[PDF] - MODELISATION DUN MECANISME - LOIS ENTREE-SORTIE PAS

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Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Page 1/6 23/01/2012 - MODELISATION D'UN MECANISME -

LOIS ENTREE-SORTIE EN POSITION

ET EN VITESSE

LOIS ENTREE-SORTIE PAS FERMETURE GEOMETRIQUE

Exercice 1 : MICROMOTEUR DE MODÉLISME

Question 1 : Donner le paramètre d'entrée et le paramètre de sortie du dispositif de transformation de mouvement.

Paramètre d'entrée :

()xt (position linéaire du piston 3 par rapport au bâti 0)

Paramètre de sortie :

()t (position angulaire du vilebrequin 1 par rapport au bâti 0) Question 2 : Déterminer, à l'aide d'une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position

()xf du dispositif de transformation de mouvement.

Fermeture géométrique :

0OO OA AB BO

G

Donc :

120

0ex Lx xx

Or

100200

cos sin cos sinxxyetx xy L'équation vectorielle obtenue par fermeture géométrique permet d'obtenir les équations scalaires suivantes :

En projection sur

0 .cos .cos 0 (1)xe L X

En projection sur

0 .sin .sin 0 (2)ye L

On cherche une loi entrée-sortie de type

()xf, il faut donc éliminer (paramètre intermédiaire) de ces deux relations... Pour cela, à partir des deux relations obtenues, on : - isole les cosinus et sinus du paramètre angulaire dont on veut se débarrasser ; - on élève au carré ; - on utilise la relation de trigonométrie 22
cos sin 1 .

Ce qui nous donne dans notre cas :

(1) cos cos (2) .sin .sinLXe Le

222222 222

(1) (2) cos .sin ( cos ) .sinLLXee

Donc :

222 2 222

.sin ( cos ) .sin ( cos )Le Xe Le Xe ( car Le)

Ce qui nous donne :

222
cos .sinXe L e (car 0X est toujours )

Question 3 : Retrouver ce résultat à l'aide du théorème d'Al-Kashi (Pythagore généralisé).

Théorème d'Al-Kashi :

Corrigé TD 16 - Lois entrée-sortie en position et en vitesse CPGE 1

ère

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22 2

2cosLeX eX

222

02cosXeX e L

22 22

4cos4( )0eeL ( car Le)

Donc :

22 22

2cos 4 cos 4( )

2ee eLX

22 22
cos cos ( )Xe e e L (car 0X est toujours ) Or :

2 2 22 2 2 2 222

cos sin cos sineeeeee

Donc :

2 cosXe e 22 2
sin (ee 2222
)cos .sinLXe Le

On retrouve bien la même loi entrée-sortie.

Question 4 : Déterminer la cylindrée du micromoteur. 22 3

1, 2 2, 2 9, 9 5

piston piston

Cyl S c R c cm

Question 5 : Déterminer, à l'aide du résultat de la question Q2, la loi entrée-sortie en vitesse

(,)xf . En déduire le vecteur vitesse 3/0B V en fonction de ,,Lete.

En dérivant la loi entrée- sortie en position, on obtient une loi entrée-sortie en vitesse :

2 222

2cossin(sin )

2.sine

Xe Le

Rappel :

1 nn unuu

Or on sait que

3/0 0B

VXx

Donc :

2 3/0 0 222
cos sin(sin ) .sin B eVe x Le

Exercice 2 : POMPE À PALETTES

Question 1 : Dessiner le graphe des liaisons de ce système. 3 1

2 Pivot d'axe

)z,O( 12

Glissière de

direction 2 x Linéaire rectiligne de ligne de contact )z,E( 1 et de normale ? Question 2 : Donner le paramètre d'entrée et le paramètre de sortie du système. Paramètre d'entrée : position angulaire du barillet 2 par rapport au corps 1 : Paramètre de sortie : position linéaire de la palette 3 par rapport au barillet 2 : Corrigé TD 16 - Lois entrée-sortie en position et en vitesse CPGE 1

ère

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Question 3 : Déterminer, à l'aide d'une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position

()f de la pompe à palettes.

Par fermeture géométrique :

12 2 1

0OO O D DE EO

0EOx.y.dx.e

1221
or on sait que REO 1 Donc

122 1 2 2 22

... .(cos.sin.)..ex dy x EO R e x y dy x R

R)dsin.e()cos.e(

22
222
( .cos ) ( .sin )eedR 22
( .cos ) ( .sin )eRed ()ed R 22
.cos ( .sin )eRed

Donc :

22
.cos ( .sin )eRed car 0

Question 4 : Donner, sans calcul, la trajectoire

/1E

Tdu point géométrique de contact.

On a :

REO 1 La trajectoire du point E dans le repère R1 est le cercle de centre 1

O et de rayon R.

