[PDF] RELATIONS FONCTIONNELLES Partie A : Proportionnalité I

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Université d'Angers : L3SENrelations fonctionnelles p. 1

RELATIONS FONCTIONNELLES

Partie A : Proportionnalité

I Généralités

1/ Définition :

Soient deux suites de nombres réels : (x1 ;x2 ;x3 ;x4) et (y1 ;y2 ;y3 ;y4). Ces deux suites sont

proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant par le même coefficient k dit de

proportionnalité. Remarque : On est conduit fréquemment à construire un tableau dit de proportionnalité

Remarque : Une application qui fait passer d'un nombre x à a´x s'appelle une application linéaire. On

note f : x

® a´x ou f(x)=a´x

Exemple 1: Les tableaux suivants sont-ils de proportionnalité ? x30,55x630 y1,50,252,5y850 Méthode : Vérifier que les quotients sont égaux dans toutes les colonnes.

2/ Propriétés

a/ linéarité :

Règle 1 : Quand deux grandeurs sont proportionnelles, si on multiplie une des grandeurs par un nombre

alors il faut multiplier l'autre par le même nombre: f(λ ´ xi) = λ ´ f(xi) x1x2812 y1y3630

Règle 2 : Quand deux grandeurs sont proportionnelles, si on additionne deux termes de la première

grandeur alors il faut additionner les deux termes de la deuxième grandeur f( x1+ x2) = f( x1)+f(x2) x1x2x30,23,26,2 y1y2y90,68,4 b/ Produit en croix (quatrième proportionnelle) Soit un tableau de proportionnalité avec a,b,c et d non nuls: ac bd

On en déduit les égalités suivantes :

Université d'Angers : L3SENrelations fonctionnelles p. 2

Application 1 : Déterminer la quatrième proportionnelle dans les tableaux de proportionnalité suivants :

12888

9122175

c/ Représentation graphique

Propriété : Un tableau de proportionnalité est représenté graphiquement par une droite passant par

l'origine.

II/ Applications de la proportionnalité

1/ Vitesse et Débit

a/ Vitesseb/ Débit

La vitesse (moyenne) est le coefficient de

proportionnalité entre le temps et la distance. v=d=t= avec v (vitesse), d (distance) t (temps)

Attention aux unités !

Exemple : Paradoxe de la vitesse

a. Antoine et Paul parcourent à bicyclette le trajet entre Angers et Segré, soit 40 km, en 1h20.

Quelle est la vitesse moyenne ?

b. Antoine effectue le retour à une vitesse de 15km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'aller et le

retour?

2/ échelle

L'échelle est le coefficient de proportionnalité entre la dimension réelle et la dimension de la carte (ou de

la maquette, ou de la photo)

Echelle = dimension⋅reproduite

dimension⋅réelle (avec les dimensions dans la même unité!)

Exercice :

a. Sur une carte à l'échelle 1/25 000, 2 villes sont séparées de 12,5 cm. Quelle est la distance réelle entre

ces 2 villes en km. b. Les dimensions d'un stade rectangulaire sont 120 m et 50 m. Quelles sont les dimensions obtenues pour une maquette à l'échelle 1/400. Université d'Angers : L3SENrelations fonctionnelles p. 3

3/ Partage proportionnel et inversement proportionnel

Partage proportionnel

Soit une somme S=1500 euros. Si cette somme est partagée entre 3 personnes proportionnellement à 1, 3

et 4, on obtient respectivement pour chaque personne :

Partage inversement proportionnel On souhaite répartir une prime de 1650 euros à 3 employés

inversement proportionnellement au nombre de jours d'absence : 2 5 et 8.

4/ Double proportionnalité

Exemple : Pour construire un parking de 500 m² avec 4 employés, il faut 5 jours. Combien faut-il de

jours pour construire un parking de 200 m² avec 2 employés ?

5/ Pourcentage

a. Appliquer un pourcentage t : t

100 ´ x

Calculer un pourcentage t% d'une grandeur x revient à calculer : 1

100 ´ x

Exemple 1 : 50% de 230 =300% de 10 =

Exemple 2 : Une population est passée à 13 800 habitants après une augmentation de 15%. Quel est le

nombre d'habitants initial? b. Déterminer un pourcentage

Pour calculer ce que représente en pourcentage une grandeur y par rapport à une grandeur x revient à

calculer : ´ 100.

Exemple 1 : Sur 400 personnes, 15 sont étrangères. Quel est le pourcentage de personnes étrangères ?

Université d'Angers : L3SENrelations fonctionnelles p. 4 c.Calculer une grandeur après une augmentation de t% : (1 + t

100) ´ x

Règle : Calculer une grandeur après une augmentation de t% revient à calculer : (1+ t

100 ) ´ x

d.Calculer une grandeur après une diminution de t% : (1 - t

100) ´ x

Règle : Calculer une grandeur après une augmentation de t% revient à calculer : (1+ t

100 ) ´ x

Exemple : Le tableau suivant traduit une augmentation ou une diminution par a ´ x. Déterminer le

pourcentage d'augmentation ou de diminution correspondant: a ´ x ↑ ou ↓ de t%a ´ x ↑ ou ↓ de t%

1,052 ´ xaugmentation de 15 %

0.97 ´ xdiminution de 27 %

1.23 ´ x↑ de 50 % puis ↓ de 50%

3 ´ x↑ de 20 % puis ↑ de 30%

Partie C : Fonctions affines

1/ Fonctions affines

Définition : Soient a et b deux réels donnés. Lorsqu'à chaque réel x, on associe le réel ax + b, on définit

une fonction affine f et on note f(x) = ax + b. · Lorsque b = 0, la fonction est dite linéaire, comme par exemple, f(x) = -3x.

