Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan
Exercice 3.16: Déterminer l'équation d'un cercle tangent à Ox et passant par. A(-2 ; 1) et B(5 ; 8). Exercice 3.17: Déterminer les équations des cercles
GÉOMÉTRIE REPÉRÉE
Le point H projeté orthogonal de A sur la droite d
Chapitre8 : Cercles et sphères
D) Équation cartésienne. Soit ? un repère orthonormé du plan ?. Un point M(x y) appartient au cercle C de centre ?(x0
Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormée. Pour trouver le rayon du cercle on peut calculer la distance AM(0) par exemple.
Chapitre 1 : 2D Courbes Paramétrées et coordonnées polaires
forme un repère orthonormé direct local que l'on appelle base comobile. L'équation est celle d'un cercle de centre (1
Dans un repère (orlj)
y) est un point du cercle.
11 : DROITES ET CERCLES DANS UN REPÈRE : exercices - page 1
1 ) On considère la droite d1 d'équation x?7=0 . Donner les coordonnées d'un point A n'appartenant pas à d1 dont le projeté orthogonal de A sur d1 est le point
APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE
Equation de droite et équation de cercle. On se place dans un repère orthonormé O;i Une équation cartésienne du cercle C est alors : x ? 4.
Dans un repère orthonormal le cercle C a pour équation
le cercle C a pour équation : 2. 2. 2. 1 0 x y. x y. +. -. - + = . Déterminer son centre et son rayon. Exercice 2 : Dans un repère orthonormal (O;.
Trigonométrie circulaire
eix n'est autre que l'affixe du point M du cercle trigonométrique de coordonnées (cos(x) sin(x)) (le plan étant toujours rapporté à un repère orthonormé direct)
[PDF] Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan
Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan § 3 1 Les deux formes d'équations de cercle • La forme “centre et rayon” Soit ? un cercle de centre C(?
[PDF] Etude analytique du cercle - AlloSchool
Dans tout ce qui va suivre le plan ( ) est rapporté à un repère ( ); ; Oi j orthonormé I) EQUATION D'UN CERCLE Définition :Soient ? un point et un réel
[PDF] [PDF] t°s équation cartésienne du plan - cercle - Monsieur CHAPON
Propriété : dans un repère orthonormal du plan le cercle de centre I (xI ; yI ) et de rayon R a pour équation cartésienne : (x?xI )2+( y?yI )2=R2 Remarque
[PDF] Dans un repère orthonormal le cercle C a pour équation - BDRP
1) Démontrer que A B C D sont sur un même cercle C 2) Déterminer une équation de ce cercle C 3) Démontrer que le cercle C est tangent à la droite ( )
[PDF] Chapitre8 : Cercles et sphères - Melusine
D) Équation cartésienne Soit ? un repère orthonormé du plan ? Un point M(x y) appartient au cercle C de centre ?(x0y0) et de rayon R si et seulement
[PDF] Nombres complexes homographies 1 Équations de droites et de
Dans ce problème on considère le plan affine euclidien P muni d'un repère orthonormé (0 i j) 1 Équations de droites et de cercles dans C
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13 1 2 Vecteur normal et équation de droite Dans un repère orthonormé il est possible de retrouver des équations cartésiennes de droites à
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Dans un repère orthonormé ( ); ; Oi j ? ? du plan on considère l'ensemble ? d'équation : x2 + y2 - 2x -10y +17 = 0 Démontrer que l'ensemble ? est un cercle
[PDF] 11 : DROITES ET CERCLES DANS UN REPÈRE : exercices - page 1
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;?i ?j ) Droites 3 ) Donner un vecteur normal à la droite d'équation 2 x?5 y+3=0
[PDF] GÉOMÉTRIE REPÉRÉE - maths et tiques
Dans tout le chapitre on se place dans un repère orthonormé ( ; ? ?) du Méthode : Déterminer une équation de droite à partir d'un point et d'un
![Chapitre 1 : 2D Courbes Paramétrées et coordonnées polaires Chapitre 1 : 2D Courbes Paramétrées et coordonnées polaires](https://pdfprof.com/Listes/17/28185-17polaires.pdf.pdf.jpg)
Chapitre 1 : 2D
Courbes Paramétrées et coordonnées polairesPartie 2 : Courbes polaires
Un système de coordonnées représente un point du plan par un couple de nombres (réels en général) appelés coordonnées.Systèmes de coordonnées dans un plan
Habituellement, on utilise des
coordonnées cartésiennes qui correspondent à des projections sur des axes perpendiculaires.On peut également utiliser un système de
coordonnées introduit par Newton, appelé système de coordonnées polaires.Pole et axe polaire
origine). Ontraceunrayon(demi-droite) partant deO, on l'appelle adže polaire. Cet axe est généralement tracé horizontalement vers la droite et correspond ă l'adže des abscisses (x) en coordonnéesCartésiennes.
