3 Mesures invariantes
Une chaîne de. Markov réversible a même loi sous la probabilité stationnaire
1 Définition
Si (Xn)n est une chaîne de Markov de loi initiale µ et de matrice de transition P alors Markov réversible a même loi
Chapitre 8 Chaˆ?nes de Markov
Définition 8.1.3 On appelle réversible toute cha?ne de Markov de distribution initiale ? (une distribution stationnaire) positive telle que pour tout i
Modèles et algorithmes de réseaux Chaînes de Markov – reversibilité
Soit 1Xtlt?0 une cha?ne de Markov avec l'espace d'états S et la matrice de transition P et la distribution stationnaire ? reversible. Si X0 ? ? alors pour
THÉOR`EMES LIMITES Master MIMSE Bordeaux On consid`ere Xn
Une cha?ne de Markov n'admet pas forcément de mesure reversible mais si c'est le cas il est facile de trouver les mesures reversible pour une chaine de. Markov
Chaînes de Markov.
Une chaîne de Markov de distribution initiale ? et matrice de transition Soit (Xn)n?N chaîne de Markov (µ
Chaˆ?nes de Markov
2 janv. 2010 2.6 Cha?nes de Markov réversibles . ... de taille N. Une cha?ne de Markov sur X de matrice de transition P est une suite. (X0X1
Chapitre I - Introduction aux chaines de Markov
Définition I.1.11. On dit qu'une cha?ne de Markov de matrice de transition P ou plus simplement la matrice P
Chapitre 4 Chaˆ?nes de Markov finies.
7 mai 2004 Ceci redémontre l'existence d'un vecteur propre `a coefficients positifs. 2.2 Matrice adjointe chaˆ?nes réversibles. Nous avons déj`a introduit ...
Feuille dexercices 3
Mesures réversibles I. Soit P la matrice de transition d'une chaîne de Markov sur un espace d'états fini ou dénombrable. Une mesure positive ? est dite
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Soit 1Xtlt?0 une cha?ne de Markov avec l'espace d'états S et la matrice de transition P et la distribution stationnaire ? reversible Si X0 ? ? alors pour
[PDF] Chapitre 8 Chaˆ?nes de Markov - DI ENS
Définition 8 1 3 On appelle réversible toute cha?ne de Markov de distribution initiale ? (une distribution stationnaire) positive telle que pour tout i
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5 3 4 Graphe associé à une chaîne de Markov homogène 8 1 Mesures stationnaires et réversibles large/proba09/ENSmarkov pdf 2009
[PDF] 1 Définition
Une chaîne de Markov réversible a même loi sous la probabilité stationnaire lorsque l'on retourne le temps Des parallèles avec l'étude des réseaux
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matrice stochastique sur X Une chaîne de Markov de matrice de transition P est une trajectoire probabilité réversible pour cette chaîne de Markov
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Une chaîne de Markov est un processus aléatoire (Xn)n2N réversible donc invariante sur N pour la matrice de transition de (Xn)n2N qui sera de
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5 6 3 Le cas réversible On dit alors que (Xn)n?0 est une chaîne de Markov de loi initiale ? et de famille de noyaux de transition (pn(··))n?0
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4 mai 2020 · (Xn)n?0 est une chaîne de Markov (noté CM) de matrice de est une probabilité réversible (donc invariante) ~jflegall/IPPA2 pdf
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Définition I 1 11 On dit qu'une cha?ne de Markov de matrice de transition P ou plus simplement la matrice P est réversible par rapport `a la probabilité
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22 fév 2021 · Soit Q la matrice de transition d'une chaîne de Markov homogène plus µ est une distribution la chaîne de Markov est dite “réversible”
Modeles et algorithmes de reseaux
Cha^nes de Markov { reversibilite
Ana Busic
Inria Paris - DI ENS
http://www.di.ens.fr/ ~busic/Paris, Octobre 2018
Cha^nes de Markov reversibles