· Lorsque a = 0, la fonction est dite constante, comme par exemple, f(x) = 3, pour tout réel x.

Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction affine f : x  ax + b est une droite. On dit que cette droite a pour équation y = ax + b et que a est son coefficient directeur, b son ordonnée à l'origine.

Cette droite passe par le point P(0 ; b).

· Dans le cas d'une fonction linéaire x  ax, l'image y est proportionnelle à la variable x.

· Dans le cas d'une fonction affine x  ax+b , les variations de la réponse y sont proportionnelles aux

variations de la variable x. Propriété Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b.

Alors, pour tous u et v tels que u ¹ v, = a.

Ce rapport est appelé taux de variation de f entre u et v. Ce rapport est également égal au coefficient de

proportionnalité reliant les variations de x à celle de y. O1 1 P A 1 ay = ax + b 0 1

1Université d'Angers : L3SENrelations fonctionnelles p. 5

Exemple : Retrouver graphiquement les fonctions affines représentées ci-dessous. x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 1 2 3

4 x -4 2

f(x) -1 2 x y -2 -1 0 1 2 3 -1 1 2 3 4 x 0 2 l(x) 0 4 x y -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -1 1 g(x) 5 -1 Exercice : Dans un repère, les points A et B ont pour coordonnées (-4 ; -1) et (2 ; 2). Quelle est la fonction affine représentée par la droite (AB) ?

2°) Fonctions affines par morceaux

définition :Une fonction est dite affine par morceaux si elle est définie sur une réunion d'intervalles sur

lesquels elle coïncide avec une fonction affine.

Remarque : La courbe représentative d'une fonction affine par morceaux est donc composée de segments

et de demi-droites. exemple : f (x) = 33
3252
21
xpourx xpourx xpourxpour x £ 2 : x-32 y-21 pour 2 < x £ 3 : x23 y1-1 pour x > 3 : x36 y03

3°) Interpolation linéaire

Principe : On suppose qu'on connaît la valeur d'une fonction pour 2 valeurs de x. On estime alors la

valeur de la fonction pour les valeurs intermédiaires en supposant que la fonction est affine. Université d'Angers : L3SENrelations fonctionnelles p. 6

exemple : Le tableau suivant indique les températures relevées toutes les 4 heures dans une ville au cours

d'une journée : heure t0h4h8h12h16h20h24h température T5°3°8°10°15°9°6°

Dans un repère du plan, l'axe des

abscisses représente le temps (0,5 cm pour 1h) et l'axe des ordonnées représente la température T (0,5 cm pour 1°).

Le tableau ne nous donne pas les

températures en dehors des valeurs mesurées. Pour estimer ces valeurs, on fait une interpolation linéaire. a) à l'aide du graphique, donnez une estimation de la température à 13 h0 t (en h)

T (en °C)

4812162024

5

13b) On va retrouver cette valeur par le calcul :

méthode :

4/ Régionnement du plan

La droite (d) d'équation ax + by = c partage le plan en deux demi-plans :

·Un demi-plan fermé P1 contenant la droite (d), qui est l'ensemble des points M(x ;y) tels que : ax +

by = c ³ 0 ;

·Un demi-plan fermé P2 contenant la droite (d), qui est l'ensemble des points M(x ;y) tels que : ax +

by = c £ 0 ; La droite (d) est appelée droite frontière des demi-plans P1 et P2. Si les inégalités sont strictes (< ou >), les demi-plans ne contiennent pas la droite (d). Pour distinguer les deux demi-plans, on calcule la valeur de ax + by pour les coordonnées d'un point qui n'est pas sur la droite (d), l'origine O(0 ;0) du repère par exemple lorsque c'est possible. On regarde ensuite si cette valeur vérifie bien l'inéquation du demi-plan. On peut aussi revenir à l'équation sous réduite. Systèmes d'inéquations : application à la programmation linéaire

Résoudre un système de deux (ou plusieurs) inéquations à deux inconnues x et y signifie déterminer

l'ensemble des points M(x ;y) dont les coordonnées vérifient simultanément toutes les inéquations du

système.

Dans la pratique, après avoir déterminé les demi-plans définis par chaque inéquation du système, la partie

solution est la partie qui reste non hachurée. La partie non hachurée est alors la partie solution.

Université d'Angers : L3SENrelations fonctionnelles p. 7

Exemple : À l'approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des oeufs en

chocolat. En allant inspecter ses réserves, il constate qu'il lui reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14

kg de lait. Il a deux spécialités : l'oeuf Extra et l'oeuf Sublime. Un oeuf Extra nécessite 1 kg de cacao, 1

kg de noisettes et 2 kg de lait. Un oeuf Sublime nécessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 kg de lait.

Il fera un profit de 20 € en vendant un oeuf Extra, et de 30 € en vendant un oeuf Sublime.

Combien d'oeufs Extra et Sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice possible ?

Résolution :

•Poser les inconnues du problème •Déterminer les contraintes sur ces inconnues (inégalités) •Déterminer graphiquement l'ensemble des solutions par régionnement du plan.

•Déterminer la fonction bénéfice ou coût en fonction des variables et représenter les solutions

possibles pour une valeur de bénéfice fixe. •Trouver la solution optimale.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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