[PDF] [PDF] Valeurs remarquables x sin x cos x tan x II

View - Download [PDF] Valeurs remarquables x sin x cos x tan x II

Previous PDF

Next PDF

PCSI2 - Fiche

N.Véron-LMB-sept 2013

Formulaire de trigonométrie

I - Valeurs remarquables x 0 6

4 3 2 sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 tan x 0 3 3 1 3 II - Relations entre cos, sin et tan x ъ, 2 2sin cos 1x x x ъ \ {

2 + k , k ѐ } sintancos

xxx 2 2

11 tancosxx

III - Angles associés Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes :

cos sin2 sin cos2 x x x x cos( ) cos sin( ) sin x x x x cos( ) cos sin( ) sin x x x x cos sin2 sin cos2 x x x x cos( ) cos sin( ) sin x x x x

IV - Equations trigonométriques :

V - Formules d'addition et de duplication

Formules d'addition.

(a, b) ъ2, cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a - b) = sin a cos b - sin b cos a

Lorsque tan (a + b) existe,

tan(a + b) = tan a + tan b

1 - tan a tan b

Formules de duplication. On en déduit :

a ъ, sin(2a) = 2 sin a cos a cos(2a) = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin2 a a ъ, cos2 a = 1

2 (1 + cos(2a))

sin2 a = 1

2 (1 - cos(2a)) Lorsque cela a un sens, on a : tan(2a) = 2 tan a

1 - tan2 a

VI - Formule de Moïvre :

ъ, n т, (cos sin ) cos( ) sin( )ni n i n

2 - x 2 + x x - x - x + x - U U - U

PCSI2 - Fiche

N.Véron-LMB-sept 2013

VII- Transformation de produit en somme:

(a,b)², 1cos .cos cos( ) cos( )2 a b a b a b

1sin .sin cos( ) cos( )2 a b a b a b

1sin .cos sin( ) sin( )2 a b a b a b

VIII- Transformation de somme en produit:

(a,b)² cos cos 2cos( )cos( )2 2 a b a ba b sin sin 2cos( )sin( )2 2 a b a ba b cos cos 2sin( )sin( )2 2 a b a ba b sin sin 2sin( )cos( )2 2 a b a ba b

IX - Utilisation de l'angle moitié

a, 1 cos 2cos²( )2 aa et 1 cos 2sin²( )2 aa

Si a (2) alors t=tan( )2

a existe et on a cosa = 1 ²

1 ²

t t sina = 2

1 ²

t t et lorsque a 2 (), tana = 2

1 ²

t t

X - Transformation de acosx+bsinx

On pose Z = a+ib, et ² ² r a b , on a Z = rei et donc acosx + bsinx = r(coscosx + sinsinx) = rcos(x - )

Exemple: 1 1cos sin 2( cos sin ) 2cos( )42 2 x x x x x

XI - Linéarisation de cospa.sinqa:

On utilise les formules d'Euler : cos2

ia iae ea et sin2 ia iae eai

On remplace puis développe en utilisant la formule du binôme, enfin on regroupe les termes pour faire apparaître des cos(ka) et

sin(ka) grâce aux formules d'Euler.

Exemples :

3

31 3cos cos(3 ) cos2 4 4

ia iae ea a a et 3

31 3sin sin(3 ) sin2 4 4

ia iae ea a ai XII - Expression de cos(na) ou sin(na) en fonction de cosa et sina: On utilise la formule de Moïvre: (cosa+isina)n = cos(na)+isin(na)

On développe le membre de gauche en utilisant la formule du binôme puis on identifie les parties réelles et imaginaires.

Exemples: 3cos(3 ) 4cos 3cos a a a et 3sin(3 ) 4sin 3sin a a aquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

[PDF] valeur remarquable tangente

[PDF] valeurs remarquables trigonométrie démonstration

[PDF] valeurs remarquables arctan

[PDF] droite remarquable d'un triangle

[PDF] équation d'un cercle dans un repère orthonormé

[PDF] propriétés de 2 cercles sécants

[PDF] propriété fonction tangente

[PDF] chevalier du moyen age celebre

[PDF] seigneur qui reçoit l'hommage d'un autre seigneur

[PDF] cérémonie d'hommage moyen age

[PDF] cérémonie de l'hommage moyen age

[PDF] féodalité moyen age cm1

[PDF] territoire donné par un seigneur ? son vassal

[PDF] comment fonctionne le systeme feodal

[PDF] suzerain