SoitfXtgt0une cha^ne de Markov avec l'espace d'etats S=fs1;:::;snget la matrice de transitionP. Une distribution de probabilitessurSest dite reversible si pour touti;j2 f1;:::;ng, iPi;j=jPj;i:Theorem Siest une distribution reversible, alors elle est aussi une distribution stationnaire.Demonstration.Pour toutj2 f1;:::;ng, on a
j=jn X i=1P j;i=nX i=1 jPj;i=nX i=1 iPi;j:Cha^nes de Markov reversibles
SoitfXtgt0une cha^ne de Markov avec l'espace d'etats S=fs1;:::;snget la matrice de transitionP. Une distribution de probabilitessurSest dite reversible si pour touti;j2 f1;:::;ng, iPi;j=jPj;i:Theorem Siest une distribution reversible, alors elle est aussi une distribution stationnaire.Demonstration.Pour toutj2 f1;:::;ng, on a
j=jn X i=1P j;i=nX i=1 jPj;i=nX i=1 iPi;j:Cha^nes de Markov reversibles
SoitfXtgt0une cha^ne de Markov avec l'espace d'etats S=fs1;:::;snget la matrice de transitionP. Une distribution de probabilitessurSest dite reversible si pour touti;j2 f1;:::;ng, iPi;j=jPj;i:Theorem Siest une distribution reversible, alors elle est aussi une distribution stationnaire.Demonstration.Pour toutj2 f1;:::;ng, on a
j=jn X i=1P j;i=nX i=1 jPj;i=nX i=1 iPi;j:Temps inverse
Theorem
SoitfXtgt0une cha^ne de Markov avec l'espace d'etatsSet la matrice de transitionPet la distribution stationnairereversible.SiX0, alors pour toutk2Net toussi0;si1;:::;sik2S,
P(X0=si0;X1=:::;Xk=sik) =P(X0=sik;X1=sik1;:::;Xk=si0):La probabilite d'un chemin dans un sens est egale a la probabilite du
m^eme chemin dans le sens inverse.Exemple : processus de naissance et de mort
Matrice de transitionPtelle que :
IPi;j>0 sijijj= 1,
IPi;j= 0 sijijj 2.
Notons par
i=Q i1 k=1Pk;k+1Q i1 k=1Pk+1;k:Alors,
= (1;:::;n) = (1;:::;n)=(nX i=1 i) est une distribution de probabilites reversible.Exemple : marche aleatoire sur un graphe
Un grapheG= (V;E) avec les sommetsV=fv1;:::;vnget les ar^etesE=fe1;:::;emg. Soitdile degre du sommetvi.Un marcheur qui est au sommetvia l'instanttchange sa position pour
un sommet voisin deviavec la m^eme probabilite pour tous les voisins.Matrice de transitionP: P i;j= 1=di;si(vi;vj)2E et sinonPi;j= 0.Alors, = (d1;:::;dn)=(nX i=1d i) est une distribution de probabilites reversible.Exemple : marche aleatoire sur un graphe
Un grapheG= (V;E) avec les sommetsV=fv1;:::;vnget les ar^etesE=fe1;:::;emg. Soitdile degre du sommetvi.Un marcheur qui est au sommetvia l'instanttchange sa position pour
un sommet voisin deviavec la m^eme probabilite pour tous les voisins.Matrice de transitionP: P i;j= 1=di;si(vi;vj)2E et sinonPi;j= 0.Alors, = (d1;:::;dn)=(nX i=1d i) est une distribution de probabilites reversible.Exemple : marche aleatoire sur un graphe
Un grapheG= (V;E) avec les sommetsV=fv1;:::;vnget les ar^etesE=fe1;:::;emg. Soitdile degre du sommetvi.Un marcheur qui est au sommetvia l'instanttchange sa position pour
un sommet voisin deviavec la m^eme probabilite pour tous les voisins.Matrice de transitionP: P i;j= 1=di;si(vi;vj)2E et sinonPi;j= 0.Alors, = (d1;:::;dn)=(nX i=1d i) est une distribution de probabilites reversible.Exemple : marche aleatoire sur un graphe
Un grapheG= (V;E) avec les sommetsV=fv1;:::;vnget les ar^etesE=fe1;:::;emg. Soitdile degre du sommetvi.Un marcheur qui est au sommetvia l'instanttchange sa position pour
un sommet voisin deviavec la m^eme probabilite pour tous les voisins.Matrice de transitionP: P i;j= 1=di;si(vi;vj)2E et sinonPi;j= 0.Alors, = (d1;:::;dn)=(nX i=1d i) est une distribution de probabilites reversible.Processus en temps retourne
Processus en temps retourne
SoitfXtgun processus stationnaire et irreductible. On construitfXtgen inversant le temps : X t=XtRemarque :n'est pas important, il determine uniquement l'origine pour le processus retourne.Applications
I Permet de mieux comprendre les proprietes d'un processus. I Le processus de departs des les plus facile a analyser. Les preuves plus elegantes. I Parfois plus facile de "deviner" la forme de la loi stationnaire.Processus en temps retourne
En general,fXtgest dierent defXtg.
