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TD_C09 : Déterminer le comportement cinématique et en statique d'un transmetteur non linéaire
CPGE 1re année - C09 TD - Déterminer le comportement cinématique et en statique d'un transmetteur non linéaire 13/02/2019
1/20 DÉTERMINER LE COMPORTEMENT CINÉMATIQUE ET EN STATIQUE D'UNTRANSMETTEUR NON LINÉAIRE
TD 1 : Déterminer les lois E/S par fermeture géométrique .................................................................................. 1
TD 2 : Déterminer les lois E/S par fermeture cinématique et produit scalaire ..................................................... 6
Exercices supplémentaires .................................................................................................................................. 12
Éléments de réponse ........................................................................................................................................... 18
TD 1 : DÉTERMINER LES LOIS E/S PAR FERMETURE GÉOMÉTRIQUEExercice 1.1 : MICROMOTEUR DE MODÉLISME
Le moteur étudié, qui permet de faire tourner une hélice, est destiné à être assemblé sur des avions de modélisme afin de les propulser. Comme la très grande majorité des moteurs thermiques, il utilise un dispositif " bielle-manivelle » pour transformer le mouvement de translation alternatif du piston (généré par la combustion du mélange air + carburant) en mouvement de rotation continu du vilebrequin. Ce dispositif est représenté ci-contre sous la forme d'un schéma cinématique avec : comme fixe - vilebrequin 1, OA= e - bielle 2, AB = L. Données : e =11 mm, L = 40 mm et piston = 24 mm (diamètre)Q1 : Identifier les paramètres de position d'entrée et de sortie du dispositif de transformation de mouvement et les DDL des
liaisons associés. Identifier la fonction de cet ensemble dans une chaîne fonctionnelle.Q2 : Déterminer, à l'aide d'une fermeture géométrique et par projection, la loi entrée-sortie en position = g(x) et la
relation x = f ( ) du mécanisme de transformation de mouvement. Q3 : Déterminer ces mêmes relations à partir de la norme Le graphique de cette fonction a l'allure suivante : Q4 : Déterminer la cylindrée du micromoteur. La cylindrée d'un moteur correspond au volume balayé par le piston lorsqu'il passe de la position " point mort bas » (position extrême basse) au " point mort haut » (position extrême haute). Si le moteur possède plusieurs cylindres, il faut multiplier ce volume par le nombre de cylindres.CPGE 1
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2/20Q5 : Déterminer, à l'aide du résultat de la question 2, la loi entrée-sortie en vitesse (,)xfDD=. En déduire le vecteur
vitesse 3/0B VJJJJJJG
en fonction de ,,LDDet e.Q6 : En déduire la relation entre le couple en sortie de moteur et la pression dans la chambre de combustion sous les
hypothèses de régime quasi-statique, les liaisons étant supposées parfaites. Ces hypothèses vous paraissent-elles
valables ?Exercice 1.2 : TUYÈRE À OUVERTURE VARIABLE
Les propulseurs utilisés dans les applications militaires ou civiles subissent, avant leur mise en service, des tests de certification visant à contrôler leur bon fonctionnement et le respect des normes de sécurité. Ces tests consistent à simuler au sol les conditions de vol subies par le propulseur et à observer les réactions de celui-ci consécutives à des commandes de pilotage. La DGA (Direction Générale de l'Armement) dispose dans son Centre d'Essais des Propulseurs (CEPr), situé à Saclay, de bancs d'essais dédiés à la certification et à la mise au point de différents types de propulseurs d'avions ou de missiles. Le banc d'essais est constitué de trois compartiments. - le premier compartiment (A) est alimenté par une soufflerie et a pour fonction de conditionner le flux d'air en amont de la turbomachine testée ; - le deuxième compartiment (B) contient le propulseur à tester ;- le troisième compartiment (C) permet la collecte et l'évacuation des gaz produits lors de la combustion.
La tuyère à ouverture variable montée sur le tube, en aval de l'écoulement, fait varier la section de la veine de fluide en
sortie de tube. La solution retenue consiste à disposer seize volets articulés sur la périphérie du tube qui permettent ainsi
de réduire la section de passage du fluide Ces volets sont mis en mouvement par seize biellettes toutes identiques reliées
à un tore mis en translation à l'aide de quatre vérins hydrauliques répartis régulièrement autour du tube.