O poleaxe polaireCoordonnées polaires
SiPestunpoint duplan(тO), soient :
rladistance deO àP.
radians) entrel'adže polaireetlaligne OP.SiP =O, alorsr =0, onconvient que
(0, ș) representelepole pourtoute valeurdeș.P estreprésentéparlecouple(r,ș).
r,șsontappeléscoordonnées polairesdeP. On étend la définition des coordonnées polaires(r,ș)au cas oùrest On convientque les points (-r,ș)et(r,ș)sont sur la même droite (radiale) passant par Oet à lamêmedistance | r | deO,maissur les côtés opposéspar rapport àO. Sir> 0, le point(r, ș) se trouve dansle mêmequadrant queș. Sir< 0,ilse trouvedansle quadrant situé du côtéopposépar rapport au pole.Notonsque(r, ș)
représentele même point que(r, ș+ ʌ).Coordonnées polaires
Exercice
Tracerlespoints de coordonnéespolaires:
a.(1, 5ʌ/4) b.(2, 3ʌ) c.(2, 2ʌ/3) d.(3, 3ʌ/4)Solution
Le point (1, 5ʌ/4) :
Le point (2, 3ʌ):
Le point (2, 2ʌ/3) :
Le point (3, 3ʌ/4) :
Il estsituédansle 4èmequadrant.
angle 3ʌ/4 estdansle secondquadrant
etrestnégatif.CARTÉSIENNES ET POLAIRES
En coordonnéesCartésiennes,chaquepointaune
représentationunique. Alorsque, encoordonnéespolaires,chaquepointa une infinité dereprésentations. Par exemple, le point (1, 5ʌ/4) deexercice précédentpeut : (1, 3ʌ/4), (1, 13ʌ/4), or(1, ʌ/4). Unpointde coordonnéespolaires(r, ș) (r, ș+ 2nʌ) et(-r, ș+ (2n + 1)ʌ)oùnestunentierrelatif quelconque. Lepassage descoordonnées polairesauxCartésiennesLe pole correspond àorigine.
polairecoincide avecdes abscisses positives.
Sile point P a pour coordonnées
polaires (r, ș), sescoordonnéesCartésiennes(x, y) sont :
cos sin xr yr TCARTÉSIENNES ET POLAIRES
Pour trouverretșquandx etysont connus,onutilise leséquations:
Elle sont déduitesdeséquations
précédentesousimplement"lues» sur lafigure.2 2 2tanyr x yx
CARTÉSIENNES ET POLAIRES
Exercices
1.Convertirles coordonnées polaires dupoint (2, ʌ/3) en
coordonnées Cartésiennes.2.Représenterle point decoordonnées Cartésiennes(1, 1)
en termes de coordonnéespolaires.Solution 1
Puisquer= 2etș= ʌ/3,
Donc,le point est(1, ) en coordonnées Cartésiennes.1cos 2cos 2 1323sin 2sin 2. 332
xr yr T ST 3Solution 2
Sionchoisitr> 0:
Commele point (1, 1) se trouve dansle 4èmequadrant, onpeutchoisirș= ʌ/4ouș= 7ʌ/4.Aussi,uneréponsepossible est: ( , ʌ/4)
Uneautreréponsepossible est: ( ,7ʌ/4)
2 2 2 21 ( 1) 2
tan 1 r x y y x 22Base comobile
Le vecteur position du point M dans R: OMest souvent noté r, on noteurle vecteur unitaire de même direction: r= rur= r (cosux+ sinuy), uvecteur unitaire orthogonal à ur(sens direct). (M, ur, u) forme un repère orthonormé direct comobile. u= cos(+/2) ux+ sin(+/2) uy= -sinux+ cosuy On voit facilement, en dérivant les coordonnées de uret upar rapport à que : ORepère O, et de base
orthonormée directe (ux, uy). Le point Oest le pole et O,ux coordonnées polaires.Les coordonnées cartésiennes xet yen
fonction des coordonnées polaires ret ș:Courbespolaires
r= f(ș) [ou, plus généralement,F(r, ș
moins une représentation polaire (r, ș), dont les coordonnées r =2 ?cette courbe est constituée de tous les
points (r, ș) avec r = 2.r représente la distance du point
au pole.Donc, la courbe r = 2 est le cercle de
centre O et rayon 2.En général, équation r = areprésente
un cercle de centre O et rayon |a|.Exercice
Tracer la courbe polaire ș= 1.
