livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
ANALYSE. COURS DE MATHÉMATIQUES. PREMIÈRE ANNÉE. Exo7 L'outil central abordé dans ce tome d'analyse ce sont les fonctions.
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Année 2020
QCM DE MATHÉMATIQUES-LILLE-PARTIE2Répondre en cochant la ou les cases correspondant à des assertions vraies
(et seulement celles-ci). Ces questions ont été écrites par Abdellah Hanani et Mohamed Mzari de l"université de Lille. Ce travail a été effectué en 2019 dans le cadre d"un projet Liscinumporté par l"université de Lille et Unisciel.Ce document est diffusé sous la licenceCreative Commons - BY-NC-SA - 4.0 FR.
Sur le site Exo7 vous pouvez récupérer les fichiers sources. 1Table des matières
I Algèbre
41 Systèmes d"équations linéaires
41.1 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 1
41.2 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 2
71.3 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 3
81.4 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 4
162 Espaces vectoriels
182.1 Espaces vectoriels | Niveau 1
182.2 Espaces vectoriels | Niveau 2
192.3 Espaces vectoriels | Niveau 3
222.4 Espaces vectoriels | Niveau 4
232.5 Base et dimension | Niveau 1
262.6 Base et dimension | Niveau 2
272.7 Base et dimension | Niveau 3
292.8 Base et dimension | Niveau 4
322.9 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 1
342.10 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 2
352.11 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 3
363 Applications linéaires
363.1 Applications linéaires | Niveau 1
363.2 Applications linéaires | Niveau 2
373.3 Applications linéaires | Niveau 3
393.4 Applications linéaires | Niveau 4
403.5 Noyau et image | Niveau 1
403.6 Noyau et image | Niveau 2
413.7 Noyau et image | Niveau 3
433.8 Noyau et image | Niveau 4
464 Calcul matriciel
494.1 Calcul matriciel | Niveau 1
494.2 Calcul matriciel | Niveau 2
514.3 Calcul matriciel | Niveau 3
544.4 Calcul matriciel | Niveau 4
554.5 Inverse d"une matrice | Niveau 1
584.6 Inverse d"une matrice | Niveau 2
584.7 Inverse d"une matrice | Niveau 3
604.8 Inverse d"une matrice | Niveau 4
625 Applications linéaires et matrices
635.1 Matrice d"une application linéaire | Niveau 1
635.2 Matrice d"une application linéaire | Niveau 2
675.3 Matrice d"une application linéaire | Niveau 3
715.4 Matrice d"une application linéaire | Niveau 4
762
II Analyse82
6 Primitives des fonctions réelles
836.1 Primitives | Niveau 1
836.2 Primitives | Niveau 2
866.3 Primitives | Niveau 3
946.4 Primitives | Niveau 4
1007 Calculs d"intégrales
1057.1 Calculs d"intégrales | Niveau 1
1057.2 Calculs d"intégrales | Niveau 2
1087.3 Calculs d"intégrales | Niveau 3
1127.4 Calculs d"intégrales | Niveau 4
1208 Développements limités
1248.1 Opérations sur les DL | Niveau 1
1248.2 Opérations sur les DL | Niveau 2
1268.3 Opérations sur les DL | Niveau 3
1298.4 Opérations sur les DL | Niveau 4
1368.5 Applications des DL | Niveau 1
1388.6 Applications des DL | Niveau 2
1398.7 Applications des DL | Niveau 3
1428.8 Applications des DL | Niveau 4
1459 Equations différentielles
1489.1 Equations du premier ordre | Niveau 1
1489.2 Equations du premier ordre | Niveau 2
1499.3 Equations du premier ordre | Niveau 3
1509.4 Equations du premier ordre | Niveau 4
1539.5 Equations du second ordre | Niveau 1
1569.6 Equations du second ordre | Niveau 2
1589.7 Equations du second ordre | Niveau 3
1599.8 Equations du second ordre | Niveau 4
16110 Courbes paramétrées
16210.1 Courbes paramétrées | Niveau 1
16210.2 Courbes paramétrées | Niveau 2
16310.3 Courbes paramétrées | Niveau 3
16410.4 Courbes paramétrées | Niveau 4
1663
Première partie
AlgèbreSystèmes d"équations linéaires
Abdellah Hanani, Mohamed Mzari
1 Systèmes d"équations linéaires
1.1 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 1
Question 1
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :xy+z=0 xyz=03x+2y+z=0.
Quelles sont les assertions vraies?
