Chapitre 3 - Espaces métriques compacts
Cette caractérisation sert `a la définition d'un espace compact dans le cadre topologique (sans être nécessairement métrique).
Chapitre 4 Compacité
Définition 4.1.5. Une partie A d'un espace topologique est quasi-compacte si et seule- ment si tout recouvrement ouvert de A admet un sous-recouvrement
Amphi 2: Suites - Compacité - Connexité
Définition. X est compact si de tout recouvrement de X par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini
SIMPLICITY IN COMPACT ABSTRACT THEORIES Introduction
Having defined the framework of compact abstract theories in [Ben03] one turns to develop tools. 2000 Mathematics Subject Classification. 03C95
12 Compact sets Definition 12.1. A set S?R is called compact if
Math 320 - November 06 2020. 12 Compact sets. Definition 12.1. A set S?R is called compact if every sequence in S has a subsequence that converges to.
Cours 2 : continuité et compacité
Définition métrique et caractérisation topologique de la continuité compact de X si (Y dY ) est un espace métrique compact pour la topologie induite.
Théorie des Opérateurs1
Si A ? L (H) et B ? K (H) alors AB et BA sont compacts. Définition 4.3 Un opérateur T ? L (H) est dit de rang ni si Im T est de dimension finie;
Cours de Topologie L3-math
3.4 Théor`eme du point fixe pour les applications contractantes . . . . . . . . . 33. 4 Espaces compacts. 35. 4.1 Définition `a l'aide des recouvrements .
POSITIVE MODEL THEORY AND COMPACT ABSTRACT
If I = n then we write x<n. We are going to define formulas by induction and for each formula ?(x?I) and L- structure M define the
Espaces topologiques compacts
Définition On dira que (X. ) est un espace topologique compact si il vérifie: – (X
[PDF] Espaces métriques compacts
Définition 3 1 1 On dit qe (Ed) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (Ed) admet une suite extraite convergeant vers un point de E Une
[PDF] Chapitre 4 Compacité
Définition 4 1 3 Une partie A d'un espace métrique est compacte si et seulement si tout recouvrement ouvert de A admet un sous-recouvrement fini
[PDF] Espaces topologiques compacts
La compacité est une notion qui tout comme la complètude nous permettra de nous assurer de l'existence de certains objets mathématiques
[PDF] MAT311 Cours 2 : Compacité complétude connexité 1
Par définition de ·? un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?aa]N qui est compact Si de plus X est fermé c'est un fermé dans un compact
[PDF] compacite locale
Définition Un espace est dit localement compact s'il est séparé et si tout point de cet espace poss`ede une base de voisinages ouverts `a
[PDF] despace compact - Licence de mathématiques Lyon 1
4 1 1- DÉFINITION Un espace topologique X est dit compact s'il est répare et si de toute famille (UI);ET d'ouverts de X de réunion X peut extrane une
[PDF] I - Définition et premières propriétés - Agreg-mathsfr
[2] Si X est compact et si (xn) est une suite de E admettant une unique valeur d'adhérence x alors (xn) converge vers x Prop 12 [2] Les parties compactes de
Compacité (mathématiques) - Wikipédia
En topologie on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la NB : En terminologie anglo-saxonne la définition est légèrement
C'est quoi un compact maths ?
Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute suite généralisée poss? au moins une valeur d'adhérence, autrement dit une sous-suite généralisée convergente. Cette définition équivalente est rarement utilisée. Elle est particulièrement adéquate pour prouver que tout produit de compacts est compact.Qu'est-ce qu'une fonction compacte ?
On dit que (X, d) est compact s'il a la propriété suivante : pour toute suite (xn) d'éléments de X, il existe une sous-suite (xnk ) qui converge dans X. Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou, plus généralement n'importe quelle partie fermée bornée de R.Qu'est-ce qu'un espace métrique compact ?
Définition 3.1.1 On dit qe (E,d) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (E,d) admet une suite extraite convergeant vers un point de E. Une partie A de E est dite compacte si le sous-espace métrique (A, d) est compact.- Par définition de ·?, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.
Universit´e Lyon I
M1. Groupes classiques et G´eom´etrie.
COMPACITE LOCALE
Voici tout le mat´eriel n´ecessaire pour aborder la compacit´e locale. D´efinition.Un espace est dit localement compact s"il est s´epar´e et si tout point de cet espace poss`ede un voisinage ouvert `a clˆoture compacte. On trouve aussi dans la litt´erature une autre d´efinition : D´efinition.Un espace est dit localement compact s"il est s´epar´e et si tout point de cet espace poss`ede une base de voisinages ouverts `a clˆoture compacte.Le fait que ces deux d´efinitions co¨ıncident s"appuie fortement sur la s´eparabilit´e.
