[PDF] Université Lyon I M1. Groupes classiques et Géométrie





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Chapitre 3 - Espaces métriques compacts

Cette caractérisation sert `a la définition d'un espace compact dans le cadre topologique (sans être nécessairement métrique).



12 Compact sets Definition 12.1. A set S?R is called compact if

Math 320 - November 06 2020. 12 Compact sets. Definition 12.1. A set S?R is called compact if every sequence in S has a subsequence that converges to.



Théorie des Opérateurs1

Si A ? L (H) et B ? K (H) alors AB et BA sont compacts. Définition 4.3 Un opérateur T ? L (H) est dit de rang ni si Im T est de dimension finie; 



Chapitre 5 Opérateurs compacts

Définition 5.1.1 Soient E et F deux espaces de Banach ; une application Remarque 5.1.1 Il est clair que tout opérateur T de rang fini est compact : en.



Chapter 3 Les espaces L

2 mai 2011 3.1 Définition inégalités de Hölder et de Minkowski ... Même si ? est un espace topologique compact



Amphi 2: Suites - Compacité - Connexité

Remise en forme mathématique 2013 Définition. La suite (xn)n?N ... Définition. X est compact si de tout recouvrement de X par des ouverts on.



Cours de Topologie L3-math

Cours de Topologie L3-math 2.1.1 Définition d'une distance exemples et contre-exemples . ... 4.2.2 Caractérisation séquentielle d'un compact.



Chapitre 4 Compacité

Définition 4.1.5. Une partie A d'un espace topologique est quasi-compacte si et seule- ment si tout recouvrement ouvert de A admet un sous-recouvrement 



Université Lyon I M1. Groupes classiques et Géométrie

Définition. Un espace est dit localement compact s'il est séparé et si tout point de cet espace poss`ede un voisinage ouvert `a clôture compacte 



Analyse Fonctionnelle

6.4 Décomposition spectrale des opérateurs autoadjoints compacts . Définition 1.1 Soit E un espace vectoriel sur K. Une norme sur E est une application.



[PDF] Espaces métriques compacts

Définition 3 1 1 On dit qe (Ed) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (Ed) admet une suite extraite convergeant vers un point de E Une 



[PDF] Chapitre 4 Compacité

Définition 4 1 3 Une partie A d'un espace métrique est compacte si et seulement si tout recouvrement ouvert de A admet un sous-recouvrement fini



[PDF] Cours 2 : compacité complétude connexité - Bertrand RÉMY

Par définition de ·? un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?aa]N qui est compact Si de plus X est fermé c'est un fermé dans un compact 



[PDF] MAT311 Cours 2 : Compacité complétude connexité 1

Par définition de ·? un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?aa]N qui est compact Si de plus X est fermé c'est un fermé dans un compact 



[PDF] Compacité - Licence de mathématiques Lyon 1

Définition 3 1 Soit (X d) un espace métrique On dit que (X d) est compact s'il a la propriété suivante : pour toute suite (xn) d'éléments de X 



[PDF] I - Définition et premières propriétés - Agreg-mathsfr

[2] • Une réunion finie de parties compactes est compacte • Une intersection de compacts est compacte 2 - Bolzano-Weierstrass Théo 7 [2](Bolzano 



[PDF] Espaces topologiques compacts

Définition On dira que (X ) est un espace topologique compact si il vérifie: – (X ) est séparé – De tout recouvrement ouvert de X on peut extraire un 



Compacité (mathématiques) - Wikipédia

Axiome de Borel-Lebesgue et définition générale des compactsModifier de E est dite (quasi-)compacte si K muni de la topologie induite est (quasi-)compact



[PDF] Compacité - Unemainlavelautre

Espace topologique compact Définition 1 Un espace topologique séparé (EO) est dit compact si et seulement si de tout re-

Définition 3.1.1 On dit qe (E,d) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (E,d) admet une suite extraite convergeant vers un point de E. Une  Autres questions
  • Qu'est-ce qu'un compact en math ?

    Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute suite généralisée poss? au moins une valeur d'adhérence, autrement dit une sous-suite généralisée convergente. Cette définition équivalente est rarement utilisée. Elle est particulièrement adéquate pour prouver que tout produit de compacts est compact.
  • Qu'est-ce qu'une fonction compacte ?

    On dit que (X, d) est compact s'il a la propriété suivante : pour toute suite (xn) d'éléments de X, il existe une sous-suite (xnk ) qui converge dans X. Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou, plus généralement n'importe quelle partie fermée bornée de R.
  • Qu'est-ce qu'un espace métrique compact ?

    Définition 3.1.1 On dit qe (E,d) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (E,d) admet une suite extraite convergeant vers un point de E. Une partie A de E est dite compacte si le sous-espace métrique (A, d) est compact.
  • Par définition de ·?, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.

Universit´e Lyon I

M1. Groupes classiques et G´eom´etrie.

COMPACITE LOCALE

Voici tout le mat´eriel n´ecessaire pour aborder la compacit´e locale. D´efinition.Un espace est dit localement compact s"il est s´epar´e et si tout point de cet espace poss`ede un voisinage ouvert `a clˆoture compacte. On trouve aussi dans la litt´erature une autre d´efinition : D´efinition.Un espace est dit localement compact s"il est s´epar´e et si tout point de cet espace poss`ede une base de voisinages ouverts `a clˆoture compacte.

