Chaînes de Markov PDF Si X est fini on

Chaînes de Markov

Si X est fini on notera N son nombre d'éléments. 1. Matrices stochastiques et propriété de Markov. 1.1. Chaînes de Markov. Une matrice stochastique sur X est

Chaînes de Markov au lycée

Dire que TP=P signifie que P est vecteur propre de T pour la valeur propre 1. Or une matrice de transition (matrice stochastique) admet 1 comme valeur propre

IFT-3655 Modèles Stochastiques orange Chaînes de Markov en

Parfois pour une chaˆ?ne de Markov

Chaînes de Markov (et applications)

???/???/???? X est une chaîne de Markov si pour tout x0

Chaînes de Markov

a) est évident : pour n = 0 1Xn=k = 1 Pk-p.s. et les autres termes de la somme sont tous nuls (n < ?k). b) Calculons le j-ième terme (?k P)j du vecteur ligne

1 Définition

est une chaîne de Markov si pour tout n ? 0

CHAÎNES DE MARKOV

Toute matrice de transition vérifie les propriétés suivantes : (1) pour tout couple (x y) de E

Stabilite de la recurrence dune chaine de markov sous ieffet dune

Considkrons une chaine de Markov sur Z rkcurrente et irrtductible

Théorème de limite centrale fonctionnel pour une chaîne de Markov

centrale fonctionnel pour une chaîne de Markov récurrente au sens de a2(s A t) si a est non nul et le processus dégénéré 0 si a est nul. Enfin pour p ...

Chapitre 8 Chaˆ?nes de Markov

fait les cha?nes de Markov sont des processus stochastiques dont l'évolution est régie N . Les termes non nuls de la matrice de transition sont donc.

[PDF] CHAÎNES DE MARKOV - ceremade

notes de cours de “Processus stochastiques” je m'en suis largement inspirée et en ai tiré tous les dessins de graphes pour les chaînes de Markov

[PDF] CHAÎNES DE MARKOV - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Chapitre I Chaînes de Markov 5 1 Définition 5 2 Exemples 7 3 La relation de Chapman-Kolmogorov 9 4 Classification des états

[PDF] Chaînes de Markov - Institut Camille Jordan

1 7 5 Chaînes de Markov avec plusieurs pas de mémoire 37 récurrentes nulles ou de noyau récurrent nul ou transient Preuve :

[PDF] Chapitre 8 Chaˆ?nes de Markov - DI ENS

Pour introduire cette dynamique il faut tenir compte de l'influence du passé ce que font les cha?nes de Markov `a la façon des équations de récurrence dans

[PDF] Chaînes de Markov

Une chaîne de Markov sur X de matrice de transition P est une suite de variables aléatoires (Xn)n2Ndéfinies sur un espace (? b P) et à valeurs dans X telle

[PDF] Chaînes de Markov : théorie et applications

matrice stochastique sur X Une chaîne de Markov de matrice de transition P ou nuls telle que q0 = 0 et pk + qk + rk = 1 pour tout k ? N La chaîne de

[PDF] Chaînes de Markov (et applications)

22 fév 2021 · Idée : Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires dans le temps ou conditionnel- lement au présent le futur ne dépend pas

[PDF] Chaînes de Markov

La loi d'une chaîne de Markov homogène est complètement dé- terminée par la donnée de sa matrice de transition et de la loi de X0 (appelée loi initiale) :

[PDF] Chaines de Markov : compléments

Une cha?ne de Markov est dite irréductible lorsque tous ses états communiquent c'est-`a-dire lorsque pour toute paire d'états (xixj) la probabilité

[PDF] Introduction aux chaines de Markov - CERMICS

Une cha?ne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xnn ? N) qui permet de modéliser l'évolution dynamique d'un syst`eme aléatoire : Xn représente

