Chaînes de Markov au lycée PDF Dire que TP=P signifie

Chaînes de Markov

Si X est fini on notera N son nombre d'éléments. 1. Matrices stochastiques et propriété de Markov. 1.1. Chaînes de Markov. Une matrice stochastique sur X est

Chaînes de Markov au lycée

Dire que TP=P signifie que P est vecteur propre de T pour la valeur propre 1. Or une matrice de transition (matrice stochastique) admet 1 comme valeur propre

IFT-3655 Modèles Stochastiques orange Chaînes de Markov en

Parfois pour une chaˆ?ne de Markov

Chaînes de Markov (et applications)

???/???/???? X est une chaîne de Markov si pour tout x0

Chaînes de Markov

a) est évident : pour n = 0 1Xn=k = 1 Pk-p.s. et les autres termes de la somme sont tous nuls (n < ?k). b) Calculons le j-ième terme (?k P)j du vecteur ligne

1 Définition

est une chaîne de Markov si pour tout n ? 0

CHAÎNES DE MARKOV

Toute matrice de transition vérifie les propriétés suivantes : (1) pour tout couple (x y) de E

Stabilite de la recurrence dune chaine de markov sous ieffet dune

Considkrons une chaine de Markov sur Z rkcurrente et irrtductible

Théorème de limite centrale fonctionnel pour une chaîne de Markov

centrale fonctionnel pour une chaîne de Markov récurrente au sens de a2(s A t) si a est non nul et le processus dégénéré 0 si a est nul. Enfin pour p ...

Chapitre 8 Chaˆ?nes de Markov

fait les cha?nes de Markov sont des processus stochastiques dont l'évolution est régie N . Les termes non nuls de la matrice de transition sont donc.

[PDF] CHAÎNES DE MARKOV - ceremade

notes de cours de “Processus stochastiques” je m'en suis largement inspirée et en ai tiré tous les dessins de graphes pour les chaînes de Markov

[PDF] CHAÎNES DE MARKOV - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Chapitre I Chaînes de Markov 5 1 Définition 5 2 Exemples 7 3 La relation de Chapman-Kolmogorov 9 4 Classification des états

[PDF] Chaînes de Markov - Institut Camille Jordan

1 7 5 Chaînes de Markov avec plusieurs pas de mémoire 37 récurrentes nulles ou de noyau récurrent nul ou transient Preuve :

[PDF] Chapitre 8 Chaˆ?nes de Markov - DI ENS

Pour introduire cette dynamique il faut tenir compte de l'influence du passé ce que font les cha?nes de Markov `a la façon des équations de récurrence dans

[PDF] Chaînes de Markov

Une chaîne de Markov sur X de matrice de transition P est une suite de variables aléatoires (Xn)n2Ndéfinies sur un espace (? b P) et à valeurs dans X telle

[PDF] Chaînes de Markov : théorie et applications

matrice stochastique sur X Une chaîne de Markov de matrice de transition P ou nuls telle que q0 = 0 et pk + qk + rk = 1 pour tout k ? N La chaîne de

[PDF] Chaînes de Markov (et applications)

22 fév 2021 · Idée : Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires dans le temps ou conditionnel- lement au présent le futur ne dépend pas

[PDF] Chaînes de Markov

La loi d'une chaîne de Markov homogène est complètement dé- terminée par la donnée de sa matrice de transition et de la loi de X0 (appelée loi initiale) :

[PDF] Chaines de Markov : compléments

Une cha?ne de Markov est dite irréductible lorsque tous ses états communiquent c'est-`a-dire lorsque pour toute paire d'états (xixj) la probabilité

[PDF] Introduction aux chaines de Markov - CERMICS

Une cha?ne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xnn ? N) qui permet de modéliser l'évolution dynamique d'un syst`eme aléatoire : Xn représente

Comment montrer qu'une chaîne est une chaîne de Markov ?
= P(Xn+1 = yXn = xn). Cette preuve permet de montrer rigoureusement que la marche aléatoire sur Zd est bien une chaîne de Markov. Dans le monde déterministe, cela revient à étudier les suites (xn)n?0 définies par ré- currence de la manière suivante : xn+1 = f(xn,n).
Comment calculer la période d'une chaîne de Markov ?
Cela conduit au calcul suivant : P(X2 = s/X0 = m) = P(X2 = s/X1 = m) · P(X1 = m/X0 = m) + P(X2 = s/X1 = s) · P(X1 = s/X0 = m) = 0,15 · 0,0,55 + 0,15 · 0,1=0,0975. La cha?ne n'est pas périodique comme on peut le voir facilement sur son diagramme en points et fl`eches.
Quel est le principe Sous-jacent de la technique des chaines de Markov ?
Si une chaîne de Markov est irréductible et si son espace d'états est fini, tous ses états sont récurrents positifs. La loi forte des grands nombres est alors en vigueur. Plus généralement, tous les éléments d'une classe finale finie sont récurrents positifs, que l'espace d'états soit fini ou bien infini dénombrable.
La chaîne est dite homogène si on a de plus pour tout k ? N et tout x et y dans E, P(Xk+1 = yXk = x) = P(X1 = yX0 = x).

Chaînes de Markov au lycée

Andreï Markov (1856-1922)

Journées APMEP Metz

Louis-Marie BONNEVAL

Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012

, série S

Problème 1

Bonus et malus en assurance automobile

Un contrat d'assurance automobile comporte trois tarifs de cotisation annuelle : Bas, Intermédiaire, Haut. La première année, l'assuré paye le tarif intermédiaire. S'il n'a pas été responsable d'un accident pendant une année, il passe au tarif inférieur l'année suivante (s'il est déjà au tarif bas, il y reste). S'il a été responsable d'un accident au cours d'une année, il passe au tarif supérieur l'année suivante (s'il est déjà au tarif haut, il y reste). Quelle sera à long terme la répartition des assurés entre les trois catégories de tarif ? La compagnie d'assurance estime à 10 % la probabilité qu'un assuré pris au hasard soit responsable d'un accident au cours d'une année.

