3 Mesures invariantes
Une chaîne de. Markov réversible a même loi sous la probabilité stationnaire
1 Définition
Si (Xn)n est une chaîne de Markov de loi initiale µ et de matrice de transition P alors Markov réversible a même loi
Chapitre 8 Chaˆ?nes de Markov
Définition 8.1.3 On appelle réversible toute cha?ne de Markov de distribution initiale ? (une distribution stationnaire) positive telle que pour tout i
Modèles et algorithmes de réseaux Chaînes de Markov – reversibilité
Soit 1Xtlt?0 une cha?ne de Markov avec l'espace d'états S et la matrice de transition P et la distribution stationnaire ? reversible. Si X0 ? ? alors pour
THÉOR`EMES LIMITES Master MIMSE Bordeaux On consid`ere Xn
Une cha?ne de Markov n'admet pas forcément de mesure reversible mais si c'est le cas il est facile de trouver les mesures reversible pour une chaine de. Markov
Chaînes de Markov.
Une chaîne de Markov de distribution initiale ? et matrice de transition Soit (Xn)n?N chaîne de Markov (µ
Chaˆ?nes de Markov
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Chapitre I - Introduction aux chaines de Markov
Définition I.1.11. On dit qu'une cha?ne de Markov de matrice de transition P ou plus simplement la matrice P
Chapitre 4 Chaˆ?nes de Markov finies.
7 mai 2004 Ceci redémontre l'existence d'un vecteur propre `a coefficients positifs. 2.2 Matrice adjointe chaˆ?nes réversibles. Nous avons déj`a introduit ...
Feuille dexercices 3
Mesures réversibles I. Soit P la matrice de transition d'une chaîne de Markov sur un espace d'états fini ou dénombrable. Une mesure positive ? est dite
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Soit 1Xtlt?0 une cha?ne de Markov avec l'espace d'états S et la matrice de transition P et la distribution stationnaire ? reversible Si X0 ? ? alors pour
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Une chaîne de Markov réversible a même loi sous la probabilité stationnaire lorsque l'on retourne le temps Des parallèles avec l'étude des réseaux
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22 fév 2021 · Soit Q la matrice de transition d'une chaîne de Markov homogène plus µ est une distribution la chaîne de Markov est dite “réversible”
Chapitre8
8.1Lamatricedetransition
auxprobl`emespos´es.Voicilad´enition:
secondmembrede(8.1)ned´ependpasden. 203204CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV
LamatriceP={pij}i,jE,o`u
p ij=P(Xn+1=j|Xn=i) dun´etatversunautre´etat,ona p ij0,et kEp ik=1 estappel´eematricestochastique.C=ABestlamatrice{cij}i,jE,o`ucij=
kEaikbkj.Lanotationx={xi}iE kExkaki. kEaikzk. =P(Xn+1=j1,...,Xn+k=jk|Xn=i)(8.2)P(AB|Xn=i)=P(A|Xn=i)P(B|Xn=i).
du:VoircependantlExercice8.5.1.
deladirectiondutemps.8.1.LAMATRICEDETRANSITION205
Ladistributiondunecmh
n(i)=P(Xn=i).Lar`egledescausestotalesdonnen+1(j)=
iEn(i)pij,cest-`a-dire,sousformema-Tn=T0Pn.(8.3)
autreque p ij(n)=P(Xn+m=j|Xm=i). i1,...,in1Ep
ii1pi1i2···pin1j,P(X0=i0,X1=i1,...,Xk=ik)
etdonc,danslecasdunecmh, probabilit´edelacmh.Donc: noteraPµ(A)=206CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV
R´ecurrencesmarkoviennes
blanc.Pluspr´ecis´ement,L´equationder´ecurrence
X n+1=f(Xn,Zn+1)(8.5) d´enitalorsunecmh. iExplicitement:
p ij=P(f(i,Z1)=j).(8.6)P(Zn=+1)=p,
X n+1=Xn+Zn+18.1.LAMATRICEDETRANSITION207
3010 0 011 1 012 a
10011110
30111111010
33b 3011
212
1 21
21
21
21
212
2 c
Unautomatestochastique
a initial0)0100123100123123010.
seulementdanscettecirconstance.208CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV
commedansleTh´eor`eme8.1.3. X n+1=jsij1 k=0pXnk k=0p Xnk, plusieursreprises. consid´erablementlaport´ee. =P(Zn+1=k|Xn=i), p ij=P(f(i,Z1)=j|X0=i). D´emonstration.Exercice8.5.3.