Comment montrer qu'une chaîne est une chaîne de Markov ?
= P(Xn+1 = yXn = xn). Cette preuve permet de montrer rigoureusement que la marche aléatoire sur Zd est bien une chaîne de Markov. Dans le monde déterministe, cela revient à étudier les suites (xn)n?0 définies par ré- currence de la manière suivante : xn+1 = f(xn,n).
Comment calculer la période d'une chaîne de Markov ?
Cela conduit au calcul suivant : P(X2 = s/X0 = m) = P(X2 = s/X1 = m) · P(X1 = m/X0 = m) + P(X2 = s/X1 = s) · P(X1 = s/X0 = m) = 0,15 · 0,0,55 + 0,15 · 0,1=0,0975. La cha?ne n'est pas périodique comme on peut le voir facilement sur son diagramme en points et fl`eches.
Quel est le principe Sous-jacent de la technique des chaines de Markov ?
Si une chaîne de Markov est irréductible et si son espace d'états est fini, tous ses états sont récurrents positifs. La loi forte des grands nombres est alors en vigueur. Plus généralement, tous les éléments d'une classe finale finie sont récurrents positifs, que l'espace d'états soit fini ou bien infini dénombrable.
La chaîne est dite homogène si on a de plus pour tout k ? N et tout x et y dans E, P(Xk+1 = yXk = x) = P(X1 = yX0 = x).

Chapitre2

ChaînesdeMarkov

Résumé.Unechaînede Markovestunpro cessusaléatoire(X n n!N dont lestransitio nssontdonnéesparune matricestochastiqueP(X n ,X n+1 Cesproc essusvérifientlapropriétéde Markov,c'est-à-direqu'ob servés

àpartird'untemps(d'arrêt)T,(X

T+n n!N nedépend quedeX T etest denouv eauunechaînedeMarkov. Lesétatsd 'unechaînedeMarkov peuventêtreclassése ndeuxcatégo ries:lesétatstr ansitoires,quine sontvisitésqu'unnombre finidefois p.s.,etles étatsr écurrents,quiune foisatteints sontvisités p.s.uneinfinitédefois, ainsiquetouslesautres étatsdanslamême classederéc urrenc e.Pourunecha înedeMarkov irréductiblerécu rrente,lamesureempiriqueetlaloima rgina ledupro - cessusconv ergentsoitversl'uniquemesuredeprobabilitéP-invariante (récurrencepositive),soit verslevecteur nul(récurrencenulle).Cette théories'appliqueen particulierauxmarchesaléatoiresetau xmodèles defilesd'attente. Danscequis uit,onfixeune spac ed'étatsXfiniou dénombrable,muni delatribude l'ensembledesparties P(X).SiXestfini,on noteraNsonnombre d'éléments.

1.Ma tricesstochastiqueset propriétédeMarkov

1.1.Cha înesdeMarkov.UnematricestochastiquesurXestunefonction P:

(x,y)!X"#P(x,y)![0,1]telleque,p ourto utx!X, y!X

P(x,y)=1.

Autrementdit,tout x!Xdéfinitunemesure de probabilité P(x,·)surX,appelée probabilitédetransitionàpartirdex. Définition2.1(Chaîne deMarkov).Unechaîne deMar kovsur Xdematric ede transitionPestune suitedevariablesaléatoir es(X n n!N définiessurun espace (!,B,P) età valeursdans X,tellequepourtoutn,ettouspointsx 0 ,...,x n+1 P[X n+1 =x n+1 |X 0 =x 0 ,...,X n =x n ]=P(x n ,x n+1

Ainsi,lalo iconditio nnelleP

X n+1 |(X 0 ,...,Xn) estlaprobabilité detransitio nP(X n ,·).Il estutiled ereprésenter lesmesuresdeprobabilité "surXpardesvecteursen ligne ("(x 1 ),"(x 2 ),...,"(x k ),...).Alors,si" 0 estlaloi deX 0 ,quipeutêtrearbitraire,ona P[(X 0 ,X 1 ,...,X n )=(x 0 ,x 1 ,...,x n )]="(x 0 )P(x 0 ,x 1 )···P(x n"1 ,x n 7

82. CHAÎNE SDEMARKOV

parconditionneme ntsuccessif,desortequ'enparticulierlaloi" n deX n estdonnée par leproduit matriciel" n 0 P n .D'unpo intdevuedual,sifestunefonction bornéesur

