a?+ib?) =aa?+iab?+ia?b-bb?= (aa?-bb?) +i(ab?+a?b) Remarques :1.En particulier, si kest un nombre réel, on ak.z= (kx) +i(ky). 2.

Les règl esde calcul dans Csont les mêmes que dansRet on retrouve les mêmes identités remarquables.

Exemple :(a+ib)(a-ib) =a2-iab+iab-i2b2=a2-(-1)b2=a2+b2 On obtient donc une nouvelle identité remarquable valable dansC:a2+b2= (a+ib)(a-ib).

Exercices :1, 2, 3, 5, 7 page 241 et 51, 55 page 2532[TransMath]1. Des nombres réels aux nombres imaginaires.

2. Calculs dansC.

2

2 CONJUGUÉ D"UN NOMBRE COMPLEXE 1.3 Interprétation géométrique

1.3 Interprétation géométrique

Définition :Soit(O;?u;?v)un repère orthonormé direct etzun nombre complexe de forme algébrique

z=a+ib. Le p ointM(a;b)est appeléimage de z. (voir figure1 )

On dit que Ma pouraffixe z.

La distance OMest appeléemo dulede z. On note|z|=OM.Figure1 - Interprétation géométrique Conséquences :1.L"ensem bledes nom bresréels est représen tépar l"axe des abscisses. L"ensemble des imaginaires purs est représenté par l"axe des ordonnés. 2.

On a |z|=⎷a

2+b2.

3.|z|= 0si et seulement siz= 0.

4. Si zest un nombre réel (c"est-à-direz=a),|z|=⎷a

2=|a|. Le module correspond alors à la valeur

absolue. Exercices :66, 67, 68 page 2543- 69 page 2544[TransMath]

2 Conjugué d"un nombre complexe

2.1 Définition - PropriétésDéfinition :Soitzle nombre complexe de forme algébriquez=a+ib.

On appelle

conjugué

de zle nombre complexe notézet défini parz=a-ib.Remarques :1.Le p ointMd"affixezet le pointM?d"affixezsont symétriques par rapport à l"axe des

abscisses (voir figure 2 2.

De la dé finition,on tire facilemen tque : (z) =z.Propriété :Soitzun nombre complexe. On a :

Re(z) =z+z

2

Im(z) =z-z

2izz=|z|2Démonstration :

z+z 2 =a+ib+a-ib2 =2a2 =a=Re(z)3. Affixes de points.

4. Premiers ensembles de points.

3

2.2 Opérations sur les nombres conjugués 2 CONJUGUÉ D"UN NOMBRE COMPLEXE

Figure2 - Affixe du conjugué d"un nombre complexe z-z zz= (a+ib)(a-ib) =a2+b2=|z|2 Remarques :1.En particulier, on a les résultats suiv ants: -zest unnom breréel si et seu lementz=z. -zest unimaginaire pur si et seulemen tz+z= 0. 2.

De la der nièreégalité ,on déduit que zzesttoujours un nom breréel p ositif. Ce résultat sera utilisé,

entre autres, pour trouver la forme algébrique d"un quotient de nombres complexes.

Exemples :1.23+i=2(3-i)(3+i)(3-i)=6-2i3

2+12=6-2i4

=32 -12 i 2.

2+(-2)2=8+i12

=43 +112
i Exercices :9, 12 page 242 et 52, 53, 54 page 2535- 14 page 242; 56, 57 page 2536- 10 page 242 et 59 page 253 et 15, 16 page 243

7[TransMath]

2.2 Opérations sur les nombres conjuguésPropriété :Soientzetz?deux nombres complexes. Alors :z+z?=z+z

?zz ?=z×z zz ??=z z ?(avecz??= 0)Démonstration (partielle) : Siz=a+ibetz?=a?+ib?alorszz?= (aa?-bb?) +i(ab?+a?b)donczz ?= (aa?-bb?)-i(ab?+a?b).

De plus :z×z

?= (a-ib)(a?-ib?) = (aa?-(-b)×(-b?)) +i(-ab?-a?b) = (aa?-bb?)-i(ab?+a?b).

