[PDF] Chapitre 5 Opérateurs compacts

View - Download Chapitre 5 Opérateurs compacts

Previous PDF

Next PDF

Chapitre 5Op´erateurs compacts5.1 Applications lin´eaires compactesD´efinition 5.1.1SoientEetFdeux espaces de Banach; une application lin´eaire

continueT? L(E,F)est ditecompactesi l"imageT(

BE)par l"applicationTde

la boule unit´e ferm´ee

BEde l"espaceEestrelativement compacte(en norme)

dansF. On noteK(E,F)l"ensemble des applications lin´eaires compactes deE dansF. On poseK(E) =K(E,E).

La proposition suivante donne des propri´et´es fondamentales de stabilit´e des op´erateurs

compacts. Proposition 5.1.1SoientEetFdeux espaces de Banach; l"ensembleK(E,F) est un sous-espace vectoriel ferm´e deL(E,F). SoientE,FetGdes espaces de Banach,S? L(E,F)etT? L(F,G); siSouTest compacte alorsTSest compacte. En particulier,K(E)est un id´eal bilat`ere deL(E). Preuve :Il est clair que siT? K(E,F) etλ?K, alorsλT? K(E,F). Soient maintenantT1etT2deux applications lin´eaires compactes deEdansF, et consid´erons les ensemblesA1=T1(

BE),A2=T2(BE) etA= (T1+T2)(BE);

il est clair que A est contenu dansA1+A2, donc il est relativement com- pact d"apr`es une proposition des pr´erequis sur le compacts. Ceci montre que K(E,F) est un sous-espace vectoriel deL(E,F). Supposons queT? L(E,F) 33

34CHAPITRE 5. OP´ERATEURS COMPACTS

soit adh´erent `aK(E,F). Pour toutε >0 donn´e, on peut trouverScompacte telle que?T-S?< ε; il en r´esulte que tout point deT(

BE) est approch´e

`aεpr`es par un point du compactK=

S(BE), doncTest compact. Mon-

trons pour finir les propri´et´es de composition. SupposonsS? L(E,F) com- pacte; siK?Fest compact et contient l"imageS(

BE), alorsT(K) est com-

pact et contient l"imageTS(

BE), doncTSest compacte. Pour l"autre cas, re-

marquons que l"imageS(

BE) est contenue dans la boule deFde centre 0 et

de rayonr=?S?; siK?Gest compact et contient l"image parTde la boule unit´e deF, alorsrKest compact et contient l"image parSTde BE. Remarque 5.1.1Il est clair que tout op´erateurTde rang fini est compact : en effet, l"ensembleT( BE)est alors un ensemble born´e d"un espace vectoriel de di- mension finie. D"apr`es le r´esultat pr´ec´edent, toute limiteTen norme d"op´erateur d"une suite(Tn)nd"op´erateurs de rang fini est compacte. C"est une m´ethode assez efficace pour v´erifier que certains op´erateurs sont compacts. Proposition 5.1.2SoientEetFdeux espaces de Banach etT? L(E,F); notons

BEla boule unit´e ferm´ee deE.

SupposonsTcompact; alors pour toute suite(xn)nde points deEconvergeant faiblement vers0la suite(T(xn))nconverge en norme vers0. Preuve :SupposonsTcompact, et soitKun compact deFcontenantT( BE); l"identit´e, deKmuni de la topologie de la norme, dansKmuni de la topologie faible est continue; commeKest compact, c"est un hom´eomorphisme. Comme

Test continu de

BEmuni de la topologie faible dansKmuni de la topologie faible, il en r´esulte queTest continu de

BEfaible dansFmuni de la norme.

Si (xn)nest une suite qui converge faiblement vers 0 dansE, via le th´eor`eme de Banach-Steinhauss, elle est born´ee dansE, donc (T(xn))ntend vers 0 en norme par ce qui pr´ec`ede.

5.1. APPLICATIONS LIN´EAIRES COMPACTES35

Th´eor`eme 5.1.1SoitEun espace de Banach. PourT? L(H), les assertions suivantes sont ´equivalentes

1.T? K(E);

2.T?? K(E?).

