[PDF] TD 20 corrigé - Loi Entrée-Sortie à laide dun produit scalaire

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MPSI-PCSI S. Génouël 28/02/2012

Corrigé Exercice 1 : DIRECTION ASSISTÉE ELECTRIQUE

DE RENAULT TWINGO

(Selon le concours CCP 2004 filière PSI)

Question 1 : Donner le graphe de liaison de

ce système. Quelle aurait été la différence si le graphe de structure avait été demandé ?

2x2 liaisons sphères-cylindres (linéaires

annulaires) auraient été tracées en parallèle

à la place des 2 liaisons pivots glissants.

Question 2 :

Caractéristique : angle de brisure :

Paramètr :

01

Paramètre de sortie :

02 Question 3 : Représenter les figures planes de changement de base relatives aux angles 01 et 02

Question 4 : A partir de la particularité géométrique angulaire des axes du croisillon 3 (les axes

2x et 1z sont constamment orthogonaux), déterminer la loi entrée-sortie en position du joint de Cardan. 21xz

21.0xz

02 0 02 0 01 0 01 0(cos . ' sin . ).(cos . sin . ) 0x z z x

02 01 02 01cos .sin .cos sin .cos 0

02 01 02 01sin .cos cos .sin .cos

02 01tan cos .tan

Question 5 : En déduire la loi entrée-sortie en vitesse

2 1 01( , )f

du joint de Cardan. On notera 1 01 et 2 02 . Conclure sur le caractère homocinétique (égalité des vitesses de rotation) de la transmission par le joint de Cardan.

En dérivant la relation ci-dessus :

2 2 '(tan )' '.(1 tan ) cos uu u u u

2202 02 01 01.(1 tan ) cos . .(1 tan )

2012
2102
(1 tan )cos . (1 tan ) Z DZT Puis en réinjectant la loi E/S en position déterminée dans la question précédente : 2012
22101
(1 tan )cos . 1 ( 0) (1 cos .tan ) sauf pourZ D z D Z D T

Le joint de Cardan

Ex : Tracé de

2011
( , )f D TZ Pour 30

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Question 6 : A

figure 1, expliquer la solution utilisée par le concepteur de la direction assistée pour rendre la transmission homocinétique entre la partie haute de la colonne entrainée par le volant (assisté du motoréducteur ) et le pignon qui met en mouvement la crémaillère.

Si l'arbre 1 tourne à une vitesse

1 constante par rapport au bâti 0, alors l'arbre 2 tourne à une vitesse 2

irrégulière, vitesse de rotation dont on vient de déterminer les caractéristiques. Réciproquement, si l'on

réussit à entraîner l'arbre 2 à une vitesse 2 "irrégulière comme il faut", on obtient sur l'arbre 1 une vitesse 1

constante. Ainsi, en mettant deux joints de Cardan en série, le deuxième annulera les irrégularités de

vitesse de rotation générées par le premier. Mais attention, ceci n'est possible que sous certaines

Exemple, prenons 3 arbres : un arbre d'entrée 1, un arbre intermédiaire 2 et un arbre de sortie 3.

Un joint de Cardan étant symétrique, on peut permuter les indices dans la loi E/S :

20212122221 02

(1 tan )cos . (1 cos .tan )

Z DZ D T

Pour le 2ème joint (entre 3 et 2), on réécrit la loi E/S telle qu'elle était :

23 022322223 02

(1 tan )cos . (1 cos .tan )

DZ D T

Ainsi

2 2 23 3 23 02 21 022

2 2 21 2 123 02 21 02

cos .(1 tan ) (1 cos .tan ). . 1 (1 cos .tan ) cos .(1 tan )

Z Z Z Z D T D T

ssi

23 21cos cos

Cardan homocinétique

donc homocinétique seulement si 23 12

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Cardan

11

8 7 6 4 2 10 9 5 3 1

Cardan

Exemples de doubles joints de Cardan

Joint simple et joint double vendu par

"axesindustries.com" pour des arbres de diamètres 6 à 50 mm

Arbre de transmission de

moto BMW K 1300 GT

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La photo ci-contre et les deux autres photos

ci-dessous représentent des arbres de transmission pour véhicule à propulsion ou

à 4 roues motrices.

Pour transmettre le mouvement de rotation

provenant du groupe (moteur + boîte de vitesses), aux roues arrières, ils utilisent des arbres de transmission avec double joint de

Cardan.

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3 2 1 7 6 Pivot ( , )Dy Pivot ( , )Az

Sphérique

(ou rotule) de centre B

Pivot glissant

3( , )By

Pivot

2( , )Cx

Corrigé Exercice 2 : LÈVE BARRIÈRE SINUSMATIC.

Question 1 : ortie du système.

P : position angulaire du plateau 7 par rapport au bâti 1 :

Paramètre de sortie :

Question 2 : Dessiner le graphe des liaisons de ce système.

Question 3 : Dessiner, dans le plan

( , , )A y z , le schéma cinématique du système dans la position particulière où 0

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Pour déterminer une liaison

équivalente, il faut utiliser

l'écriture en colonne pour les torseurs. Question 4 : Déterminer la liaison équivalente eqL aux deux liaisons en série entre 7 et 3. 3 3 3 ,7/6

7/6 ,7/6

,7/6( , , ) 0 0 0 x y zB x y z

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