Exemple :
p rocessuscyclique. Loi stationnaire Thm. Supp oseque fXtga la distribution stationnaire,i=P(Xt=i).AlorsfXtga aussi une loi stationnaireet
=Preuve.ietirepresentent les proportions de temps quefXtgetfXtg passent en etati. Cette proportion ne depend pas de la direction du temps.Processus en temps retourne
En general,fXtgest dierent defXtg.
Exemple :
p rocessuscyclique. Loi stationnaire Thm. Supp oseque fXtga la distribution stationnaire,i=P(Xt=i).AlorsfXtga aussi une loi stationnaireet
=Preuve.ietirepresentent les proportions de temps quefXtgetfXtg passent en etati. Cette proportion ne depend pas de la direction du temps.Processus en temps retourne
En general,fXtgest dierent defXtg.
Exemple :
p rocessuscyclique. Loi stationnaire Thm. Supp oseque fXtga la distribution stationnaire,i=P(Xt=i).AlorsfXtga aussi une loi stationnaireet
=Preuve.ietirepresentent les proportions de temps quefXtgetfXtg passent en etati. Cette proportion ne depend pas de la direction du temps.Temps discret
Prop. Le p rocessusretourn e:::;Xn+1;Xn;Xn1;:::d'une cha^ne de Markov stationnaire en temps discret:::;Xn1;Xn;Xn+1;:::est aussi une cha^ne de Markov stationnaire.Les probabilites de transitions sont
P i;j=P(Xn=jjXn+1=i) =jPj;i i:Processus reversible
Def.Si les p rocessusfXngetfXngsont statistiquement
non-distinguables, on dit quefXngestr eversible(en temps). (Xt1;Xt2;:::;Xtn)(Xt1;Xt2;:::;Xtn) pour toutn,ett1;:::;tn. Intuitivement : un spectateur ne peut pas dire si le "lm" est projete en avant ou en arriere.CMH reversible
p i;j=pi;j;8i;j, i.e.ipi;j=jpj;i;8i;jEquations de balance detaillee :
les ots de p robabiliteentre deux etats sont en equilibre.IBalance detaillee)balance globale
I Si les conditions de balance detaillee sont veriees pour un vecteur positif et tel queP ii<1, alorsnormalise tel queP ii= 1 est la loi stationnaire. I Mais balance globale6)balance detaillee (tous les processus deMarkov ne sont pas reversibles).
Exemple : les arbres sont reversibles
Prop. Si une CMH est reversible, alo rsson graphe de tra nsitionest symetrique.Prop.Si le graphe de tra nsitionnon-o riented'une CMH est un a rbre, alors le processus reversible.Preuve.En utilisant la propriete suivante (en exercice) Pour une CMH avec espace d'etatsS, les equations d'equilibre global (P=) sont equivalentes a : 8IS;P i2IP j62IiPi;j=P i2IP j62IjPj;i:Cor.T ousles CMH de naissance et de mo rtsont r eversibles.Exemple : les arbres sont reversibles
Prop. Si une CMH est reversible, alo rsson graphe de tra nsitionest symetrique.Prop.Si le graphe de tra nsitionnon-o riented'une CMH est un a rbre, alors le processus reversible.Preuve.En utilisant la propriete suivante (en exercice) Pour une CMH avec espace d'etatsS, les equations d'equilibre global (P=) sont equivalentes a : 8IS;P i2IP j62IiPi;j=P i2IP j62IjPj;i:Cor.T ousles CMH de naissance et de mo rtsont r eversibles.Exemple : les arbres sont reversibles
Prop. Si une CMH est reversible, alo rsson graphe de tra nsitionest symetrique.Prop.Si le graphe de tra nsitionnon-o riented'une CMH est un a rbre, alors le processus reversible.Preuve.En utilisant la propriete suivante (en exercice) Pour une CMH avec espace d'etatsS, les equations d'equilibre global (P=) sont equivalentes a : 8IS;P i2IP j62IiPi;j=P i2IP j62IjPj;i:Cor.T ousles CMH de naissance et de mo rtsont r eversibles.Exemple : les arbres sont reversibles
Prop. Si une CMH est reversible, alo rsson graphe de tra nsitionest symetrique.Prop.Si le graphe de tra nsitionnon-o riented'une CMH est un a rbre, alors le processus reversible.Preuve.En utilisant la propriete suivante (en exercice) Pour une CMH avec espace d'etatsS, les equations d'equilibre global (P=) sont equivalentes a : 8IS;P i2IP j62IiPi;j=P i2IP j62IjPj;i:Cor.T ousles CMH de naissance et de mo rtsont r eversibles.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] chaine de markov exemple
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