Preuve :Tout d"abord, rappelons queT?est d´efini grˆace `a la relation suivante : ?T?x?,x?=?x?,Tx?, pour toutx??E?etx?E. Ainsi ?T?x??= sup ce qui prouve en particulier la continuit´e deT?comme application lin´eaire deE? dansE?. Supposons `a pr´esentT? K(E) et montrons queT?? K(E?). Soit (fn)n≥1une suite de la boule unit´e ferm´e deE?. Nous voulons montrer que l"on peut extraire une sous-suite convergente. Dans le cas o`u l"espace de d´epart est hilbertien, on peut donner des ca- ract´erisations plus pr´ecises de la compacit´e. Th´eor`eme 5.1.2SoitHun espace de Hilbert etT? L(H); notons

BHla boule

unit´e ferm´ee deH. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

1. l"op´erateurTest adh´erent (en norme d"op´erateur) `a l"espace des applica-

tions lin´eaires continues de rang fini;

36CHAPITRE 5. OP´ERATEURS COMPACTS

2. l"op´erateurTest compact deHdansH;

3. l"ensembleT(

BH)est compact (en norme) dansH;

4. pour toute suite(xn)de points deHconvergeant faiblement vers0, la suite

(T(xn))nconverge en norme vers0;

5. pour tout syst`eme orthonormal(en)n≥0dansHonlimn→∞?T(en)?= 0.

Preuve :1.?2.: c"est une cons´equence imm´ediate du fait queK(H) est ferm´e pour la norme op´erateur.

2.?3.: commeHest un espacer´eflexif, la boule unit´e ferm´ee deHest

faiblement compact. CommeTest compact, pour toute suite (xn)nde

BH, il

existe une sous-suite (T(xnk))kconvergente versy? H. Nous allons montrer que y?T( BH). Comme (xnk)kest dansBHqui est faiblement compact, il existe une sous-suite (xnkl)klconvergeant faiblement versx?

BH. Alors pour toutz? H,

on a ?xnkl,T?(z)? → ?x,T?(z)?=?T(x),z?, et ?xnkl,T?(z)?=?T(xnkl),z? → ?y,z?.

On a doncT(x) =y, prouvant queT(

BH) est compact (en norme) dansH.

3.?4.: soit (xn)nune suite deHconvergeant faiblement vers 0. Alors (xn)nest

born´ee. En effet, posonsTn:H → H,Tn(x) =?x,xn?. AlorsTnest une applica- tion lin´eaire continue de norme?xn?tel que pour toutx? H, limn→∞|Tn(x)|=

0. D"apr`es le th´eor`eme de Banach-Steinhaus, sup

n?Tn?= supn?xn?<∞. Quitte `a diviser par une constante, on peut supposer que la suite (xn)nest dans BH. Ainsi il existe une sous-suite (T(xnk)kconvergente en norme vers disons z. Mais comme (xn)nconverge faiblement vers 0, on a aussi?xnk,T?(z)? →0 et?xnk,T?(z)?=?T(xnk),z? → ?z?2. Ainsi (T(xnk)k→0. Ceci prouve que la seule valeur d"adh´erence (pour la norme) de la suite (T(xn))nest 0, et donc ?T(xn)? →0 d`es que (xn)ntend faiblement vers 0.

5.2. TH´EORIE SPECTRALE DES OP´ERATEURS COMPACTS37

4.?5.: toute suite orthonormale (en)nest une suite convergeant faiblement

vers 0. En effet, pour touty? H,? |?y,en?| →0 pour touty? H.