Question 5 : Déterminer l'expression des vecteurs rotation 2/1 3/2 et 3/1 2/1 1 .z 3/2 0 et

3/1 3/2 2/1 1

.z

Question 6 : Déterminer le vecteur vitesse

3 3/1G V 33 3

3/1 3/2 2/1GGG

VVV

Avec :

3

3/2 2G

Vx Et 32

2/1 2/1 3 2 2/1 2 2 1 2 2

0 2 '2/1 GO

VVGO bxdyzbydx

car O est sur l axederotation du Mvt

Donc :

3

3/1 2 2

G Vdxby Question 7 : En déduire le vecteur accélération 3 3/1G 3 3 223/1
3/1 1 1 22
222
11 G G ddx bydV dt dt dx dy dx d y by bdt dt Or

22/12 12 2

1 dx xzx ydt et

22/12 12 2

1 dy yzy xdt

JJJJJGJJG JJGJJG JJG

Donc :

3

223/1 2 2

()() 2 () G dbx d by 2 y 2 x z D 1 x 1 y Corrigé TD 16 - Lois entrée-sortie en position et en vitesse CPGE 1

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Exercice 3 : COMPACTEUR

Question 1 : Repasser en couleur les différents solides sur le schéma cinématique. Question 2 : Dessiner le graphe des liaisons de ce système.

Question 3 : Donner le paramètre d'entrée et le paramètre de sortie du système d'orientation

des cylindres.

Paramètre d'entrée :

()kt (position linéaire de la tige du vérin par rapport corps du vérin)

Paramètre de sortie :

()t (position angulaire du ½ bâti avant par rapport au ½ bâti arrière)

Question 4 : Déterminer, à l'aide d'une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position

()kfdu système d'orientation des cylindres.

Fermeture géométrique :

0PP PQ QR RP

G

Donc :

00 00 0 vav av ar ar dx ey kv gy fx G Or

0000 00 00

cos sin , sin cos sin cos vav ar ar av ar ar ar ar xxyy xyetvxy Corrigé TD 16 - Lois entrée-sortie en position et en vitesse CPGE 1

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L'équation vectorielle obtenue par fermeture géométrique permet d'obtenir les équations scalaires suivantes :

En projection sur

0 .cos sin sin 0 (1) ar xd e k f

En projection sur

0 sin cos cos 0 (2) ar yd e k g

On cherche une loi entrée-sortie de type

()kf, il faut donc éliminer (paramètre intermédiaire) de ces deux relations... Pour cela, à partir des deux relations obtenues, on : isole les cosinus et sinus du paramètre angulaire dont on veut se débarrasser ; on élève au carré ; on utilise la relation de trigonométrie 22
cos sin 1 .

Ce qui nous donne dans notre cas :

(1) sin .cos sin (2) cos sin coskdef kgde

222 2 2

(1) (2) ( .cos sin ) ( sin cos )kd e f gd e

Ce qui nous donne :

22
( .cos sin ) ( sin cos )kd e f gd e Question 5 : En déduire la course minimale c du vérin d'articulation permettant d'obtenir le comportement souhaité du compacteur en virage.

La course du vérin doit être à la distance parcourue par la tige par rapport au corps du vérin

pour faire passer le ½ bâti avant d'un position angulaire extrême par rapport au ½ bâti arrière

(Ø = +32° ou -32° ) à une autre (Ø = -32° ou 32° ).

Donc :

Course du vérin

(32)(32)ck k avec (32) (32) (476,98)² (386,53)² (349,69)² (269,94)²k k Pour garantir un angle Ø compris entre -32° et + 32°, il faut :

613,85 441,76 172,09cmm

Exercice 4 : SYSTÈME D'ORIENTATION D'ANTENNE

Question 1 : Réaliser, en s'inspirant de la figure ci-dessus, le schéma cinématique du système

d'orientation d'antenne dans le plan 00 (, , )Ox y . Paramétrer ce schéma cinématique. Question 2 : Donner le paramètre d'entrée et le paramètre de sortie du système.

Paramètre d'entrée :

()dt (position linéaire de la tige du vérin par rapport corps du vérin)

Paramètre de sortie :

1 ()t (position angulaire de l'antenne par rapport au support) Corrigé TD 16 - Lois entrée-sortie en position et en vitesse CPGE 1

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Question 3 : Déterminer, à l'aide d'une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position

1 ()df du système d'orientation d'antenne.

Fermeture géométrique :

0AA AB BC CA

G

Donc :

11 2 0 0

0Lx dy Lx

Or

110102 2020

cos sin sin cosxxyety x y L'équation vectorielle obtenue par fermeture géométrique permet d'obtenir les équations scalaires suivantes :

En projection sur

01 1 20

.cos sin 0 (1)xL d L

En projection sur

01 1 2

.sin cos 0 (2)yL d

On cherche une loi entrée-sortie de type

1 ()df, il faut donc éliminer 2 (paramètre intermédiaire) de ces deux relations... Pour cela, à partir des deux relations obtenues, on : isole les cosinus et sinus du paramètre angulaire dont on veut se débarrasser ; on élève au carré ; on utilise la relation de trigonométrie 22
cos sin 1 .quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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