[PDF] [PDF] Fonctions circulaires et applications r´eciproques

View - Download [PDF] Fonctions circulaires et applications r´eciproques

Previous PDF

Next PDF

Chapitre II

Fonctions circulaires et applications

r

´eciproquesA Fonctions circulaires

A.1 Rappels de trigonom

´etrie?Radians et cercle trigonom´etriqueLeradianest une unit´e de mesure d"angle (orient´e)

d´efinie par le fait que la mesure d"un angle plat est

πradians.

Un angle droit par exemple mesure±π2

radians. On appellecercle trigonom´etriquele cercle centr´e en l"origine de rayon 1. La circonf´erence de ce cercle mesure 2π.

Pour repr´esenter un angle dexradians, on

consid`ere un arc de cercle de longueurxorient´e dans lesens trigonom´etrique(i.e.dans le sens contraire des aiguilles d"une montre). 4 6 3 3 4 5 62
3 4- 6 3- 3 4- 5 6 2 30
2 2

2Chapitre II- Fonctions circulaires et applications r´eciproques?Les fonctions sinus, cosinus et tangenteLes fonctionscosinusetsinussont d´efinies surR,

`a valeurs dans [-1,1], 2π-p´eriodiques et d´erivables surRavec pour toutx?R cos ?x=-sinxet sin?x= cosx. La variablexd´esigne une mesure d"angle exprim´ee en radians. Par ailleurs, la fonction cosinus est paire et la fonc- tion sinus est impaire. On appellefonction tangentela fonction not´ee tan d´efinie surR\?π2 +πZ?par tanx=sinxcosx Il s"agit d"une fonction impaire,π-p´eriodique, in- finiment d´erivable surR\?π2 +πZ?et qui v´erifie pour toutx?? -π2 ,π2 tan ?(x) =1cos

2x= 1 + tan2x.x

cosx sinx tanx?Quelques valeurs remarquables des fonctions sinus, cosinus et tangentex0π 6π 4π 3π

22π33π45π6π

sinx01

2⎷2

2⎷3

21⎷3

2⎷2

21
20 cosx1⎷3

2⎷2

21
20- 12- ⎷2 2- ⎷3

2-1tanx01⎷31⎷3-

⎷3-1-

1⎷30

Beaucoup d"autres valeurs remarquables se retrouvent ais´ement `a partir de celles qui pr´ec`edent en

utilisant les relations entre sinus et cosinus (consulter le formulaire `a ce propos).?

´EquivalentsEn utilisant la d´efinition de la d´eriv´ee en un point, on v´erifie ais´ement que :

sinx≂0x ,cosx-1≂0-x22 et tanx≂0x.

A- Fonctions circulaires3

A.2 Variations de la fonction sinus

Puisque la fonction sinus est 2π-p´eriodique et impaire, il suffit de connaˆıtre ses variations sur l"intervalle

[0,π] pour en d´eduire ses variations surR.x0π2 sin0x= cosx1 + 0 1 sinx1 0 0 0 2

3222322

11 | | | |||||y= sinxA.3 Variations de la fonction cosinus

La fonction cosinus est 2π-p´eriodique et paire, il suffit donc de connaˆıtre ses variations sur l"intervalle

[0,π] pour en d´eduire ses variations surR. x0π2 cos0x= sinx0 1 0 cosx 1 1 0 0 2

3222322

11 | | | |||||y= cosx

4Chapitre II- Fonctions circulaires et applications r´eciproquesA.4 Variations de la fonction tangente

La fonction tangente estπ-p´eriodique et impaire, il suffit donc de connaˆıtre ses variations sur l"intervalle?0,π2

?pour en d´eduire ses variations sur son ensemble de d´efinition.

Pour toutx??0,π2

?, on a tan?x= 1 + tan2x >0 donc la fonction tangente est strictement croissante sur l"intervalle?0,π2 ?.x0π2 tan0x= 1 + tan2x1 + tanx+∞ 0 | | | ||||0π

4π2π

3π2-π2-π-3π21y= tanx

Il faut prendre garde au fait que la fonction tangente n"est pas globalement croissante puisqu"il s"agit

d"une fonction p´eriodique! B- Fonctions r´eciproques des fonctions circulaires5

B Fonctions r

´eciproques des fonctions circulairesB.1 La fonction arcsinus ?D´efinitionLa fonction sinus est continue surRet strictement croissante sur l"intervalle?-π2 ,π2 ?, elle r´ealise donc

une bijection de cet intervalle sur son image [-1,1] et on peut d´efinir son application r´eciproque.B.1.1 D´efinition

On appellefonction arcsinus, et on note

Arcsin : [-1,1]→?

-π2 ,π2

,x?→Arcsinx ,l"application r´eciproque de la restriction de la fonction sinus `a l"intervalle

-π2 ,π2 .B.1.2 Remarques ?Pour toutx?[-1,1], Arcsinxest la mesure d"anglecompriseentre-π2 etπ2 dont le sinus vautx.?Pour toutx?[-1,1], on a sin(Arcsinx) =x.?Pour toutx??-π2 ,π2 ?, on a Arcsin?sinx?=x.?

´Etude des variations de la fonction arcsinusLes variations de la fonction arcsinus sur l"intervalle

[-1,1] sont les mˆemes que celles de la fonction sinus sur l"intervalle?-π2 ,π2 ?.x-1 0 1

Arcsinx

2 -2 0

0 1-1π

2

2y= ArcsinxB.1.3 Proposition

La fonction arcsinus est d´erivable sur ]-1,1[ et on a pour toutx?]-1,1[

Arcsin

?(x) =1⎷1-x2.