5.?1.: supposons que 1.ne soit pas v´erifi´e. Il existe alorsε >0 tel que pour

toute application lin´eaire continue de rang finiRon ait?T-R?> ε. Construisons alors par r´ecurrence surnun syst`eme orthonormal (en)n≥0tel que?T(en)?> ε pour toutn≥0 : comme?T?> ε, il existee0?Etel que?e0?= 1 et ?T(e0)?> ε; supposonsekconstruit pourk < net soitPle projecteur orthogo- nal sur le sous-espace deEengendr´e par{ek:k < n}; alorsTPest de rang fini donc?T-TP?> ε; il existe doncyn?Etel que ?T(IdE-P)(yn)?> ε?yn? ≥ε?(IdE-P)(yn)?. On pose alorszn= (IdE-P)(yn), puisen=?zn?-1zn. On a alors?T(en)?= ?zn?-1?T(zn)?> ε, prouvant que 5.n "est pas v´erifi´e.

5.2 Th´eorie spectrale des op´erateurs compacts

Cette th´eorie est pour l"essentiel la cr´eation du math´ematicien hongrois F. Riesz, aux alentours de 1910. Le th´eor`eme de Riesz est l"undes points-cl´es de cette th´eorie. Lemme 5.2.1SoitEun espace de Banach; pour tout sous-espace vectorielL de dimension finie deE, il existe un projecteur continuPdeEsurL, c"est `a dire qu"il existe un sous-espace ferm´eFtel queE=L?F. Preuve :Soit (e1,···,en) une base deLet soit (e?1,···,e?n) la base duale pour le dualL?; par le th´eor`eme de Hahn-Banach, on peut prolonger chaqueforme lin´eairee?jen une forme lin´eaire continuex?j?E?. Il suffit alors de poser ?x?E, P(x) =n? j=1x j(x)ej,

38CHAPITRE 5. OP´ERATEURS COMPACTS

et de poser pour finirF= ker(P). Lemme 5.2.2SoitK? L(E)un op´erateur compact, et posonsT=IdE-K; siFest un sous-espace ferm´e deEtel queTsoit injectif deFdansE, il existe une constantec >0telle que?T(x)? ≥c?x?pour toutx?F; il en r´esulte que l"imageT(F)est ferm´ee. Preuve :En cas contraire, on pourrait trouver une suite (xn)ndeFde vecteurs de norme 1 telle que?T(xn)? →0. PuisqueKest compact, on peut trouver une sous- suite (xnk)ktelle queK(xnk) converge; maisT(xnk) =xnk-K(xnk) tend vers 0, doncxnkconverge vers un vecteurx?F(puisqueFest ferm´e) tel que ?x?= 1, et `a la limiteT(x) = 0, ce qui contredit l"hypoth`eseTinjectif surF. D´esignons parT1la restriction deT`aF; on a vu dans le chapitre pr´ec´edent que la minoration?T1(x)? ≥c?x?(pour toutx?F, et avecc >0) implique que Im(T1) =T(F) est ferm´ee. En effet, si (T(xnk))kest de Cauchy, il en est de mˆeme pour (xnk)k. Proposition 5.2.1SoitK? L(E)un op´erateur compact, et posonsT=IdE- K; le noyau deTest de dimension finie et l"imageT(E)est ferm´ee. On remarquera, en utilisant la formule du binˆome et la propri´et´e d"id´eal de K(E), queTn= (IdE-K)nest de la formeIdE-Kn, avecKncompact, donc les images deTnsont ferm´ees pour toutn≥0 (et leurs noyaux sont de dimension finie). Preuve :Le noyau deTest le sous-espace propre de l"op´erateur compactK pour la valeur propre 1, il est donc de dimension finie d"apr`es le th´eor`eme de Riesz. SoitFun sous-espace ferm´e deEtel queE=ker(T)?F; alorsTest injectif surF, doncT(E) =T(F) est ferm´ee.

5.2. TH´EORIE SPECTRALE DES OP´ERATEURS COMPACTS39

Lemme 5.2.3SiFetGsont deux sous-espaces vectoriels deE, avecFferm´e etF?G,F?=G, on peut trouver pour toutε?]0,1[un vecteury?Gtel que ?y?= 1etd(y,F)>1-ε. PuisqueF?=G, on peut trouver un premier vecteury0?G\F. PuisqueF est ferm´e ety0??F, on aδ=d(y0,F)>0. On peut trouverx0?Ftel que α=?y0-x0?< δ/(1-ε). Alorsy=α-1(y0-x0)?Gconvient. Lemme 5.2.4SoitK? L(E)un op´erateur compact, et posonsT=IdE-K; il ferm´es deEtelle que F n?Fn+1,Fn?=Fn+1etT(Fn+1)?Fn pour toutn≥0(resp :n <0).

