[PDF] Nombres complexes (partie 1) Formule du binôme dans

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Nombres complexes

(partie 1)

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1

CHAPITRE

NOMBRES COMPLEXES(P ARTIE1)

Ondoit àGauss(1777-1855) unedéfinition desnombr escomplexes .Lanotation z=a+ibaveci 2 =-1est dueà Euler(1707-1783). Les nombrescomplexessont nésd "unpr oblèmealgébr ique:larésolution del"équa- tion dedegré 3. L"histoiredesnombr escomplexes commenceversle milieudu XVI e siècle avecune premièreapparition en

1545, dansl "oeuvredeCardan(1501-1576), d"uneexpression

contenant lar acinecarréed"un nombre négatif,nombrequ "ilappelle"sophistiqué". C"estBombelli(1526-1572) quimet enplace lesrègles decalcul surces quantités que l"onappellealors"impossibles" avant deleur donnerle nom"d"imaginaires".

Les contenusdu chapitre

?Ensemble ?Conjugaison.P ropriétésalgébriques. ?Inversed"un nombrecomplexenon nul. ?Formuledubinôme dans C.

Les capacitésattendues duchapitr e

?Effectuerdes calculsalgébr iquesav ecdesnombres complexes. ?Résoudreune équationlinéair e az=b. ?Résoudreune équationsimple faisantinter venir zetz. 1

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OURSU COURS

1.Définition etnotation

DéPnition 1- Ensemble desnombrescomplex es

L'ensembledesnombr escomplexes

Cest l'ensembledesnombres dela forme

z=a+bioùa?R,b?Retiest lenombr eimaginairetel quei 2 =-1.

C={z=a+bitel quea?R,b?Reti

2 =-1} Ondir aquea+ibestl"écriturealgébriquedu nombrecomplexez.

Ensciences physiques, onnote

jà laplace deicarireprésentel 'intensitédu courant.

Exemples:

z=2+3i ?z=3-i ?z=i ?z=2

Propriété1-RetC

R?C

Toutnombr eréelestun nombre complexe.

Démonstration

Si x?Ralorsx=x+0×idoncx?C. !Iln 'yapasde relation d' ordr edans

C. Onnepeut pasor donnerles nombres

complexes aveclesr elations Définition 2- Par tieréelleetpartieimaginair e Soit z?Calors ilexiste a?Retb?Rtels quez=a+ib ?ase nommela partieréelledezet senote Re (z). bse nommela partieimaginaire dezet senote Im (z).

Exemples:

?Dans z=3-4i, Re(z)=3etIm (z)=-4. ?Dans z=5, Re(z)=5etIm (z)=0. -2-

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?Dansz=7i, Re(z)=0etIm (z)=7.

Définition 3- Imaginair epuretréel

Soit z?C ?Ondit quezestun imaginairepursiRe (z)=0. ?Ondit que zestun réelsiIm(z)=0

Exemples:

z=3iest unimaginair epur. z=3est unréel.

Définition 4- Ensemble desimaginairespurs

Onnote

iRl"ensembledesimaginair espurs . iR={z=iaoùa?R}

Définition 5- Complex econjugué

Soit z=a+ibun nombrecomplexe.

Onnomme conjugué de

zet onnote z, lenombr ecomplexez=a-ib.

Exemples:

?Si z=2+3ialorsz=2-3i. ?Si z=2-3ialorsz=2+3i. ?Si z=3ialorsz=-3i. ?Si z=2alorsz=2.

Propriété2-C onjuguéd "unréel

z?R?z=z

Démonstration

Siz?Ralors ilexiste a?Rtel quez=a+i×0.

Ona donc

z=a-i×0=a=z.

Siz=zalors Re(z)-iIm(z)=Re(z)+iIm(z)

Ona donc2iIm(z)=0?Im(z)=0doncz?R.

-3-

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Propriété3-C onjuguéd 'unimaginair epur

z?iR?-z=z

Démonstration

Siz?iRalors ilexiste b?Rtel quez=0+ib.

