Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan
Exercice 3.16: Déterminer l'équation d'un cercle tangent à Ox et passant par. A(-2 ; 1) et B(5 ; 8). Exercice 3.17: Déterminer les équations des cercles
GÉOMÉTRIE REPÉRÉE
Le point H projeté orthogonal de A sur la droite d
Chapitre8 : Cercles et sphères
D) Équation cartésienne. Soit ? un repère orthonormé du plan ?. Un point M(x y) appartient au cercle C de centre ?(x0
Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormée. Pour trouver le rayon du cercle on peut calculer la distance AM(0) par exemple.
Chapitre 1 : 2D Courbes Paramétrées et coordonnées polaires
forme un repère orthonormé direct local que l'on appelle base comobile. L'équation est celle d'un cercle de centre (1
Dans un repère (orlj)
y) est un point du cercle.
11 : DROITES ET CERCLES DANS UN REPÈRE : exercices - page 1
1 ) On considère la droite d1 d'équation x?7=0 . Donner les coordonnées d'un point A n'appartenant pas à d1 dont le projeté orthogonal de A sur d1 est le point
APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE
Equation de droite et équation de cercle. On se place dans un repère orthonormé O;i Une équation cartésienne du cercle C est alors : x ? 4.
Dans un repère orthonormal le cercle C a pour équation
le cercle C a pour équation : 2. 2. 2. 1 0 x y. x y. +. -. - + = . Déterminer son centre et son rayon. Exercice 2 : Dans un repère orthonormal (O;.
Trigonométrie circulaire
eix n'est autre que l'affixe du point M du cercle trigonométrique de coordonnées (cos(x) sin(x)) (le plan étant toujours rapporté à un repère orthonormé direct)
[PDF] Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan
Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan § 3 1 Les deux formes d'équations de cercle • La forme “centre et rayon” Soit ? un cercle de centre C(?
[PDF] Etude analytique du cercle - AlloSchool
Dans tout ce qui va suivre le plan ( ) est rapporté à un repère ( ); ; Oi j orthonormé I) EQUATION D'UN CERCLE Définition :Soient ? un point et un réel
[PDF] [PDF] t°s équation cartésienne du plan - cercle - Monsieur CHAPON
Propriété : dans un repère orthonormal du plan le cercle de centre I (xI ; yI ) et de rayon R a pour équation cartésienne : (x?xI )2+( y?yI )2=R2 Remarque
[PDF] Dans un repère orthonormal le cercle C a pour équation - BDRP
1) Démontrer que A B C D sont sur un même cercle C 2) Déterminer une équation de ce cercle C 3) Démontrer que le cercle C est tangent à la droite ( )
[PDF] Chapitre8 : Cercles et sphères - Melusine
D) Équation cartésienne Soit ? un repère orthonormé du plan ? Un point M(x y) appartient au cercle C de centre ?(x0y0) et de rayon R si et seulement
[PDF] Nombres complexes homographies 1 Équations de droites et de
Dans ce problème on considère le plan affine euclidien P muni d'un repère orthonormé (0 i j) 1 Équations de droites et de cercles dans C
[PDF] Chapitre 13 - Equation cartésienne de droites et de cercles
13 1 2 Vecteur normal et équation de droite Dans un repère orthonormé il est possible de retrouver des équations cartésiennes de droites à
[PDF] Équation de cercle :
Dans un repère orthonormé ( ); ; Oi j ? ? du plan on considère l'ensemble ? d'équation : x2 + y2 - 2x -10y +17 = 0 Démontrer que l'ensemble ? est un cercle
[PDF] 11 : DROITES ET CERCLES DANS UN REPÈRE : exercices - page 1
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;?i ?j ) Droites 3 ) Donner un vecteur normal à la droite d'équation 2 x?5 y+3=0
[PDF] GÉOMÉTRIE REPÉRÉE - maths et tiques
Dans tout le chapitre on se place dans un repère orthonormé ( ; ? ?) du Méthode : Déterminer une équation de droite à partir d'un point et d'un
![[PDF] GÉOMÉTRIE REPÉRÉE - maths et tiques](https://pdfprof.com/Listes/17/28185-1719RepM.pdf.pdf.jpg "[PDF] GÉOMÉTRIE REPÉRÉE - maths et tiques")
1 GÉOMÉTRIE REPÉRÉE
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/EehP4SFpo5c Dans tout le chapitre, on se place dans un repère orthonormé du plan.Partie 1 : Rappels
Rappels du cours de 2de en vidéo : https://youtu.be/d-rUnClmcCYPropriétés :
Un vecteur directeur d'une droite d'équation cartésienne ++=0 est ⃗3
5. et ⃗9 sont colinéaires si et seulement si '-'=0.
Dire que deux droites sont parallèles équivaut à dire qu'elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Soit deux points 35 et 3
5. La distance (ou la norme de ) est : = > Les coordonnées du milieu du segment [] sont : ?Méthode : Déterminer une équation de droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur (1)
Vidéo https://youtu.be/NosYmlLLFB4
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point 3 3 15 et de vecteur
directeur ⃗3 -1 5 5.Correction
La droite admet une équation cartésienne de la forme ++=0.
• Comme ⃗ 3 -1 55 est un vecteur directeur de , on a : 3
-1 5 5=3 5Soit =5 et =1.
Une équation de est donc de la forme 5+1+=0. • Pour déterminer , il suffit de substituer les coordonnées 3 3 15 de dans l'équation :
5×3+1×1+=0
15+1+=0
16+=0
=-16 Une équation de est donc 5+-16=0. 2Remarque
Une autre méthode consiste à utiliser la colinéarité :Soit un point 3
5 de la droite .