Preuve :

Traitons le casn≥0, le casn <0 est identique. Supposons au contraire queFn?=Fn+1pour toutn≥0; d"apr`es le lemme pr´ec´edent, on peut trouver pour toutn≥0 un vecteurxn+1?Fn+1tel que?xn+1?= 1 et dist(xn+1,Fn)>1-ε. PuisqueT(Fn+1)?Fn?Fn+1etK=IdE-T, on aK(Fn+1)?Fn+1. Soient alorsk,?deux entiers tels que 0< k < ?; le vecteur T(x?) est dansF?-1etK(xk)?Fk?F?-1, doncT(x?) +K(xk)?F?-1, donc ?x?-(T(x?) +K(xk))? ≥dist(x?,F?-1)>1-ε. Mais cette quantit´e est ´egale `a?K(x?)-K(xk)?. L"imageK(

BE) contiendrait

donc une suite infinie de points dont les distances mutuellesseraient≥1-ε, ce qui contredirait la compacit´e deK.

40CHAPITRE 5. OP´ERATEURS COMPACTS

Corollaire 5.2.1SoitK? L(E)un op´erateur compact, et posonsT=IdE-K; la suite croissante des noyaux(ker(Tn))n≥0est stationnaire. La suite d´ecroissante des images(Im(Tn))n≥0est stationnaire.

Preuve :

PosonsFn= ker(Tn). On a bienFnferm´e,Fn?Fn+1et de plusT(Fn+1)?Fn pour toutn≥0; si la suite n"´etait pas stationnaire, elle contrediraitle lemme pr´ec´edent. Pour le cas des images on poseraF-n= Im(Tn) pourn≥0; on a vu pr´ec´edemment (cf. Proposition 5.2.1) que toutes ces images sont ferm´ees. Corollaire 5.2.2SoitK? L(E)un op´erateur compact, et posonsT=IdE-K; siTest surjectif, alorsker(T) = 0; siTest injectif, alorsIm(T) =E.

Preuve :

Si l"op´erateurTest surjectif et si ker(T)?={0}, on montre par r´ecurrence que ker(Tn)?= ker(Tn+1) pour toutn≥1 : six?ker(Tn+1)\ker(Tn), on a T n+1(x) = 0 etTn(x)?= 0. PuisqueTest surjectif, il existeytel queT(y) =x. Il en r´esulte queTn+2(y) =Tn+1(x) = 0 maisTn+1(y) =Tn(x)?= 0. Ceci est impossible quandT=IdE-K, avecKcompact, par le corollaire 5.2.1. SiTest injectif etT(E)?=E, on v´erifie que Im(Tn+1)?= Im(Tn) pour toutn≥

0, ce qui est `a nouveau impossible quandT=IdE-K, avecKcompact, de nou-

veau par le corollaire 5.2.1. SiFest un sous-espace vectoriel ferm´e deE, on appellecodimensiondeF la dimension du quotientE/F(finie ou +∞). SiFest de codimension finien, on peut trouver un sous-espace vectorielGde dimensionntel queE=F?G, et pour tout sous-espaceG?tel que dim(G?)> n, on aF∩G??={0}. Th´eor`eme 5.2.1 (Alternative de Fredholm)SoientEun espace de Banach etT? L(E)un op´erateur born´e de la formeT=IdE-K, avecKcompact;