[Vrai](?),8
:xy+z=05y2z=0
z=0.[Faux](?)admet une infinité de solutions.
[Faux](?)n"admet pas de solution.
[Vrai](?)admet une unique solution.
Explications:L"algorithme de Gauss donne :
(?),8 :xy+z=05y2z=0
z=0.Donc(?)admet une unique solution :(0,0,0).
Question 2
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :x+2y+z=0 x+z=0 x+y=0.Quelles sont les assertions vraies?
4[Vrai](?),§y=x
z=x. [Vrai]L"ensemble des solutions de(?)est une droite.[Faux](?)n"admet pas de solution.
[Faux](?)admet une unique solution.
Explications:
(?),§y=x z=x. L"ensemble des solutions de(?)est la droite :f(x,x,x);x2Rg.Question 3
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :xy+2z=12x+2y4z=2
3x3y+6z=3.
Quelles sont les assertions vraies?
[Vrai](?),xy+2z=1.
[Vrai]L"ensemble des solutions de(?)est un plan.[Faux](?)n"admet pas de solution.
[Faux](?)admet une unique solution.
Explications:(?),xy+2z=0. L"ensemble des solutions de(?)est un plan.Question 4
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :x+yz=2 x+y+z=02x+z=1.
Quelles sont les assertions vraies?
[Vrai](?),8
:x+yz=2 y=1 z=1.[Faux](?)admet une infinité de solutions.
[Faux](?)n"admet pas de solution.
[Vrai](?)admet une unique solution.
5Explications:
(?),8 :x+yz=2 y=1 z=1.Donc(?)admet une unique solution :(0,1,1).
Question 5
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :xy+z=12x3y+4z=1
y+z=1.Quelles sont les assertions vraies?
[Vrai](?),8
:xy+z=1 y2z=1 z=0. [Vrai]Les équations de(?)sont celles de trois plans.[Vrai](?)admet une unique solution.
[Faux](?)n"admet pas de solution.
Explications:
(?),8 :xy+z=1 y2z=1 z=0.Donc(?)admet une unique solution :(2,1,0).
Question 6
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :xy+z=12x3y+4z=1
x2y+3z=1.Quelles sont les assertions vraies?
[Faux](?),§xy+z=1
y2z=1.[Faux](?)admet une infinité de solutions.
[Faux](?)admet une unique solution.
[Vrai](?)n"admet pas de solution.
6Explications:
(?),8 :xy+z=1 y2z=1 y2z=0,8 :xy+z=1 y2z=1 0=1.Donc(?)n"admet pas de solution.
1.2 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 2
Question 7
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :x+y+z=1 x y+z=0 xy=1.Quelles sont les assertions vraies?
[Faux](?)est un système d"équations linéaires.[Vrai](?),8
:z=2x y=1+x x y+z=0.[Faux](?)admet une unique solution.
[Vrai](?)admet deux solutions distinctes.
Explications:(?)n"est pas un système d"équations linéaires. (?),8 :z=1xy y=1+x x y+z=0,8 :z=2x y=1+x x(x1) =0.Donc(?)admet deux solutions :(0,1,0)et(1,2,2).
Question 8
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :x+y+z=12x+yz=1
3x+y3z=3
x2z=2.Quelles sont les assertions vraies?
[Vrai](?),§x+y+z=1
y+3z=3. [Vrai]L"ensemble des solutions de(?)est une droite. 7[Faux](?)n"admet pas de solution.
[Faux](?)admet une unique solution.
Explications:
(?),§x+y+z=1 y+3z=3. L"ensemble des solutions de(?)est la droite :f(2+2z,33z,z);z2Rg.1.3 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 3
Question 9
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z,t)2R4et de paramètres des réels a,b,cetd: (?)8 :x+y=a y+z=b z+t=c t+x=d.Quelles sont les assertions vraies?
[Faux](?),8
:x+y=a y+z=b z+t=c. [Vrai](?)admet une solution si et seulement sia+c=b+d. [Faux](?)admet une solution si et seulement sia+b=c+d.[Vrai]Le rang de(?)est 3.
Explications:
(?),8 :x+y=a y+z=b z+t=c0=b+dac.
On en déduit que sia+c6=b+d,(?)n"admet pas de solution et que sia+c=b+d,(?) en admet une infinité.Question 10
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3et de paramètres des réels non nuls et distinctsa,betc: (?)8 :ax+ay+bz=b bx+by+cz=c cx+cy+az=a.Quelles sont les assertions vraies?