8.1.LAMATRICEDETRANSITION209
N,soiti+1(ellefut
N. X n+1=Xn+Zn+1, o`uZn{1,+1}etP(Zn+1=1|Xn=i)=i N.Lestermesnonnulsdelamatrice
detransitionsontdonc p i,i+1=Ni N,pi,i1=iN.
Analyse`aunpas
ensembled´etatsAferm´e( jApij=1pourtoutiA)etlestempsmoyensavant X Agagneestu(a)=P(XT=c|X0=a).
12345678910T=11c=a+b
0 aAgagne LaruinedujoueurB
210CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV
u(i)=P(XT=c|X0=i) X 1ic1,
u(i)=pu(i+1)+qu(i1), pr p,sip=q,etuneracine double,r1=1,sip=q=1 i 2.Tenantcomptedes
u(i)=1(q p)i 1(qp)c,
etpourp=q=1 2, u(i)=i c. Danslecasp=q=1
v(i)=ci estdememepourp=q. der´ecurrence m(i)=1+pm(i+1)+qm(i1) conditionsauxfronti`eressont m(0)=0,m(c)=0. 8.1.LAMATRICEDETRANSITION211
m(i1)).Notant y i=m(i)m(i1), ona,pour1ic1, 1=pyi+1qyi
et m(i)=y1+y2+···+yi. 2.Pourcela,onlar´e´ecrit
1=1
2y212y1,
1=1
2y312y2,
1=1
2yi12yi1,
etdonc,ensommant, (i1)=1
2yi12y1,
cest-`a-dire,pour1ic, y i=y12(i1). onobtient m(i)=i(ci). 212CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV
JEUB 40151540
40030151530040
3001515030
150015
00ppp
pp p p pp ppp p q q q q q q qq q qqq qqp qpJEUAAV.A´EGALIT´EAV.B a 1123451qqq
ppp b Tennis:unjeusanslar`egledutie-break
8.1.LAMATRICEDETRANSITION213
deuxi`eme´etaped´ebuteeni, b 1=1,b5=0
et b 2=q+pb3,
b 3=qb2+pb4,
b 4=qb3.
pourp=q, (b1,b2,b3,b4,b5)= 1,q1pq
12pq,q212pq,q312pq,0
i=1p(i)bi,o`up(i)estlaprobabilit´e p(1)=q4(1+4p). Lelecteurpourraterminerlescalculs.
Distributionstationnaire
globale T=TP(8.7)
(i)= jE(j)pji. aplus.Eneet,danscecas, =(i0)pi0i1...pik1ik 214CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV
lacmheststationnaire. transitionest P=1
1 (1)=(1)(1)+(2), (2)=(1)+(2)(1). (1)= +,(2)=+. (i)=(i1) 1i1
N +(i+1)i+1N etpourles´etatsextremes, (0)=(1)1 N,(N)=(N1)1N.
pourobtenir (i)=(0)N i 1= N i=0(i)=(0)N i=0 N i =(0)2N. 8.1.LAMATRICEDETRANSITION215
2: (i)=1 2N N i lescompartimentsaveclaprobabilit´e1 2pourchaquecompartiment.
8.5.10).
lamatricedetransition: P= 01 q 1r1p1 q 2r2p2...
q iripi......... q N1rN1pN1
10 globalepourles´etatsi=0,Nsont: (i)=pi1(i1)+ri(i)+qi+1(i+1), etpourles´etats0etN: (0)=(1)q1,(N)=(N1)pN1 termes,ona,pour2iN1, et (1)q1(0)=0, (2)q2(1)p1=(1)q1(0). 216CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV
Donc,(1)q1=(0),etpour2iN1,
(i)qi=(i1)pi1. Cecidonne
(1)=(0)1 q1, etpour2iN, (i)=(0)p1p2···pi1 q1q2···qi.(8.8) i=0(i)=1(estuneprobabilit´e),ce quidonne, (0)0 1+1 =1.(8.9) Retournementdutemps
par (i)qij=(j)pji,(8.10) estunematricestochastique.Eneet,quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
D´emonstration.Exercice8.5.3.