Proposition.Ces deux d´efinitions sont ´equivalentes. Preuve : Il suffit de montrer que la premi`ere implique la seconde. Soit doncxdansX, localement compact selon la premi`ere d´efinition. SoitVun voisinage ouvert dex. On veut trouver un voisinage compact dexcontenu dansV. SoitUun voisinage ouvert dex`a fermeture compacte, quitte `a prendre l"intersection avec V, on peut supposer queU?V. Supposons construit un voisinage ouvertWdexinclus dansUtel queW?U. Alors,West compact et inclus dansV, ce qui confirmerait la proposition. Montrons donc l"existence d"un tel ouvertW. SoitδUla fronti`ere deU, qui est compacte. Pour toutxi deδU, il existe un ouvertUidexiet un ouvertWidexqui les s´eparent. Le compactδU est recouvert de tous lesUiet donc par un nombre fini de ceux-ci. PosonsWl"intersection finie desWicorrespondant, alorsWest un voisinage ouvert dexet par constructionW n"intersecte pasδU. Il en r´esulteW?U.? R,Cet plus g´en´eralement tout espace de dimension finie sur ces corps sont localementcompacts pour la topologie m´etrique. Cela vient du fait qu"un compact est un ferm´e born´e.
SiXest localement compact, tout ouvertOdeXl"est ´egalement. Cela vient du fait que tout ouvert deOest un ouvert deX; on se ram´ene alors `a la definition de la compacit´e par les recouvrements ouverts. SiXest localement compact, alors tout ferm´e deXl"est ´egalement. Cela vient du fait que l"intersection d"un compact avec un ferm´e est encore compact, puisque c"est un ferm´e dans un compact. Avec ces deux propri´et´es, on peut en faire une troisi`eme: Proposition.SiXest localement compact et siXn?Xn-1?...?X0=Xest une suite d"espaces topologiques tels queXiest soit ferm´e soit ouvert dansXi-1, alorsXnest localement compact.?La preuve suivante est instructive, `a defaut d"ˆetre efficace (voir une preuve express `a la fin) :
Proposition.Qn"est pas localement compact.
Preuve : SupposonsQlocalement compact. Alors tout point deQaurait un voisinage ouvert `a clˆoture compacte. Choisissons un ouvertUde 0 `a clˆoture compacte. Tout ouvert deUest ´egalement `a clˆoture compacte, donc on peut prendre pourUun intervalle ouvert ]-t,t[∩Q, o`utest un irrationnel (cela forme effectivmeent une base d"ouverts de 0 dansQ). L"ensemble ]-t,t[∩Q= [-t,t]∩Qest `a la fois ouvert et ferm´e dansQcartest irrationnel. Donc,U est compact. Maintenant, on prend une suitexnde rationnels deUtendant verst. C"est une suite dans un compact qui ne poss`ede pas de sous-suite convergente dans le-dit compact, puisque toutes ces sous-suites tendent verst. Ce qui contredit la compacit´e deU.? Voici maintenant de quoi briller en soci´et´e.Un espace topologique est appel´e espace de Baire s"il v´erifie que toute intersection d´enombrable
d"ouverts denses est encore dense. Le fait qu"on ait besoin dans le cours d"espaces topologiques localement compacts vient entre autres du th´eor`eme. Th´eor`eme.Tout espace localement compact est un espace de Baire. Preuve : Soit donc (Uj) une suite d"ouverts partout denses. Pour prouver que l"intersection est partout dense, il suffit de montrer que, siVest un ouvert non vide quelconque, il existe un point communVet `a tous lesUj. Nous allons construire par r´ecurrence une suite d"ensembles fermesBjv´erifiantB1?U1∩VetBj+1?Uj+1∩◦B j. Il nous suffira alors de montrer que l"intersection desBjest non vide pour avoir le r´esultat. Nous allons exiger que lesBjsoient des compacts d"int´erieur non vide. L"ouvertU1∩V´etant non vide, il est voisinage de l"un quelconque de ses pointsx, et comme l"espace est localement compact, il existeB1un voisinage dexcompact contenu dansU1∩V. On construit de memeBj+1`a partir de ◦B j∩Uj+1. Or, une suite d´ecroissante de compacts non vides `a une intersection nonvide (c"est une cons´equence de la propri´et´e de Borel-Lebesgue), l"intersection desBjest non
vide.? On a une preuve express queQest non localement compact carQn"est pas de Baire. Il suffit de prendre une suiternde tous les nombres rationnels et les ouverts densesXn:=Q\{rn} ont une intersection vide. Notons que l"ensemble des irrationnels n"est pas localement compact alors que c"est un espacede Baire. Notons pour finir que la locale compacit´e est essentielle pour d´efinir la compacti-
fication d"Alexandroff, c"est `a dire la possibilit´e de prolonger l"espaceXen un espaceXqui est compact.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8[PDF] convertir photo en basse definition
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