X,vuecommeunvecteurcolonne,alors

E[f(X n+1 )|X 0 =x 0 ,...,X n =x n ]=(Pf)(x n E[f(X n n f=" 0 P n f. Notonsquelesproduitsmatriciels considérésso ntlicites mêmelorsquel'espace d'états estinfinidénom brable,puisqu'ona desbonnesbornessur lessommesde coe cientssur chaquelignedelam atricedetransi tion. Exemple.Onrepr ésenteusuellementunechaînedeMa rkovd'espaced'étatsXpar ungra pheorientéétiquetéG=(V,E)dontlessommetssont leséléments deX,etdont lesarê tesétiquetéessontlescouples (x,y)avecP(x,y)>0,lavaleurdelaprobabilité detransitio nétantl'étiquettedel'arêtex#y.Con sidéronsparexemplelachaînede Markovd'espaced' états[[1,N]],etdematricedetransition P= 1 3 111
11 .11 111
1 31
3 1 3 9 Leg rapheassociéestdessinéci-dessus, etlachaîneconsidéréeestl amarc hea léatoire surlecercle Z/NZoù,àchaq ueét ape,onaprobabilité1/3derestera umêmeendro it,et probabilité1/3desauter àgaucheo uàdro ite.Lesloismarginalesdecettec haînepeuvent êtrecalculéesco mmesuit.P ourtoutvecteurv!(C) Z/NZ ,notons

ˆv(k)=

1 N N j=1 v(j)# jk satransforméede Fourier discrète, avec#=e 2i!/N .D'autrepart,notonsC N lamatrice circulante C N 01 0 .1 10 ;P= I+C N +(C N "1 3

Pourtoutve cteurv,

(vC N )(k)=# k N parla transforméedeFourierdiscrètea gitdia gonalement,avec valeurs propres#,# 2 N .Il s'ensuitquesi Destlamat rice diagonale

D=diag

1+2cos

2! N 3

1+2cos

4! N 3

1+2cos

2N! N 3

1.MATR ICESSTOCHASTIQUESETPROP RIÉTÉDEMARKOV9

alorspourtout emesureiniti ale" 0 ,ona n 0 P n 0 D n où+·indiquelatra nsforméede Fourierinverse: +v(l)= 1 N N k=1 v(k)# "kl

Enpa rticulier,commeD

n pourtoutem esureinitiale" 0 ,laloimarginale" n convergeverslevecteur( 1 N 1 N C'estuncaspa rticul ierdesthé orèmesergodiquesquiserontévoqués auparagr aphe3.

Onpeu tmontrerqu epourtoutemesureinit iale"

0 surX,ettoutematricedetransition P,i lexist ee"ectivementunechaînedeMarkovave ccetteme sureinitialeetcett ematr ice detransitio n.OnnoteraP 0 etE 0 lesproba bilitésetespérancesrelativesà cettecha îne deMarko v,etdanslecasparti culie roù" 0 x estconcentrée enunseulpoint x!X, onnot eraP x etE x .Ces probab ilitésportentsurl'espacedestrajecto ires (X N ,P(X) #N munidelat ribupr oduit, etsurcetespace ,onaunicitéenloistraject oriel lesd'unech aîne deMark ovdeloiinitiale etmatr icedetra nsitiondonnées:laloiP 0 estentièremen tdé- terminéepar l'équation(!!).Cette propriété(!!)assurequelestransitionsd'unechaîne deMarko vautempsnsonthomogènesen temps(Pnedép endpasden),etne dépendent quedel'éta tprésen t,c'est-à-direque laloiconditionnellede X n+1 sachanttoutelatra- jectoire(X 0 ,...,X n )nedépend enfaitquede X n .Unereformulationdecesobservations estdonnée parlapropriétédeMarkov:

Proposition2.2.Si(X

n n!N estunechaîne deMarkov deloiP 0 ,alorspourtout m+n n!N estaussi unechaînede Markov, deloiPquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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Comment montrer qu'une chaîne est une chaîne de Markov ?

Comment calculer la période d'une chaîne de Markov ?

Quel est le principe Sous-jacent de la technique des chaines de Markov ?

Chapitre2

ChaînesdeMarkov

àpartird'untemps(d'arrêt)T,(X

1.Ma tricesstochastiqueset propriétédeMarkov

1.1.Cha înesdeMarkov.UnematricestochastiquesurXestunefonction P:

P(x,y)=1.

Ainsi,lalo iconditio nnelleP

82. CHAÎNE SDEMARKOV

X,vuecommeunvecteurcolonne,alors

ˆv(k)=

Pourtoutve cteurv,

D=diag

1+2cos

1+2cos

1+2cos

1.MATR ICESSTOCHASTIQUESETPROP RIÉTÉDEMARKOV9

Enpa rticulier,commeD

Onpeu tmontrerqu epourtoutemesureinit iale"

Proposition2.2.Si(X