8.1.LAMATRICEDETRANSITION209
N,soiti+1(ellefut
N. X n+1=Xn+Zn+1, o`uZn{1,+1}etP(Zn+1=1|Xn=i)=iN.Lestermesnonnulsdelamatrice
detransitionsontdonc p i,i+1=NiN,pi,i1=iN.
Analyse`aunpas
ensembled´etatsAferm´e( jApij=1pourtoutiA)etlestempsmoyensavant XAgagneestu(a)=P(XT=c|X0=a).
12345678910T=11c=a+b
0 aAgagneLaruinedujoueurB
210CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV
u(i)=P(XT=c|X0=i) X1ic1,
u(i)=pu(i+1)+qu(i1), pr p,sip=q,etuneracine double,r1=1,sip=q=1 i2.Tenantcomptedes
u(i)=1(q p)i1(qp)c,
etpourp=q=1 2, u(i)=i c.Danslecasp=q=1
v(i)=ci estdememepourp=q. der´ecurrence m(i)=1+pm(i+1)+qm(i1) conditionsauxfronti`eressont m(0)=0,m(c)=0.8.1.LAMATRICEDETRANSITION211
m(i1)).Notant y i=m(i)m(i1), ona,pour1ic1,1=pyi+1qyi
et m(i)=y1+y2+···+yi.2.Pourcela,onlar´e´ecrit
1=1
2y212y1,
1=1
2y312y2,
1=1
2yi12yi1,
etdonc,ensommant,(i1)=1
2yi12y1,
cest-`a-dire,pour1ic, y i=y12(i1). onobtient m(i)=i(ci).212CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV
JEUB40151540
40030151530040
3001515030
150015
00ppp
pp p p pp ppp p q q q q q q qq q qqq qqp qpJEUAAV.A´EGALIT´EAV.B a1123451qqq
ppp bTennis:unjeusanslar`egledutie-break
8.1.LAMATRICEDETRANSITION213
deuxi`eme´etaped´ebuteeni, b1=1,b5=0
et b2=q+pb3,
b3=qb2+pb4,
b4=qb3.
pourp=q, (b1,b2,b3,b4,b5)=1,q1pq
12pq,q212pq,q312pq,0
i=1p(i)bi,o`up(i)estlaprobabilit´e p(1)=q4(1+4p).Lelecteurpourraterminerlescalculs.
Distributionstationnaire
globaleT=TP(8.7)
(i)= jE(j)pji. aplus.Eneet,danscecas, =(i0)pi0i1...pik1ik214CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV
lacmheststationnaire. transitionestP=1
1 (1)=(1)(1)+(2), (2)=(1)+(2)(1). (1)= +,(2)=+. (i)=(i1)1i1
N +(i+1)i+1N etpourles´etatsextremes, (0)=(1)1N,(N)=(N1)1N.
pourobtenir (i)=(0)N i 1= N i=0(i)=(0)N i=0 N i =(0)2N.8.1.LAMATRICEDETRANSITION215
2: (i)=1 2N N i lescompartimentsaveclaprobabilit´e12pourchaquecompartiment.
8.5.10).
lamatricedetransition: P= 01 q 1r1p1 q2r2p2...
q iripi......... qN1rN1pN1
10 globalepourles´etatsi=0,Nsont: (i)=pi1(i1)+ri(i)+qi+1(i+1), etpourles´etats0etN: (0)=(1)q1,(N)=(N1)pN1 termes,ona,pour2iN1, et (1)q1(0)=0, (2)q2(1)p1=(1)q1(0).216CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV
Donc,(1)q1=(0),etpour2iN1,
(i)qi=(i1)pi1.Cecidonne
(1)=(0)1 q1, etpour2iN, (i)=(0)p1p2···pi1 q1q2···qi.(8.8) i=0(i)=1(estuneprobabilit´e),ce quidonne, (0)0 1+1 =1.(8.9)Retournementdutemps
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