[Vrai](?),8
:ax+ay+bz=b (acb2)z=acb2 (a2bc)z=a2bc. 8[Faux](?)n"admet pas de solution.
[Faux](?)admet une solution si et seulement sia26=bc.[Vrai](?)admet une infinité de solutions.
Explications:Commea,betcsont des réels non nuls, (?),8 :ax+ay+bz=b (acb2)z=acb2 (a2bc)z=a2bc. D"autre part,a,b,csont des réels distincts, on vérifie quea26=bcoub26=ac. Par consé- quent,(?)admet une infinité de solutions :f(x,x,1);x2Rg.Question 11
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3et de paramètre un réelm: (?)8 :x+y+z=1 x+2y+3z=12x+3y+4z=m.
Quelles sont les assertions vraies?
[Faux](?),§x+y+z=1
y+2z=m. [Faux]Pour tout réelm,(?)admet une solution.[Vrai]Sim=1,(?)n"admet pas de solution.
[Vrai]Sim=0, l"ensemble des solutions de(?)est une droite.Explications:
(?),8 :x+y+z=1 y+2z=2 y+2z=m+2,8 :x+y+z=1 y+2z=2 0=m. On en déduit que sim6=0,(?)n"admet pas de solution et que sim=0, l"ensemble des solutions de(?)est la droite :f(3+z,22z,z);z2Rg.Question 12
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3et de paramètre un réelm: (?)8 :xyz=1 x+2ymz=32xy+(m1)z=2m+2.
Quelles sont les assertions vraies?
9[Vrai](?),8
:xyz=1 y(m+1)z=2 (m+1)z=m+1. [Faux]Pour tout réelm,(?)admet une infinité de solutions.[Faux]Sim=1,(?)n"admet pas de solution.
[Vrai]Sim6=1,(?)admet une unique solution.
Explications:
(?),8 :xyz=1 y(m+1)z=2 y+(m+1)z=2m,8 :xyz=1 y(m+1)z=2 (m+1)z=m+1. Sim=1,(?)admet une infinité de solutions :f(1+z,2,z);z2Rg.Sim6=1,(?)admet une unique solution :(1+m,1+m,1).
Question 13
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z,t)2R4et de paramètres des réels aetm: (?)8 >>:xzt=0 x+y+z=a2x+yz=m
xmzt=a x+y+t=m.Quelles sont les assertions vraies?
[Vrai](?),8
:xzt=0 yt=a z+3t=ma (1m)z=a. [Faux]Sim=1 eta=0,(?)admet une unique solution. [Vrai]Sim6=1 etaun réel quelconque,(?)admet une unique solution. [Faux]Sim6=1 eta6=0,(?)admet une infinité de solutions.Explications:
(?),8 :xzt=0 yt=a y+z+2t=m (1m)z=a,8 :xzt=0 yt=a z+3t=ma (1m)z=a.Si m=1 eta6=0,(?)n"admet pas de solution.
Si m=1 eta=0,(?)admet une infinité de solutions.Si m6=1,(?)admet une unique solution.
10Question 14
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3et de paramètre un réelm: (?)8 :x+y+mz=1 x+my+z=1 mx+y+z=1.Quelles sont les assertions vraies?
[Faux](?),8
:x+y+mz=1 (m1)y+(1m)z=0 (1m)z=1m. [Vrai]Sim=1,(?)admet une infinité de solutions.[Vrai]Sim=2,(?)n"admet pas de solution.
[Faux]Sim6=1,(?)admet une unique solution.
Explications:
(?),8 :x+y+mz=1 (m1)y+(1m)z=0 (1m)y+(1m2)z=1m,8 :x+y+mz=1 (m1)y+(1m)z=0 (1m)(2+m)z=1m. Si m=1,(?),x+y+z=1 admet une infinité de solutions.Si m=2,(?)n"admet pas de solution.
Si m6=1 etm6=2,(?)admet une unique solution.
Question 15
On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z,t)2R4et de paramètre un réel m: (?)8 :x+y+z+mt=1 x+y+mz+t=1 x+my+z+t=1 mx+y+z+t=1.Quelles sont les assertions vraies?
[Vrai](?),8
:x+y+z+mt=1 (m1)y+(1m)t=0 (m1)z+(1m)t=0 (1m)(3+m)t=1m. [Vrai]Sim=1,(?)admet une infinité de solutions.[Faux]Sim=3,(?)admet une unique solution.
[Faux]Sim6=1,(?)admet une unique solution.
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