On en déduit quezz

?=z×z Remarque :On obtient facilement par récurrence quez n= (z)npour toutnentier naturel.

Exercices :11 page 242 et 60 page 2538- 114 page 2619- 120, 21 page 26310[TransMath]5. Forme algébrique d"un quotient.

6. Résolutions d"équations dansC.

7. Parties réelles et imaginaires.

8. Propriétés des conjugués.

9. Type BAC.

10. Ensembles de points.

4

3 ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

3 Résolution dansCd"équation du second degré à coefficients réels

Soienta,betctrois nombres réels, aveca?= 0.

On considère l"équation :az2+bz+c= 0avecz?C.

En utilisant, comme dans le cours de1èreS, la forme canonique, on montre que cette équation est équivalente

a? z+b2a? 2 -Δ4a2? = 0 avecΔ =b2-4ac.

Comme, de plus,a?= 0, cette équation devient :

z+b2a? 2 -Δ4a2= 0

Si Δ>0:

On a alorsΔ =⎷Δ

2, on peut donc écrire :Δ4a2=?

2a?

2d"où :

z+b2a? 2 2a? 2 = 0 z+b2a+⎷Δ 2a?? z+b2a-⎷Δ 2a? = 0 L"équationaz2+bz+c= 0est alors équivalente à : z+b2a+⎷Δ

2a= 0ouz+b2a-⎷Δ

2a= 0 z=-b2a-⎷Δ

2az=-b2a+⎷Δ

2a z=-b-⎷Δ

2az=-b+⎷Δ

2a L"équationaz2+bz+c= 0a alors deux solutions réelles distinctes : z

1=-b-⎷Δ

2aetz2=-b+⎷Δ

2a

Si Δ = 0:

On a alors :

z+b2a? 2 = 0 L"équationaz2+bz+c= 0est alors équivalente à : z+b2a= 0 z=-b2a L"équationaz2+bz+c= 0a alors une seule solution réelle (appelée solution double) : z

0=-b2a

5

RÉFÉRENCESRÉFÉRENCES-Si Δ<0:

On a alorsΔ =-(-Δ)avec-Δ>0, on peut donc écrire :Δ =i2×?⎷-Δ?2=?i⎷-Δ?2

On peut donc en déduire que

Δ4a2=?i⎷-Δ2a?

2et l"équation devient :

z+b2a? 2 -?i⎷-Δ2a? 2 = 0 z+b2a+i⎷-Δ2a?? z+b2a-i⎷-Δ2a? = 0 L"équationaz2+bz+c= 0est alors équivalente à : z+b2a+i⎷-Δ2a= 0ouz+b2a-i⎷-Δ2a= 0 z=-b-i⎷-Δ2az=-b+i⎷-Δ2a L"équationaz2+bz+c= 0a alors deux solutions complexes distinctes : z

on peut de plus remarquer que ces deux solutions sont des nombres complexes conjugués.Résumé :Résolution deaz2+bz+c= 0(aveca?= 0)

Δ =b2-4acest lediscriminan tde cette équation. Si Δ>0, l"équation admetdeux solutions réelles : z

1=-b-⎷Δ

2aetz2=-b+⎷Δ

2a Si Δ = 0, l"équation admetune solution double réelle : z

0=-b2a

Si Δ<0, l"équation n"admetde uxsolutions complexes conjuguées : z

1=-b-i⎷-Δ2aetz2=-b+i⎷-Δ2aRemarques :

1.

Les racines d utrinôme du s econddegré à co efficientsrée lsson tdonc soit réelles, soit complexes conjugués.

2. Dans C, un trinôme du second degré se factorise donctoujourssous la formea(z-z1)(z-z2). Exercices :17 page 243 et 63 page 25411- 18 page 243 et 64, 65 page 25412- 19 page 243; 34 page 248 et 119 page 263

13[TransMath]

Références

[TransMath] transMA THT ermS, p rogramme2012 ( Nathan) 2 3 4

6 11. Équations du second degré dansC.

12. Avec un paramètre.

13. Équations de degré 3 ou 4 dansC.

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