Comme le point appartient également à , les vecteurs -3 -19 et ⃗3
-1 55 sont
colinéaires, soit : 5 -3 -1 -1 =0.Soit encore : 5+-16=0.
Une équation cartésienne de est : 5+-16=0.Méthode : Déterminer une équation de droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur (2)
Vidéo https://youtu.be/i5WD8IZdEqk
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par les points 3 5 35 et 3
1 -3 5.Correction
et appartiennent à donc est un vecteur directeur de .On a :
3 1-5 -3-3 5=3 -4 -6 5=35. Donc =-6 et =4.
Une équation cartésienne de est de la forme : -6+4+=0. 3 5 35 appartient à donc : -6×5+4×3+=0 donc =18.
Une équation cartésienne de est : -6+4+18=0 ou encore -3+2+9=0.Tracer une droite dans un repère :
Vidéo https://youtu.be/EchUv2cGtzo
Partie 2 : Vecteur normal à une droite
Définition : Soit une droite .
On appelle vecteur normal à la droite , un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de . ⃗ est le vecteur directeur ⃗ est le vecteur normal 3 Propriété : - Une droite de vecteur normal ⃗35 admet une équation cartésienne de la
forme ++=0 où est un nombre réel à déterminer.- Réciproquement, la droite d'équation cartésienne ++=0 admet le vecteur ⃗3
5 pour vecteur normal.Démonstration :
- Soit un point 35 de la droite.
35 est un point de la droite si et seulement si
35 et ⃗3
5 sont orthogonaux.
Soit :
.⃗=0Soit encore :
=0 =0.- Si ++=0 est une équation cartésienne de la droite alors ⃗3
5 est un vecteur
directeur de la droite.Le vecteur ⃗3
5 vérifie : -×+×=0 . Donc les vecteurs ⃗ et ⃗ sont orthogonaux.
Exemple :
Soit la droite d'équation cartésienne 2-3-6=0. Un vecteur normal de la droite est ⃗3 2 -3 5. Un vecteur directeur de la droite est : ⃗3 3 2 5.On vérifie que ⃗ et ⃗ sont orthogonaux : ⃗.⃗=2×3+
-3×2=0
Méthode : Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normalVidéo https://youtu.be/oR5QoWCiDIo
On considère la droite passant par le point 3 -5 45 et dont un vecteur normal est le
vecteur ⃗3 3 -1 5. Déterminer une équation cartésienne de la droite .Correction
Comme ⃗3 3 -15 est un vecteur normal de , une équation cartésienne de est de la
forme 3-+=0 Le point 3 -5 45 appartient à la droite , donc : 3×
-5 -4+=0 et donc : =19. Une équation cartésienne de est : 3-+19=0. 4 Méthode : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droiteVidéo https://youtu.be/-HNUbyU72Pc
Soit la droite d'équation +3-4=0 et le point de coordonnées 3 2 4 5.Déterminer les coordonnées du point , projeté orthogonal de sur la droite .
Correction
- On commence par déterminer une équation de la droite () : Comme et () sont perpendiculaires, un vecteur directeur de est un vecteur normal de (). Une équation cartésienne de est +3-4=0, donc le vecteur ⃗3 -3 15 est un vecteur directeur de .
Et donc ⃗3
-3 15 est un vecteur normal de ().
Une équation de () est de la forme : -3++=0.Or, le point 3
2 45appartient à (), donc ses
coordonnées vérifient l'équation de la droite.On a : -3×2+4+=0 soit =2.
Une équation de () est donc : -3++2=0. - est le point d'intersection de et (), donc ses coordonnées 35 vérifient les
équations des deux droites. Résolvons alors le système : +3-4=0 -3++2=0 =-3+4 -3 -3+4 ++2=0 =-3+49-12++2=0
=-3+410-10=0
Q =-3+4 10 10 =1 =-3×1+4=1 =1 Le point , projeté orthogonal de sur la droite , a pour coordonnées 3 1 1 5. 5Partie 3 : Équations de cercle
Propriété : Une équation du cercle de centre 35 et de rayon est :
Éléments de démonstration :
Tout point
appartient au cercle de centre et de rayon si et seulementExemple :
Le cercle de de centre 3
3 -15 et de rayon 5 a pour équation :
-3 +1 =25 Méthode : Déterminer une équation d'un cercleVidéo https://youtu.be/Nr4Fcr-GhXM
On considère le cercle de centre 3
4 -15 et passant par le point 3
3 5 5.Déterminer une équation du cercle.
Correction
Le cercle a pour centre le point 3 4 -15 donc une équation du cercle est de la forme :
-4 -(-1) -4 +1 On détermine le carré du rayon du cercle à l'aide de la formule de la distance : 3-4 +5- -1 T -1 +6 =37 Une équation cartésienne du cercle est alors : -4 +1 =37. Méthode : Déterminer les caractéristiques d'un cercleVidéo https://youtu.be/nNidpOAhLE8
L'équation
-2-10+17=0 est-elle une équation de cercle ? Si oui, déterminer son centre et son rayon.Correction
-2-10+17=0 -2 -10 +17=0 -2+1 -1+ -10+25 -25+17=0 -1 -1+ -5 -25+17=0 -1 -5 =9 ← car -2 est le début du développement de -1 et -1 -2+1 6 -1 -5 =3 Il s'agit d'une équation du cercle de centre 3 1 55 et de rayon 3.
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