La droite tangente à un cercle
Une droite est tangente à un cercle si et seulement si
Chapitre 10 – Distance dun point à une droite – Tangente à un cercle
b) Propriété. La distance de A à ( d ) est la longueur AH où H est le pied de la perpendiculaire à ( d ) passant par A. Démonstration. * 1 er cas : si A
COMMENT DEMONTRER……………………
Propriété : Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires. Donc (AC) ? (BD). On sait que (D) est la tangente en A au cercle
CHAPITRE VIII : DISTANCE – TANGENTE – BISSECTRICE
b) Propriété : La tangente à un cercle en un point est la perpendiculaire au rayon du cercle passant par ce point. Remarque : La distance du centre du cercle à
TRIGONOMÉTRIE
Propriété : La tangente en M au cercle C est la perpendiculaire au rayon en ce point. 2) Définition de l'enroulement. Dans un repère orthonormé O ; i.. ; j.
Distances tangentes et bissectrices
T commun donc la droite (?) est tangente au cercle C . 2.) Propriété : La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon du cercle en ce point.
LE CERCLE – Définitions et vocabulaire
Un arc de cercle. Un petit arc. Un grand arc. Un demi-cercle. Une corde. Un angle au centre. Un angle inscrit. Un angle sous-tendu. Une tangente.
DISTANCE TANGENTE ET BISSECTRICE
Caractériser les points de la bissectrice d'un angle donnée par la propriété d'équidistance aux deux côtés de l'angle. • Construire le cercle inscrit dans
Chapitre 23 : Droite tangente à un cercle en un point
On admet que dans ce cas là la droite (d) et le cercle (C) ont exactement deux points communs. 3. Enoncés des propriétés. On a partiellement démontré les
Distance -Tangente - Cours
Cette propriété s'appelle l'inégalité triangulaire. Une droite est tangente à un cercle au point M si la distance du centre de ce cercle à la droite est ...
[PDF] Chapitre 10 – Distance dun point à une droite – Tangente à un cercle
b) Propriété La distance de A à ( d ) est la longueur AH où H est le pied de la perpendiculaire à ( d ) passant par A Démonstration * 1 er cas : si A
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Dans la figure suivante (D) est une droite tangente au cercle et B le point de tangence Donc : • (D) perpendiculaire au rayon [AB] en B Propriétés :
[PDF] Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan
Exercice 3 5: Déterminer l'équation du cercle qui ayant son centre sur la droite 2x + y = 0 est tangent aux droites : 3y = 4x + 10 et 4x = 3y + 30
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Propriété : Une droite ( ) est dite tangente au cercle (? ) si et seulement si (? ( )) = 2 2 Equation de la tangente à un cercle en un de
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Une droite ( ) est dite tangente à un cercle ( ) s'ils se coupent en un seul point Propriété : Une droite ( ) est dite tangente au cercle (? ) si et
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LE CERCLE – Propriété #4 exercices - CORRIGÉ La tangente au cercle 1 Mesure l'angle formé par le rayon et la tangente de chaque cercle
Fiche explicative de la leçon : Tangentes à un cercle - Nagwa
Dans cette fiche explicative nous allons apprendre à utiliser les propriétés des tangentes à un cercle pour déterminer des angles ou des longueurs
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Cette propriété s'appelle l'inégalité triangulaire Une droite est tangente à un cercle au point M si la distance du centre de ce cercle à la droite est
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et tangent à un cercle donné I': Suit C in cercle passant par A et B et une similitude indirecte qui a cette propriété
Quand une droite est tangente au cercle ?
En géométrie plane euclidienne, une tangente au cercle est une droite qui touche un cercle en un point unique, sans passer par l'intérieur du cercle. Les droites tangents aux cercles sont le sujet de nombreux théorèmes, et apparaissent dans de nombreuses constructions à la règle et au compas et des preuves.Comment démontrer que deux cercles sont tangents ?
cercles tangents
1La distance entre les centres O et O' de deux cercles tangents intérieurement est égale à la différence de leurs rayons : d(O, O') = r – r?.2La distance entre les centres O et O' de deux cercles tangents extérieurement est égale à la somme de leurs rayons : d(O, O') = r+r?.- La formule pour l'équation d'une tangente est y = f'(a)(x-a) + f(a).