Solution
Cettecourbe est constituéedetous lespoints (r, ș) tells que polaireșsoit1 radian. ladroitepassantparO et faisantun angle de1radian avec polaire.Notonsque :
Lespoints (r, 1) de
cettedroiteavecr> 0 sont dansle 1erquadrant.Les points (r, 1) avec r< 0 sont
dansle 3èmequadrant.Exercice
a.Tracerlacourbe polairer= 2 cos ș. b.Trouver une équationCartésiennedecettecourbe.Solution :
Pour commencer,nousindiquonslesvaleurs derpour certaines valeurs deș.On traceles pointscorrespondantpour (r, ș).
Puis, on jointcespoints pourtracerla
courbecommesuit.La courberessembleà un cercle.
On a seulementutilisé les valeurs deșcomprises entre0 et ʌsionlaisseșcroître au-delà deʌ, onretrouvelesmêmes points.La courbesembleêtreun cercle.
Pourconvertirpolaire enCartésienne, onutilise:
x= rcos ș,donccos ș= x/r.
quation r= 2 cos șdevientr= 2x/r.
Ce qui donne: 2x =r2= x2+ y2oux2+ y2 2x= 0
En complétantlecarré, onobtiend: (x 1)2+y2=1estcellecercle decentre(1, 0) et derayon1.
La figure montre que le cercle a
quationr =2 cosș.angle OPQestun angle
droit, doncr/2 =cos ș.Symétrie
Quandontrace une courbepolaire, ilest
quelquefoiscommode de tirer parti des symétries.Sipolaireestinvariante
lorsqueșestremplacéparș, lacourbe estsymétriquepar rapportpolaire.Lacourbeprécedentestsymétriquepar
polaire, puisquecos(ș)=cos ș. Cette propriété desymétrieaurait pu êtreutiliséepour tracerlacourbe. On a juste besoin de placer les points pour0 șʌ/2 et ensuite de faire une réflexion polaire pourobtenirle cerclecomplet.Autressymétries
Siéquation estinvariantelorsquerest
remplacéparr, ou quandșestremplacé parș+ ʌ, lacourbe estsymétriquepar rapportaupole.Ceci veut dire que lacourbe estinvariante
parrotationorigine.Siéquation estinvariantequandșest
remplacéparʌș, lacourbe est symétriquepar rapport à laverticaleș= ʌ/2.Exemple : parabole
Comme sinș= sin(ʌș), lacourbe estsymétriquepar rapport à la verticaleș= ʌ/2. Les valeursprisespar rsont:Cecicorrespond à la courbetracéeau dessus
(paraboleverticale).On le vérifieenpassant à cartésienne.
O r 01 /2 13/21/2
r(1 sin) =1, donc : r=1 + rsin En élevant au carré on a : r2=(1 + rsinsoit : x2+ y2= (1 + y) Après développement : x2+ y2=1 +2y+ yon voit que : x2=1 +2y= 2(1/2 + y) y sommet Sde la parabole. Si on note Y= yY= x2/2
Onretrouvedelaparabole.
SExercice
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