Tuyère ouverte Tuyère fermée
Rafale propulsé par deux moteurs Snecma M88
CPGE 1
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3/20Le schéma cinématique ci-dessous modélise le mécanisme de transformation du déplacement x(t) d'un vérin en rotation
d'un volet ()tD : Modèle cinématique limité à un vérin et un ensemble bielle-voletAvec :
11 4 5 1 5 ()OAhy xtx ABx CBhy OCx CELx GG G A G G A G JJG JJG JJG JJG JJGLa position initiale, volet ouvert, est
définie par (0)0x= et ()0tD=. On donne ci-dessous un extrait du cahier des charges associé à l'exigence étudiée.E1 Cri tères Niveau
Faire varier le diamètre de la veine de fluide Diamètre de la veine de fluide de 400 à 600 mm
Objectif : déterminer la course des vérins permettant de valider le critère du cahier des charges.
Q1 : Exprimer l'angle D en fonction de x sous la forme ()() arccos()arctan() fxgx D=+ en précisant les fonctions ()fx
et ()gx.Q2 : Par observation du schéma cinématique, donner l'expression du diamètre D de la veine fluide en fonction de . et
de D0 , diamètre de la section pour r = 0. On donne ci-contre le tracé de la fonction ()Dx. Q3 : En déduire , à partir du cah ier des c harges relatif à l'exigence étudiée, la course nécessaire des vérinsQ4 : Proposer une expression aff ine de D en
fonction de x.CPGE 1
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4/20 Exercice 1.3 : POMPE HYDRAULIQUE À PISTONS RADIAUX On s'intéresse au comportement cinématique d'une pompe à pistons radiaux, en particulier du dispositif de transformation de mouvement par excentrique. Celui-ci permet de d'obtenir, àpartir d'un mouvement de rotation continu de l'arbre d'entrée sur lequel est fixé l'excentrique
1, un mouvement de translation alternatif du piston 2.
Objectif : déterminer la relation entre x et T, puis entre le débit volumique refoulé Q et T
Représentation 3D (corps 0 en coupe) Schéma de fonctionnementConstituants et paramétrage :
• Le corps 0, de repère lié 0000 (,,, )ROxyzJJGJJGJJG
, est considéré comme fixe. • L'excentrique 1, de repère lié 1110(,,, )ROxyz
JJGJJGJJG
, est en liaison pivot d'axe 0 (,)Oz JJG par rapport au corps 0 tel que 01 zz=JJGJJG
et 01 (,)xxT=JJGJJG
. L'excentrique de rayon R et de centre C tel que 1OCex =
JJJG G , est en contact avec le piston 2.On note
0 ()AItyO=JJGJJG
• Le piston 2, de repère lié 2022(,,, )RAxyz
JJGJJGJJG
, est en liaison pivot glissant d'axe 0 (,)Ox JJG par rapport au solide 0 tel que 0 ().OAXt x=JJGJJG
La surface utile du piston est notée S.
La pompe comprend 6 pistons fonctionnant en parallèle. Q1 : Identifier le paramètre de position d'entrée et le paramètre de position de sortie.Q2 : Déterminer, à l'aide d'une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position du dispositif de transformation
de mouvement.Q3 : En déduire la relation cinématique d'entrée-sortie cinématique, puis la relation entre le débit refoulé par un piston
et TPistons
Puissance
hydrauliquePuissance mécanique
de translation QCONVERTIRCONVERTIR
F 2/0A VX 'pPuissance mécanique
de rotation C 1/0 ZT=Système à
excentriqueCPGE 1
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5/20 Exercice 1.4 : PALÉTTISEUR POUR L'INDUSTRIE LAITIÈRELes briques de lait de 1L sont stockées par groupe de 6 et déposée sur des palettes afin de faciliter leur transport par
camions. Dans une chaîne de conditionnement de briques de lait, on utilise souvent des poussoirs qui poussent tout un lot
de 6 briques de lait. On se propose d'étudier un de ces poussoirs dont on donne le modèle cinématique ci-dessous ainsi
qu'un extrait de cahier des charges fonctionnel. L'objectif d'étude est de vérifier si le système permet d'atteindre l'exigence demandée.Le bâti 0 est fixe. Un motoréducteur anime en rotation la manivelle 2. Par l'intermédiaire de la liaison en B, la manivelle 2
déplace la tige 3 en rotation autour de l'axe 0 (,)Az G qui déplace elle-même le poussoir 4 en translation suivant 0 y GDonnées :
20202(,)(,)xxyy T== GGGG 30303
(,)(,)xxyy T== GGG G 3
ABxµ=
JJG G 3 ACxO= JJJG G 0CHyy =
JJG G 2OBRx =
JJG G 0HALx =
JJG G et 10OALx =
JJG G . R=0,15 m ; 120,5LL== m.