5.2. TH´EORIE SPECTRALE DES OP´ERATEURS COMPACTS41

l"image deTest ferm´ee et de codimension finie et l"on a codimIm(T) = dimker(T). Pour un op´erateurT`a image ferm´ee et `a noyau de dimension finie, la diff´erence dimker(T)-codimIm(T)s"appelle l"indice de l"op´erateurTet se noteInd(T). Le th´eor`eme dit queIdE-Kest d"indice nul pour tout op´erateur compactK. Preuve :D"apr`es la proposition 5.2.1, ker(T) est de dimension finie et Im(T) ferm´ee. On doit montrer de plus que dimker(T) = codimT(E), c"est `a dire que l"indice deTest nul. On va proc´eder par r´ecurrence sur la dimension de ker(T). Si dimker(T) = 0, on sait queTest surjectif d"apr`es le corollaire 5.2.2, donc l"indice est nul dans ce cas; on suppose donc quenest un entier>0 et que Ind(T) = 0 pour tout op´erateurT?=IdE-K?o`uKest compact et dimker(T?)< n. SoitT=IdE-KavecKcompact et dimker(T) =n >0; d"apr`es le corollaire 5.2.2, on a Im(T)?=E; soit doncy0??Im(T); on note que Cy0?T(E) est une somme directe. On va construireT?de la formeIdE-K? tel que Ind(T?) = Ind(T) et dimker(T?)42CHAPITRE 5. OP´ERATEURS COMPACTS clair que Im(T?) =Cy0?T(E) a exactement une dimension de plus queT(E), donc codimIm(T) = codimIm(T?) + 1, et Ind(T) = Ind(T?) = 0. Th´eor`eme 5.2.2SoientEun espace de Banach complexe etK? K(E)un op´erateur compact; le spectre deKest fini ou form´e d"une suite tendant vers0. Chaque valeurλ?= 0dansσ(K)est une valeur propre deK, de multiplicit´e finie. Preuve :On va montrer que siλ?= 0 est dans le spectre deK, alorsλest valeur propre deKetλest isol´e dans le spectre deK. En rempla¸cantKparλ-1Kon se ram`ene `a traiterλ= 1. PosonsT=IdE-K; si 1 n"est pas valeur propre deK, l"op´erateurTest injectif, donc surjectif d"apr`es le corollaire 5.2.2,doncIdE-K est inversible et 1 n"est pas dans le spectre deK. Supposons que 1?σ(K), donc 1 est valeur propre; remarquons queTn= (IdE-K)n=IdE-KnavecKncompact (utiliser la formule du binˆome), donc on sait que dimker(Tn) = codimIm(Tn) pour toutn≥0 (pourn= 0, c"est une ´evidence). On a vu qu"il existe un entierktel ker(Tk) = ker(Tk+1), et on peut prendre pourkle plus petit entier v´erifiant cette propri´et´e; on ak≥1 puisque 1 est valeur propre deK; alors ker(T)∩Im(Tk) ={0}, sinon on montre facilement que ker(Tk)?= ker(Tk+1); on aa fortioriker(Tk)∩Im(Tk) ={0}(car sinon kerTk?= kerT2k), et d"apr`es l"´egalit´e dimension-codimension il en r´esulte que

E= ker(Tk)?Im(Tk).

L"espaceEse trouve d´ecompos´e en deux sous-espaces ferm´esT-invariants. La restrictionT2deT`a Im(Tk) est injective, donc c"est un isomorphisme de Im(Tk) sur Im(Tk) d"apr`es le th´eor`eme 5.2.1. La restrictionT1deT`a ker(Tk) est un endomorphisme en dimension finie, dont la seule valeur propre est 0; pour tout λ?= 0,T1-λest donc bijective de ker(Tk) sur ker(Tk), et pourλassez petit, T

2-λest encore un isomorphisme; il en r´esulte queT-λest un isomorphisme

pourλ?= 0 et assez petit, ce qui signifie que 0 est isol´e dans le spectre deT, ou

