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ANALYSE. COURS DE MATHÉMATIQUES. PREMIÈRE ANNÉE. Exo7 L'outil central abordé dans ce tome d'analyse ce sont les fonctions.
Exercices de mathématiques - Exo7
le cours d'analyse. [007201]. Exercice 159. Soit f : E ? F soit ?f la relation d'équivalence sur E dont les classes d'équivalence sont les fibres de f
Exo7 - Cours de mathématiques
L'outil central abordé dans ce tome d'analyse 1 ce sont les fonctions. Vous en connaissez déjà beaucoup
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Exo7. Suites. 1 Convergence. Exercice 1. Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ?. Correction ?.
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ALGÈBRE. COURS DE MATHÉMATIQUES. PREMIÈRE ANNÉE. Exo7 Analyse. Si f = g + h avec g ?
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Exo7. Développements limités. Corrections d'Arnaud Bodin. 1 Calculs. Exercice 1. Donner le développement limité en 0 des fonctions :.
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QCM DE MATHÉMATIQUES - LILLE - PARTIE 1
Sur le site Exo7 vous pouvez récupérer les fichiers sources. On examine le coefficient de Xn?1 et le coefficient constant.
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Exo7. Fonctions dérivables. 1 Calculs. Exercice 1. Déterminer ab ? R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : f(x) = ? x si 0 ? x ? 1.
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Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. Exercice 1. 1. Montrer que toute fonction périodique et non constante n'admet pas de limite en +?.
Limites de fonctions
1 Théorie
Exercice 11.Montrer que toute fonction périodique et non constante n"admet pas de limite en +¥.
2. Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite finie en +¥. 1.Démontrer que lim
x!0p1+xp1xx =1. 2. Soient m;ndes entiers positifs. Étudier limx!0p1+xmp1xmx n. 3.Démontrer que lim
x!01x (p1+x+x21) =12 Exercice 3Calculer lorsqu"elles existent les limites suivantes a)limx!0x2+2jxjx b)limx!¥x2+2jxjx c)limx!2x24x 23x+2d)limx!psin2x1+cosxe)limx!0p1+xp1+x2x f)limx!+¥px+5px3 g)limx!03p1+x21x
2h)limx!1x1x
n1 Calculer, lorsqu"elles existent, les limites suivantes : lim x!ax n+1an+1x nan; lim x!0tanxsinxsinx(cos2xcosx); 1 lim x!+¥rx+qx+pxpx; lim x!a+pxpapxapx2a2;(a>0)
lim x!0xE1x lim x!2e xe2x 2+x6; lim x!+¥x41+xasin2x;en fonction dea2R.
Calculer :
limx!0x2+sin1x ;limx!+¥(ln(1+ex))1x ;limx!0+x1ln(ex1):Trouver pour(a;b)2(R+)2:
lim x!0+ ax+bx2 1x Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs. 1. lim x!0+x+2x 2lnx 2. lim x!0+2xln(x+px) 3. lim x!+¥x32x2+3xlnx
4. lim x!+¥epx+1x+2 5. lim x!0+ln(3x+1)2x 6. lim x!0+x x1ln(x+1) 7. lim x!¥2x+1lnx3+41x2 8. lim x!(1)+(x21)ln(7x3+4x2+3) 2 9.lim x!2+(x2)2ln(x38) 10. lim x!0+x(xx1)ln(x+1) 11. lim x!+¥(xlnxxln(x+2)) 12. lim x!+¥e xex2x 2x 13. lim x!0+(1+x)lnx 14. lim x!+¥ x+1x3 x 15. lim x!+¥ x3+5x 2+2 x+1x 2+1 16. lim x!+¥ ex+1x+2 1x+1 17. lim x!0+ln(1+x) 1lnx 18. lim x!+¥x (xx1)x (xx) 19. lim x!+¥(x+1)xx x+1 20. lim x!+¥xpln(x2+1)1+ex3 Indication pourl"exer cice1 N1.Raisonner par l"absurde. 2.Montrer que la limite est la borne supérieure de l"ensemble des v aleursatteintes f(R).Indication pourl"exer cice2 NUtiliser l"expression conjuguée.
Indication pour
l"exer cice3 NRéponses :
1. La limite à droite v aut+2, la limite à gauche2 donc il n"y a pas de limite.2.¥
3. 4 4. 2 5. 12 6. 0 7. 13 en utilisant par exemple quea31= (a1)(1+a+a2)poura=3p1+x2. 8. 1nIndication pour
l"exer cice4 N1.Calculer d"abord la limite de f(x) =xkakxa.
2. Utiliser cos 2x=2cos2x1 et faire un changement de variableu=cosx. 3.Utiliser l"e xpressionconjuguée.
4.Di visernumérateur et dénominateur par
pxapuis utiliser l"expression conjuguée. 5.On a toujours y16E(y)6y, posery=1=x.
6.Di visernumérateur et dénominateur par x2.
7.Pour a>4 il n"y a pas de limite, poura<4 la limite est+¥.Indication pourl"exer cice5 NRéponses : 0;1e
;e: 1.Borner sin
1x 2. Utiliser que ln (1+t) =tm(t), pour une certaine fonctionmqui vérifiem(t)!1 lorsquet!0. 3.Utiliser que et1=tm(t), pour une certaine fonctionmqui vérifiem(t)!1 lorsquet!0.Indication pourl"exer cice6 NRéponse:
pab.4Correction del"exer cice1 N1.Soit p>0 la période: pour toutx2R,f(x+p) =f(x). Par une récurrence facile on montre :
8n2N8x2Rf(x+np) =f(x):
Commefn"est pas constante il existea;b2Rtels quef(a)6=f(b). Notonsxn=a+npetyn= b+np. Supposons, par l"absurde, quefa une limite`en+¥. Commexn!+¥alorsf(xn)!`. Mais f(xn) =f(a+np) =f(a), donc`=f(a). De même avec la suite(yn):yn!+¥doncf(yn)!`et f(yn) =f(b+np) =f(b), donc`=f(b). Commef(a)6=f(b)nous obtenons une contradiction. 2. Soit f:R!Rune fonction croissante et majorée parM2R. NotonsF=f(R) =ff(x)jx2Rg:
Fest un ensemble (non vide) deR, notons`=supF. CommeM2Rest un majorant deF, alors`<+¥. Soite>0, par les propriétés du sup il existey02Ftel que`e6y06`. Commey02F, il existe x02Rtel quef(x0) =y0. Commefest croissante alors:
8x>x0f(x)>f(x0) =y0>`e:
De plus par la définition de`:
8x2Rf(x)6`:
Les deux propriétés précédentes s"écrivent:8x>x0`e6f(x)6`:
Ce qui exprime bien que la limite defen+¥est`.Correction del"exer cice2 NGénéralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes de racines carrées, il est utile de faire
intervenir "l"expression conjuguée": papb=(papb)(pa+pb)pa+pb =abpa+pb Les racines au numérateur ont "disparu" en utilisant l"identité(xy)(x+y) =x2y2.Appliquons ceci sur un exemple :
f(x) =p1+xmp1xmx n (p1+xmp1xm)(p1+xm+p1xm)x n(p1+xm+p1xm)1+xm(1xm)x
n(p1+xm+p1xm) 2xmx n(p1+xm+p1xm)2xmnp1+xm+p1xm
Et nous avons
lim x!02p1+xm+p1xm=1: Donc l"étude de la limite defen 0 est la même que celle de la fonctionx7!xmn.Distinguons plusieurs cas pour la limite defen 0.
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