On se place en modèle plan. Les distances O, µ et y sont variables.Q1 : Décrire le système dans une chaîne d'énergie. Déterminer les grandeurs d'entrée et de sortie.
Q2 : Représenter les figures de changement de base.Q3 : Écrire les équations de fermeture géométrique (OAB) et (HAC) en projection dans la base 0 et en déduire la loi
entrée sortie du système : y en fonction de T2. Q4 : Déterminer l'amplitude de déplacement du poussoir maxmin yyy'=.Q5 : Conclure vis-à-vis du cahier des charges.
Q6 : Déterminer le couple en sortir du motoréducteur permettant de maintenir en position 4 packs.
CPGE 1
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6/20 TD 2 : DÉTERMINER LES LOIS E/S PAR FERMETURE CINÉMATIQUE ETPRODUIT SCALAIRE
Exercice 2.1 : POMPE HYDRAULIQUE À PISTONS RADIAUXOn s'intéresse au comportement cinématique du dispositif de transformation de mouvement par excentrique qui permet
de transformer le mouvement de rotation continu de l'arbre d'entrée, sur lequel est fixé l'excentrique 1, en mouvement
de translation alternative du piston 2. Représentation 3D (corps 0 en coupe) Schéma de fonctionnementConstituants et paramétrage
• corps 0, de repère lié 0000 (,,, )ROxyzJJGJJGJ JG
, considéré comme fixe • excentrique 1, de repère lié 1110(,,, )ROxyz
JJGJJGJJG
, tel que 01 (,)xxT=JJGJJG
L'excentrique de rayon R et de centre C tel que
1OCex =
JJJG G , est en contact supposé ponctuel avec le piston 2. On note 0 ()AIty O=JJGJJG
• piston 2, de repère lié 2022(,,, )RAxyz
JJGJJGJJG
, tel que 0 ().OAXt x=JJGJJG
. Le diamètre d'un piston est noté D.La pompe comprend 6 pistons fonctionnant en parallèle. La chaîne d'énergie pour un piston est la suivante :
Le débit sortant de la chambre d'un piston vers la canalisation de refoulement est : QSX , partie positive de SXObjectif : déterminer le débit instantané de la pompe en fonction de la vitesse de rotation et de la position
de l'arbre d'entrée. Q1 : Écrire la relation de fermeture sur les torseurs cinématiques.Q2 : Écrire les torseurs cinématique s des liaisons. Identifier les paramètres d'entrée et de sortie sur les tor seurs
cinématiques. Déterminer l'équation scalaire à écrire. Q3 : Déterminer la relation d'entrée-sortie en vitesse. Q4 : Retrouver ce résultat à parti r d'u ne fermeture géométrique. Q5 : En déduire le débit instantané en so rtie de pompe provenant de ce piston puis de l'ensemble des pistons. Q6 : Conclure en vous aidant de la figure ci-contre. Q7 : Retrouver la loi entrée-sortie en position à partir de la loi entrée-sortie en vitesse.Pistons
Puissance
hydrauliquePuissance mécanique
de translation QCONVERTIRCONVERTIR
F 2/0A VX p'Puissance mécanique
de rotation C 1/0 ZT=Système à
excentriqueCPGE 1
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7/20 Exercice 2.2 : POMPE HYDRAULIQUE À PISTONS AXIAUX ET À DÉBIT VARIABLE Dans ce type de pompe, les pistons sont logés dans un barillet lié à l'arbre d'entrée.Un système de réglage de l'inclinaison du plateau, qui est fixe pendant la phase d'utilisation de la pompe, permet de faire
varier le débit du fluide en sortie de la pompe à vitesse de rotation de l'arbre d'entrée fixée.