5.2. TH´EORIE SPECTRALE DES OP´ERATEURS COMPACTS43

encore que 1 est isol´e dans le spectre deK. On en d´eduit que pour toutε >0 il y a un nombre fini de valeurs spectrales telles que|λ|> ε, ce qui permet de ranger les valeurs spectrales non nulles deKdans une suite qui tend vers 0, `a moins que le spectre ne soit fini. Th´eor`eme 5.2.3Pour toute application lin´eairecompacte normaleTd"un espace de Hilbert complexeHdans lui-mˆeme, l"espaceHest somme directe hil- bertienne (orthogonale) de la famille des sous-espaces propres deT. Il en r´esulte queHadmet une base hilbertienne form´ee de vecteurs propres deT. Preuve :Commen¸cons par une remarque : siEest un Hilbert complexe non nul et siSest normal compact surE, il existex?= 0 dansEetμ?Ctels que Sx=μx. En effet, on peut appliquer la formule du rayon spectral `a l"alg`ebre unitaireL(E) (parce queE?={0}) : il existe une valeur spectraleμdeStelle que|μ|=ρ(S) =?S?. Siμ= 0, on aS= 0 et tout vecteurx?Enon nul r´epond `a la question. Siμ?= 0, on sait queμest valeur propre d"apr`es le th´eor`eme 5.2.2. SoientHun espace de Hilbert complexe etT? L(H) une application lin´eaire compacte normale; soitKson spectre; c"est un ensemble fini ou d´enombrable. Pourλ?KnotonsEλ= ker(T-λIdH) l"espace propre deTassoci´e. On va d´emontrer que lesEλ,λ?K, sont deux `a deux orthogonaux, et que le sous- espace engendr´e par lesEλ,λ?K, est dense dansH. On pourra alors consid´erer la somme hilbertienneFdes sous-espaces deux `a deux orthogonaux (Eλ), et on auraF=Hd"apr`es la densit´e de la somme des (Eλ). On rappelle que kerS= kerS?quandSest normal; commeS=T-λIdest normal etS?=T?- λId, on voit queE= ker(T-λId) = ker(T?-λId); il en r´esulte que chaqueEλest stable parTet parT?. Six?Eλety?Eμalors

44CHAPITRE 5. OP´ERATEURS COMPACTS

?T(x),y?=λ?x,y?=?x,T?y?=μ?x,y? ce qui montre que?x,y?= 0 siλ?=μ: les sous-espaces propres deTsont donc deux `a deux orthogonaux. NotonsFle sous-espace ferm´e deHengendr´e par lesEλ, pourλvaleur propre deT(ces espaces sont de dimension finie siλ?= 0; le sous-espaceE0= kerTpeut ˆetre r´eduit `a{0}, ou bien de dimension finie, ou infinie). Puisque chaqueEλest stable parTetT?, on aT(F)?FetT?(F)?F. Il s"ensuit queT(F?)?F?et T ?(F?)?F?. NotonsT1? L(F?) la restriction deT`a l"orthogonal deF. Si l"on avaitE=F??={0},T1serait un op´erateur normal compact surE, qui aurait, d"apr`es la remarque pr´eliminaire, au moins un vecteur proprex?F?,x?= 0 et T

1(x) =T(x) =μxpour un certainμ?C; mais alors on devrait avoirx?F,

puisqueFcontient tous les vecteurs propres deT; on a doncx?F∩F?, ce qui impliquex= 0H, contradiction. On a donc bienF=H. Pour obtenir une base orthonorm´ee deHform´ee de vecteurs propres deT, on rassemble des bases orthonorm´ees de chaque espaceEλ,λ?= 0, qui sont des bases finies, et s"il y a lieu, une base orthonorm´ee du noyauE0.

5.3 Exercices

5.3.1 Premiers exemples d"op´erateurs compacts : shifts

pond´er´es, op´erateurs int´egraux et op´erateur de Vol-quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

[PDF] conversion dpi pixel

[PDF] ensemble compact exemple

[PDF] définition compact maths

[PDF] espace fermé définition

[PDF] convertir photo en basse definition

[PDF] espace compact pdf

[PDF] lexique juridique marocain pdf

[PDF] les lois de la donation au maroc

[PDF] conversion pixel octet

[PDF] habiter un espace de faible densité

[PDF] exo7 matrice exercice

[PDF] habitude alimentaire definition

[PDF] guide de bonnes pratiques d'hygiène en pâtisserie

[PDF] propriété d archimède exercices

[PDF] partie entière inégalité