Le fait que ces deux d´efinitions co¨ıncident s"appuie fortement sur la s´eparabilit´e.

Proposition.Ces deux d´efinitions sont ´equivalentes. Preuve : Il suffit de montrer que la premi`ere implique la seconde. Soit doncxdansX, localement compact selon la premi`ere d´efinition. SoitVun voisinage ouvert dex. On veut trouver un voisinage compact dexcontenu dansV. SoitUun voisinage ouvert dex`a fermeture compacte, quitte `a prendre l"intersection avec V, on peut supposer queU?V. Supposons construit un voisinage ouvertWdexinclus dansUtel queW?U. Alors,West compact et inclus dansV, ce qui confirmerait la proposition. Montrons donc l"existence d"un tel ouvertW. SoitδUla fronti`ere deU, qui est compacte. Pour toutxi deδU, il existe un ouvertUidexiet un ouvertWidexqui les s´eparent. Le compactδU est recouvert de tous lesUiet donc par un nombre fini de ceux-ci. PosonsWl"intersection finie desWicorrespondant, alorsWest un voisinage ouvert dexet par constructionW n"intersecte pasδU. Il en r´esulteW?U.? R,Cet plus g´en´eralement tout espace de dimension finie sur ces corps sont localement

compacts pour la topologie m´etrique. Cela vient du fait qu"un compact est un ferm´e born´e.

SiXest localement compact, tout ouvertOdeXl"est ´egalement. Cela vient du fait que tout ouvert deOest un ouvert deX; on se ram´ene alors `a la definition de la compacit´e par les recouvrements ouverts. SiXest localement compact, alors tout ferm´e deXl"est ´egalement. Cela vient du fait que l"intersection d"un compact avec un ferm´e est encore compact, puisque c"est un ferm´e dans un compact. Avec ces deux propri´et´es, on peut en faire une troisi`eme: Proposition.SiXest localement compact et siXn?Xn-1?...?X0=Xest une suite d"espaces topologiques tels queXiest soit ferm´e soit ouvert dansXi-1, alorsXnest localement compact.?

La preuve suivante est instructive, `a defaut d"ˆetre efficace (voir une preuve express `a la fin) :

Proposition.Qn"est pas localement compact.

Preuve : SupposonsQlocalement compact. Alors tout point deQaurait un voisinage ouvert `a clˆoture compacte. Choisissons un ouvertUde 0 `a clˆoture compacte. Tout ouvert deUest ´egalement `a clˆoture compacte, donc on peut prendre pourUun intervalle ouvert ]-t,t[∩Q, o`utest un irrationnel (cela forme effectivmeent une base d"ouverts de 0 dansQ). L"ensemble ]-t,t[∩Q= [-t,t]∩Qest `a la fois ouvert et ferm´e dansQcartest irrationnel. Donc,U est compact. Maintenant, on prend une suitexnde rationnels deUtendant verst. C"est une suite dans un compact qui ne poss`ede pas de sous-suite convergente dans le-dit compact, puisque toutes ces sous-suites tendent verst. Ce qui contredit la compacit´e deU.? Voici maintenant de quoi briller en soci´et´e.

Un espace topologique est appel´e espace de Baire s"il v´erifie que toute intersection d´enombrable

d"ouverts denses est encore dense. Le fait qu"on ait besoin dans le cours d"espaces topologiques localement compacts vient entre autres du th´eor`eme. Th´eor`eme.Tout espace localement compact est un espace de Baire. Preuve : Soit donc (Uj) une suite d"ouverts partout denses. Pour prouver que l"intersection est partout dense, il suffit de montrer que, siVest un ouvert non vide quelconque, il existe un point communVet `a tous lesUj. Nous allons construire par r´ecurrence une suite d"ensembles fermesBjv´erifiantB1?U1∩VetBj+1?Uj+1∩◦B j. Il nous suffira alors de montrer que l"intersection desBjest non vide pour avoir le r´esultat. Nous allons exiger que lesBjsoient des compacts d"int´erieur non vide. L"ouvertU1∩V´etant non vide, il est voisinage de l"un quelconque de ses pointsx, et comme l"espace est localement compact, il existeB1un voisinage dexcompact contenu dansU1∩V. On construit de memeBj+1`a partir de ◦B j∩Uj+1. Or, une suite d´ecroissante de compacts non vides `a une intersection non

vide (c"est une cons´equence de la propri´et´e de Borel-Lebesgue), l"intersection desBjest non

vide.? On a une preuve express queQest non localement compact carQn"est pas de Baire. Il suffit de prendre une suiternde tous les nombres rationnels et les ouverts densesXn:=Q\{rn} ont une intersection vide. Notons que l"ensemble des irrationnels n"est pas localement compact alors que c"est un espace

de Baire. Notons pour finir que la locale compacit´e est essentielle pour d´efinir la compacti-

fication d"Alexandroff, c"est `a dire la possibilit´e de prolonger l"espaceXen un espaceXqui est compact.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
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