6Chapitre II- Fonctions circulaires et applications r´eciproquesB.2 La fonction arccosinus

?D´efinitionLa fonction cosinus est continue surRet strictement d´ecroissante sur l"intervalle [0,π], elle r´ealise donc

une bijection de cet intervalle sur son image [-1,1] et on peut d´efinir son application r´eciproque.B.2.1 D´efinition

On appellefonction arccosinus, et on note

Arccos : [-1,1]→[0,π],x?→Arccosx ,l"application r´eciproque de la restriction de la fonction cosinus `a l"intervalle [0,π].B.2.2 Remarques

?Pour toutx?[-1,1], Arccosxest la mesure d"anglecompriseentre 0 etπdont le cosinus vautx.?Pour toutx?[-1,1], on a cos?Arccosx?=x.?Pour toutx?[0,π], on a Arccos?cosx?=x.?

´Etude des variations de la fonction arccosinusLes variations de la fonction arccosinus sur l"inter-

valle [-1,1] sont les mˆemes que celles de la fonction cosinus sur l"intervalle [0,π].x-1 0 1

Arccosx

0

20 1-1

2y= ArccosxB.2.3 Proposition

La fonction arccosinus est d´erivable sur ]-1,1[ et on a pour toutx?]-1,1[

Arccos

?(x) =-1⎷1-x2. B- Fonctions r´eciproques des fonctions circulaires7

B.3 La fonction arctangente

?D´efinitionLa fonction tangente est continue et strictement croissante sur ?-π2 ,π2 ?, elle r´ealise donc une bijection

de cet intervalle sur son imageRet on peut d´efinir son application r´eciproque.B.3.1 D´efinition

On appellefonction arctangente, et on note

Arctan :R→?

-π2 ,π2

,x?→Arctanx ,l"application r´eciproque de la restriction de la fonction tangente `a l"intervalle

-π2 ,π2 .B.3.2 Remarques ?Pour toutx?R, Arctanxest la mesure d"anglecompriseentre-π2 etπ2 dont la tangente vautx.?Pour toutx?R, on a tan?Arctanx?=x.?Pour toutx??-π2 ,π2 ?, on a Arctan?tanx?=x.?

´Etude des variations de la fonction arctangenteLes variations de la fonction arctangente surRsont les mˆemes que celles de la fonction tangente sur

l"intervalle?-π2 ,π2 ?.x-10 +1

Arctanx

2 -2

0-π20π

2y= ArctanxB.3.3 Proposition

La fonction arctangente est d´erivable surRet on a pour toutx?R

Arctan

?(x) =11 +x2.

8Chapitre II- Fonctions circulaires et applications r´eciproquesB.4 Deux relations remarquables entre les fonctions trigonom

´etriquesExercice

Pour toutx?[-1,1], on a :

Arcsinx+ Arccosx=π2

.Solution Soitx?[-1,1], on noteα= Arcsinxetβ= Arccosx, alors sinα= sin?Arcsinx?=x

cosβ= cos?Arccosx?=xOn a donc sinα= cosβd"o`u (c"est une formule de trigonom´etrie classique) sinα= sin?π2

-β?.La fonction Arcsin est `a valeurs dans ?-π2 ,π2 ?doncα??-π2 ,π2 ?.La fonction Arccos est `a valeurs dans [0,π] doncβ?[0,π], d"o`uπ2 -β??-π2 ,π2 ?.Ainsi, on a sinα= sin?π2 -β?alors queαetπ2 -βsont dans l"intervalle?-π2 ,π2 ?sur lequel lafonction sinus est bijective. Par cons´equentα=π2 -βi.e.α+β=π2 .Exercice

Arctanx+ Arctan1x

??π2 six >0 π2 six <0 SolutionPour toutx?= 0, on posef(x) = Arctanx+ Arctan1x .La fonctionfest d´erivable sur chacun des intervalles ]- ∞,0[ et ]0,+∞[ et on a f ?(x) = Arctan?(x) + Arctan??1x -1x 2? =11 +x2+11 + 1x

2×?

-1x 2?

= 0.Il s"ensuit que la fonctionfest constantesur chacun des intervallessur lesquels elle est d´efiniei.e.il existe une constantectelle que l"on aitf(x) =cpour toutx >0 et il existe une constantedtelleque l"on aitf(x) =dpour toutx <0.On af(1) = Arctan(1) + Arctan?11

?=π4 +π4 =π2 doncf(x) =π2 pour toutx >0.On af(-1) = Arctan(-1) + Arctan1-1=-π4 -π4 =-π2 doncf(x) =-π2 pour toutx <0.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

[PDF] droite remarquable d'un triangle

[PDF] équation d'un cercle dans un repère orthonormé

[PDF] propriétés de 2 cercles sécants

[PDF] propriété fonction tangente

[PDF] chevalier du moyen age celebre

[PDF] seigneur qui reçoit l'hommage d'un autre seigneur

[PDF] cérémonie d'hommage moyen age

[PDF] cérémonie de l'hommage moyen age

[PDF] féodalité moyen age cm1

[PDF] territoire donné par un seigneur ? son vassal

[PDF] comment fonctionne le systeme feodal

[PDF] suzerain

[PDF] maniere de s'adresser a un seigneur

[PDF] cérémonie de l'adoubement

[PDF] ordo du sacre 1250