Ona donc

z=0-ib=-ib=-z.

Siz=-zalors Re(z)-iIm(z)=-Re(z)-iIm(z).

Ona donc

2Re(z)=0?Re[z)=0doncz?iR.

2.Opérationsdans C

Onnote z=a+ibetz

=a +ib oùa,a ,b,b sont desréels .

Propriété4-Somme dedeux complexes

z+z =(a+a )+i(b+b donc

Re(z+z

)=Re(z)+Re(z

Im(z+z

)=Im(z)+Im(z

Démonstration

z+z =(a+ib)+(a +ib )=a+ib+a +ib =(a+a )+i(b+b

Exemples:

z=3+4ietz =-5+3ialorsz+z =-2+7i. z=3+4ietz =-2ialorsz+z =3+2i.

Propriété5-C onjuguéd 'unesomme

z+z =z+z Le conjuguéd 'unesommeestla sommedes conjugués.

Démonstration

Onnote

z=a+ibetz =a +ib oùa,a ,b,b sont desréels . z+z =(a+a )+i(b+b -4- olso EnmxpdhetgoSptgo

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z+z =(a+a )-i(b+b )=a+a -ib-ib =(a-ib)+(a -ib )=z+z

Propriété6-D ifférence dedeux complexes

z-z =(a-a )+i(b-b ou

Re(z-z

)=Re(z)-Re(z

Im(z-z

)=Im(z)-Im(z

Démonstration

z-z =(a+ib)-(a +ib )=a+ib-a -ib =(a-a )+i(b-b

Exemples:

z=3+4ietz =-5+3ialorsz-z =8+i ?z=3+4ietz =-2ialorsz-z =3+6i

Propriété7-C onjuguéd "unediffér ence

z-z =z-z Le conjuguéd "unedifférenceest ladifférencedes conjugués.

Démonstration

Onnote

z=a+ibetz =a +ib oùa,a ,b,b sont desréels . z-z =(a-a )+i(b-b z-z =(a-a )-i(b-b )=a-a -ib+ib =(a-ib)-(a -ib )=z-z

Propriété8-P roduit dedeux complexes

z×z =(aa -bb )+i(ab +ba ou

Re(z×z

)=Re(z)×Re(z )-Im(z)×Im(z

Im(z×z

)=Re(z)Im(z )+Im(z)Re(z

Démonstration

z×z =(a+ib)×(a +ib )=aa +iab +iba +i 2 bb =aa +iab +iba -bb =(aa -bb )+i(ab +ba -5-

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Exemples:

z=3+4ietz =-5+3ialorsz×z =-15+9i-20i-12=-27-11i ?z=3+4ietz =3-4ialorsz×z =3 2 -(4i) 2 =9-(-16)=9+16=25

Propriété9-P roduit parson conjugué

z×z=a 2 +b 2 ou z×z=Re 2 (z)+Im 2 (z)

Démonstration

z×z=(a+ib)×(a-ib)=aa+-iab+iba-i 2 bb=aa-(-bb)=a 2 +b 2

Exemples:

z=3+4ialorsz×z=3 2 +4 2 =9+16=25 ?z=1+ialorsz×z=1 2 +1 2 =2

Propriété10-C onjuguéd 'unpr oduit

z×z =z×z Le conjuguéd 'unproduitest leproduitdes conjugués.

Démonstration

Onnote

z=a+ibetz =a +ib oùa,a ,b,b sont desréels . z×z =(aa -bb )+i(ab +ba z×z =(aa -bb )-i(ab +ba z×z =(a-ib)(a -ib )=aa -iab -iba -bb =(aa -bb )-i(ab +ba donc z×z =z×z

Propriété11-I nverse d'un nombrecomplexe

Si z?C z 1 =1 z=?azz? -i?bzz? ou z 1 =1 z=? Re(z) zz? -i? Im(z) zz? -6-

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Démonstration

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