1 sur 8 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr TRIGONOMÉTRIE I. Le cercle trigonométrique Définition : Sur un cercle, on appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d'une montre. Définition : Dans le plan muni d'un repère orthonormé
O;i ;jet orienté dans le sens direct, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. II. Enroulement de la droite numérique 1) Tangente à un cercle Vient du latin " tangere » = toucher C'est une droite qui " touche » le cercle en un point et un seul. Vidéo https://youtu.be/O-5yCePDlKY Propriété : La tangente en M au cercle C est la perpendiculaire au rayon en ce point. 2) Définition de l'enroulement Dans un repère orthonormé
O;i ;j, on considère le cercle trigonométrique et une droite (AC) tangente au cercle en A et orientée telle que
A;jsoit un repère de la droite. Si l'on " enroule » la droite autour du cercle, on associe à tout point N d'abscisse x de la droite orientée un unique point M du cercle. La longueur de l'arc
AM d est ainsi égale à la longueur AN. O C M2 sur 8 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3) Correspondance entre abscisse et angle La longueur du cercle trigonométrique est égale à 2π. En effet, son rayon est 1 donc P = 2πR = 2π x 1 = 2π Après enroulement, le point N d'abscisse 2π sur la droite orientée se trouve donc en A sur le cercle. Cela correspond à un tour complet. Ainsi au nombre réel 2π (abscisse de N sur la droite orientée) on fait correspondre un angle de 360° (mesure de
AOM i). Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes : 4) Plusieurs abscisses pour un seul point A plusieurs points de la droite orientée on peut faire correspondre un même point du cercle. La droite orientée peut en effet s'enrouler plusieurs fois autour du cercle. Exemples : Ci-contre, les points N et P d'abscisses
3π 4 et -5π 4correspondent tous les deux au point M. Abscisse du point N sur la droite orientée -2π -π
2 4 0 4 2π 2π Angle
AOM i en degré -360° -180° -90° -45° 0° 45° 90° 180° 360°3 sur 8 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Les points de la droite orientée d'abscisses
2 et 3π 2correspondent tous les deux au point M du cercle trigonométrique. Les points de la droite orientée d'abscisses π
et -πcorrespondent tous les deux au point S du cercle trigonométrique. Les points de la droite orientée d'abscisses
3π 2 et 2correspondent tous les deux au point T du cercle trigonométrique. Méthode : Déterminer un point défini par enroulement autour du cercle trigonométrique Vidéo https://youtu.be/Fk_YO30jXn8 Vidéo https://youtu.be/NpcTSa6pwk8 1) On enroule la droite orientée des réels sur le cercle trigonométrique de centre O. Déterminer le point M du cercle associé au réel
9π 4dans cet enroulement. 2) Placer sur le cercle trigonométrique le point N correspondants à l'angle 480°. 1)
9π 4 8π 4 4 =2π+ 4L'enroulement effectué correspond à un tour complet du disque (2π) suivi d'un huitième de tour (
4 ). Le point M se trouve donc sur le cercle trigonométrique tel que AOM i =45° . 2) 480° = 360° + 120° Le point N se trouve donc sur le cercle trigonométrique tel que AON i =120° . N4 sur 8 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Exercices conseillés Exercices conseillés p224 n°1 à 4 p228 n°29 à 31 p224 n°7 p226 n°1 à 4 p228 n°21 à 24 p226 n°7 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 III. Sinus et cosinus d'un nombre réel 1) Définitions : Dans le plan muni d'un repère orthonormé
O;i ;jet orienté dans le sens direct, on considère un cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1. Pour tout nombre réel x, considérons le point N de la droite orientée d'abscisse x. À ce point, on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique. On appelle H et K les pieds respectifs des perpendiculaires à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées passant par M. Définitions : Le cosinus du nombre réel x est l'abscisse de M et on note cos x. Le sinus du nombre réel x est l'ordonnée de M et on note sin x. Exemple : On lit sur l'axe des abscisse : cos 60 = 0,5. TP conseillé TP conseillé TP TICE 1 p219 : Sinus et cosinus p221 TP1 : Sinus et cosinus ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
5 sur 8 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 2) Lien avec la trigonométrie vue dans le triangle rectangle : Rappel : Dans un triangle rectangle : Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir p225 n°19 p226 n°21, 22*, 28* Activité1 p212 p227 n°14, 16, 17, 18, 20* p214 act 1 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 Ainsi dans le triangle OHM rectangle en H, on a :
cosx= OH OMOr OM =1, donc
OH=cosx
cos x est donc l'abscisse de M. On a également : sinx= MH OM OK OM =OKsin x est donc l'ordonnée de M. 3) Valeurs particulières : Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus à connaître : x 0° 30° 45° 60° 90° sinx
0 2 1 2 2 2 31 cosx
1 2 3 2 2 2 1 06 sur 8 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Vidéo https://youtu.be/1l3SzSamBRk Exemple : A partir des valeurs particulières connues, trouver par symétrie le sinus et le cosinus de l'angle 210°. cos(210°) = -cos(30°) = -
3 2 sin(210°) = -sin(30°) = - 1 2 AOM i =150° et AON i =30°Ainsi x = 30° ou x = 150°
7 sur 8 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir p225 n°12, 13 Ex 1, 2 (page8) Ex 3 (page8) p230 n°36, 37 Ex 1, 2 (page8) Ex 3 (page8) ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 4) Propriétés : Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1)
et2) cos2 x + sin2 x = 1 3)
sin(-x)=-sinx et cos(-x)=cosxRemarque : (sinx)2, par exemple, se note sin2x. Démonstrations : 1) Le cercle trigonométrique est de rayon 1 donc :
et. 2) Dans le triangle OHM rectangle en H, le théorème de Pythagore permet d'établir que : cos2 x + sin2 x = OM2 = 1. 3) Les angles de mesures x et -x sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses donc :
sin(-x)=-sinx et cos(-x)=cosx. Méthode : Calculer le cosinus d'un angle connaissant son sinus Vidéo https://youtu.be/VfzFlEId56A Soit x un nombre réel. Calculer cos x sachant que sin x =
3 5 . On sait que cos2 x + sin2 x = 1, soit :8 sur 8 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr cos2 x = 1 - sin2 x =
1- 3 5 2 16 25. Soit encore : cos x = 4 5 ou cos x = - 4 5
. Exercices conseillés Exercices conseillés p225 n°15 p227 n°12 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 Exercice 1 Pour x compris entre 0° et 360°, résoudre les équations suivantes : a) sin x = -0,5 b) sin x = 1 c) sin x = -1 d) sin x = -22 Exercice 2 Pour x compris entre 0° et 360°, résoudre les équations suivantes : a) cos x = -1 b) cos x = -32 c) cos x = 2 d) cos x = 32 Exercice 3 Pour x compris entre 0° et 360°, résoudre les équations suivantes : a) cos x = 0,5 b) sin x = -32 c) cos x = -22 d) sin x = -1,1 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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