Graphe probabiliste

0,1 0,9 0,1

0,9 I H B

0,1 0,9

Notons bn (respectivement in, hn), la probabilité soit au tarif bas (respectivement intermédiaire, haut).

ї35

B B H 0,9 0,1 I I I B H 0,1 0,1 bn in hn 0,9 année n 0,9 H

Début

année n+1 Donc

Arbre :

1 1 1

0,9 0,9

0,1 0,9

0,1 0,1

n n n n n n n n n b b i i b h h i h

Exploration au tableur

ou à la calculatrice nbninhn 0010

10,900,1

20,8100,1800,010

30,8910,0900,019

40,8830,1060,011

50,8900,0980,012

60,8890,1000,011

70,8900,0990,011

80,8900,0990,011

90,8900,0990,011

100,8900,0990,011

Avec les matrices :

1 1 1

0,9 0,9 0

0,1 0 0,9

0 0,1 0,1

nn nn nn bb ii hh soit Pn+1 = T Pn.

Si la suite (Pn) converge vers P, alors

P = TP

Cherchons P = tel que TP = P :

b i h

0,9 0,9

0,1 0,9

0,1 0,1

b i b b h i i h h

81 9 10,890, 0,099, 0,01191 91 91b i h

On en déduit :

De plus b + i + h = 1.

On pourrait chercher des formules explicites pour

bn , in, hn .

De la relation de récurrence Pn+1 = T Pn

on déduit une formule explicite : Pn = Tn P0. Mais pour l'eǆploiter il faudrait expliciter Tn. simple, et ça dépasse largement le programme.

Remarque

Problème 2

Une ronde sur un triangle

Nous sommes au XIVe siècle, dans le château de Poitiers. Il est triangulaire, flanqué d'une tour à chaque angle : Est, Nord, Sud. Partant de la tour Est, la sentinelle fait sa ronde sur le rempart. A chaque angle, pour tromper l'ennemi (et l'ennui), il jette une pièce :

pile, il continue dans le même sens ;

Face, il repart en sens inverse.

Pourra-t-il assurer une surveillance identique dans toutes les directions ? Notons en (respectivement Ȟn, sn), la probabilité

Est (respectivement Nord, Sud).

Ainsi e0 = 1, Ȟ0 = 0, s0 = 0.

Graphe probabiliste :

0,5

0,5 0,5

0,5 N E S 0,5 0,5

ї35

(en supposant la pièce équilibrée) E N S 1/2 1/2 N S E E S 1/2 1/2 en Ȟn sn 1/2

étape n

1/2 N

Début

étape n+1

Donc

Arbre :

1 1 1

0,5 0,5

n n n n n n n n n es es se Q Q

Exploration au tableur

ou à la calculatrice nenȞnsn 0100

100,50,5

20,50,250,25

30,250,3750,375

40,3750,3130,313

50,3130,3440,344

60,3440,3280,328

70,3280,3360,336

80,3360,3320,332

90,3320,3340,334

100,3340,3330,333

110,3330,3330,333

120,3330,3330,333

Avec les matrices :

1 1 1

0 0,5 0,5

0,5 0 0,5

0,5 0,5 0

nn nn nn ee ss

Si la suite (Pn) converge vers P, alors

P = TP

soit Pn+1 = T Pn.

Cherchons P = tel que TP = P :

e s

0,5 0,5

se es es Q Qquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

[PDF] Chaînes de Markov au lycée Dire que TP=P signifie

Comment montrer qu'une chaîne est une chaîne de Markov ?

Comment calculer la période d'une chaîne de Markov ?

Quel est le principe Sous-jacent de la technique des chaines de Markov ?

Chaînes de Markov au lycée

Andreï Markov (1856-1922)

Journées APMEP Metz

Louis-Marie BONNEVAL

Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012

Problème 1

Bonus et malus en assurance automobile

Graphe probabiliste

0,9 I H B

0,1 0,9

ї35

Début

Arbre :

0,9 0,9

0,1 0,9

0,1 0,1

Exploration au tableur

10,900,1

20,8100,1800,010

30,8910,0900,019

40,8830,1060,011

50,8900,0980,012

60,8890,1000,011

70,8900,0990,011

80,8900,0990,011

90,8900,0990,011

100,8900,0990,011

Avec les matrices :

0,9 0,9 0

0,1 0 0,9

0 0,1 0,1

Si la suite (Pn) converge vers P, alors

P = TP

Cherchons P = tel que TP = P :

0,9 0,9

0,1 0,9

0,1 0,1

81 9 10,890, 0,099, 0,01191 91 91b i h

On en déduit :

De plus b + i + h = 1.

On pourrait chercher des formules explicites pour

De la relation de récurrence Pn+1 = T Pn

Remarque

Problème 2

Une ronde sur un triangle

Face, il repart en sens inverse.

Est (respectivement Nord, Sud).

Ainsi e0 = 1, Ȟ0 = 0, s0 = 0.

Graphe probabiliste :

0,5 0,5

ї35

étape n

Début

étape n+1

Arbre :

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

Exploration au tableur

100,50,5

20,50,250,25

30,250,3750,375

40,3750,3130,313

50,3130,3440,344

60,3440,3280,328

70,3280,3360,336

80,3360,3320,332

90,3320,3340,334

100,3340,3330,333

110,3330,3330,333

120,3330,3330,333

Avec les matrices :

0 0,5 0,5

0,5 0 0,5

0,5 0,5 0

Si la suite (Pn) converge vers P, alors