Lorsque le débit de la pompe es t réglé, c'est-à -dire lorsque l'inclinaiso n du plateau est fixée, on peut ét udier le
comportement cinématique de la pompe à partir du modèle représenté ci-dessous.Constituants et paramétrage
0000 (,,, )ROxyzJJGJJGJ JG
et 0 (,,,)ROxyz GGJJG associés au corps 0, tels que 0 .OCcx =JJJGJJG
et 0 (,)xxc teM== GG 1011(,,, )ROxyz
JJGJJGJJG
associé au barillet 1, tel que 01CBbx ry=+
JJG GG et 01 ()(, )tyyD= GG 2011(,,, )RAxyz
JJGJJGJJG
associé au piston 2 tel que 0 ()BAtx O= JJG GOn pose aussi : ()() OAyt yzt z=+
JJG GGObjectif : déterminer une relation entre le débit instantané de la pompe et la vitesse de rotation de l'arbre
d'entrée. Q1 : Réaliser le graphe des liaisons de ce système. Q2 : Écrire la relation de fermeture sur les torseurs cinématiques.Q3 : Donner l'expression des torseurs cinématiques des liaisons en fonction des paramètres de mouvement.
Q4 : Déterminer l'équation à écrire afin d'obtenir la loi e ntrée-sortie en vitesse du systè me à plateau incliné
(,)fODD=Pistons
Puissance
hydrauliquePuissance mécanique
de translation QCONVERTIRCONVERTIR
F O p'Puissance mécanique
de rotation C 1/0 ZD=Système à
plateau inclinéCPGE 1
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8/20Q5 : Déterminer la loi entrée-sortie en vitesse du système à plateau incliné (,)fODD=
Q6 : Retrouver cette relation par fermeture géométrique.Q7 : Donner la relation entre le débit instantané Q en sortie de la pompe (pour un seul piston), la surface S de la section
du piston et OQ8 : En déduire l'expression de ce débit instantané en fonction de la vitesse de rotation de l'arbre d'entrée.
Q9 : Indiquer la façon dont il faut faire évoluer l'inclinaison du plateau pour diminuer le débit de la pompe.
Exercice 2.3 : TRANSMISSION PAR JOINT D'OLDHAM SUR LE SYSTÈME MAXPID Sur le système Maxpid présent dans le laboratoire de SII, l'axe de sortie du moteur 4 n'est pas parfaitement aligné avec l'axe de la vis 1 qu'il doit entraîner en rotation.Pour transmettre le mouvement de rotation, le
concepteur a choisi d'utiliser un accouplement entre l'axe moteur et la vis de type joint d'Oldham. Cette solution technique qui permet de transmettre un mouvement de rotation entre deux axes parallèles non coaxiaux , est constituée : d'un plateau 6a, lié à l'arbre d'entrée (axe du moteur 4), d'un plateau 6c, lié à l'arbre de sortie (vis 1), d'un élément intermédiaire 6b.Un modèle cinématique de cette transmission par joint d'Oldham est représenté ci-dessous.
CPGE 1
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9/20Constituants et paramétrage
• Le solide 3, de repère associé 0000 (,,, )ROxyzJJGJJGJ JG
, est considéré comme fixe. • Le solide 6a, de repère associé 0 aaa RAxyzJJGJJGJJG
, est en mouvement de rotation d'axe 0 (,) Ax JJG par rapport au solide3 tel que
0a xx=JJGJJG
et 0 a yyT=JJGJJG
• Le solide 6c, de repère associé 0 bbb RBxyzJJGJJGJJ G
, est en mouvement de rotation d'axe 0 (,)Bx JJG par rapport au solide3 tel que
0b xx=JJGJJG
et 0 b zzD=JJGJJG
On définit
0OAex =quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
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