[PDF] Amphi 2: Suites - Compacité - Connexité





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Chapitre 3 - Espaces métriques compacts

Cette caractérisation sert `a la définition d'un espace compact dans le cadre topologique (sans être nécessairement métrique).



Chapitre 4 Compacité

Définition 4.1.5. Une partie A d'un espace topologique est quasi-compacte si et seule- ment si tout recouvrement ouvert de A admet un sous-recouvrement 



Amphi 2: Suites - Compacité - Connexité

Définition. X est compact si de tout recouvrement de X par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini



SIMPLICITY IN COMPACT ABSTRACT THEORIES Introduction

Having defined the framework of compact abstract theories in [Ben03] one turns to develop tools. 2000 Mathematics Subject Classification. 03C95



12 Compact sets Definition 12.1. A set S?R is called compact if

Math 320 - November 06 2020. 12 Compact sets. Definition 12.1. A set S?R is called compact if every sequence in S has a subsequence that converges to.



Cours 2 : continuité et compacité

Définition métrique et caractérisation topologique de la continuité compact de X si (Y dY ) est un espace métrique compact pour la topologie induite.



Théorie des Opérateurs1

Si A ? L (H) et B ? K (H) alors AB et BA sont compacts. Définition 4.3 Un opérateur T ? L (H) est dit de rang ni si Im T est de dimension finie; 



Cours de Topologie L3-math

3.4 Théor`eme du point fixe pour les applications contractantes . . . . . . . . . 33. 4 Espaces compacts. 35. 4.1 Définition `a l'aide des recouvrements .



POSITIVE MODEL THEORY AND COMPACT ABSTRACT

If I = n then we write x<n. We are going to define formulas by induction and for each formula ?(x?I) and L- structure M define the 



Espaces topologiques compacts

Définition On dira que (X. ) est un espace topologique compact si il vérifie: – (X



[PDF] Espaces métriques compacts

Définition 3 1 1 On dit qe (Ed) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (Ed) admet une suite extraite convergeant vers un point de E Une 



[PDF] Chapitre 4 Compacité

Définition 4 1 3 Une partie A d'un espace métrique est compacte si et seulement si tout recouvrement ouvert de A admet un sous-recouvrement fini



[PDF] Espaces topologiques compacts

La compacité est une notion qui tout comme la complètude nous permettra de nous assurer de l'existence de certains objets mathématiques



[PDF] MAT311 Cours 2 : Compacité complétude connexité 1

Par définition de ·? un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?aa]N qui est compact Si de plus X est fermé c'est un fermé dans un compact 



[PDF] compacite locale

Définition Un espace est dit localement compact s'il est séparé et si tout point de cet espace poss`ede une base de voisinages ouverts `a 



[PDF] despace compact - Licence de mathématiques Lyon 1

4 1 1- DÉFINITION Un espace topologique X est dit compact s'il est répare et si de toute famille (UI);ET d'ouverts de X de réunion X peut extrane une



[PDF] I - Définition et premières propriétés - Agreg-mathsfr

[2] Si X est compact et si (xn) est une suite de E admettant une unique valeur d'adhérence x alors (xn) converge vers x Prop 12 [2] Les parties compactes de 



Compacité (mathématiques) - Wikipédia

En topologie on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la NB : En terminologie anglo-saxonne la définition est légèrement 

Définition 3.1.1 On dit qe (E,d) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (E,d) admet une suite extraite convergeant vers un point de E. Une  Autres questions

  • C'est quoi un compact maths ?

    Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute suite généralisée poss? au moins une valeur d'adhérence, autrement dit une sous-suite généralisée convergente. Cette définition équivalente est rarement utilisée. Elle est particulièrement adéquate pour prouver que tout produit de compacts est compact.

  • Qu'est-ce qu'une fonction compacte ?

    On dit que (X, d) est compact s'il a la propriété suivante : pour toute suite (xn) d'éléments de X, il existe une sous-suite (xnk ) qui converge dans X. Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou, plus généralement n'importe quelle partie fermée bornée de R.

  • Qu'est-ce qu'un espace métrique compact ?

    Définition 3.1.1 On dit qe (E,d) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (E,d) admet une suite extraite convergeant vers un point de E. Une partie A de E est dite compacte si le sous-espace métrique (A, d) est compact.
  • Par définition de ·?, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.

Amphi 2:

Suites - Compacite - Connexite

Departement de Mathematiques

Ecole polytechnique

Remise en forme mathematique 2013

Departement de Mathematiques,Ecole polytechnique, 2013Amphi 2: Suites - Compacite - ConnexiteSuites Soit (X;d) un espace metrique. Soitx2X, et soit (xn)n2Nune suite d'elements deX.Denition La suite (xn)n2Nestconve rgentede limite xsi la suite de nombres reelsd(xn;x) n2Nconverge vers 0.

On dit aussi que la suite (xn)n2Nconvergevers x.Lorsque (xn)n2Nn'a pas de limite, on dit que la suite (xn)n2N

est divergente (ou enco re( xn)n2Ndiverge).Propriete (de separation) Dans un espace metrique, la limite d'une suite, quand elle existe, est unique. Departement de Mathematiques,Ecole polytechnique, 2013Amphi 2: Suites - Compacite - Connexite

Applications des suites

Proprietes

SoitAX. On noteAson adherence.

Aest l'ensemble des limites des suites deA.Aest ferme,si (xn)n2Nest une suite deAqui converge vers x2Xalorsx2A.Aest dense dansX(i.e.A=X), 8x2X, il existe une suite (an)n2Nd'elements deAtelle que limn!+1an=x.Propriete

Soient (X;d) et (X0;d0) deux espaces metriques etf:X!X0.fest continue,pour toute suite(xn)n2Nqui converge vers

x2Xalorsf(xn)n2Nconverge versf(x).Departement de Mathematiques,Ecole polytechnique, 2013Amphi 2: Suites - Compacite - ConnexiteValeurs d'adherence

Denition

(yn)n2Nest unesous-suite (ou une suite extraite ) de (xn)n2N s'il existe':N!Nstrictement croissante telle que y n=x'(n)pour toutn2N.a2Xest unevaleur d'adh erencede la suite ( xn)n2Ns'il existe une suite extraite de (xn)n2Nqui converge versa.Exemples Une suite convergente a une unique valeur d'adherence, c'est

sa limite.La suite ((1)n)n2Na deux valeurs d'adherence 1 et1.La suite ((1 + (1)n)n)n2Na une unique valeur d'adherence,

c'est 0. Departement de Mathematiques,Ecole polytechnique, 2013Amphi 2: Suites - Compacite - Connexite

Compacite

Denition

Xestcom pactsi de tout recouvrementdeXpar des ouverts, on peut extraire un recouvrement ni, i.e. si (Ui)i2Iest une famille d'ouverts deXtelle queX=[i2IUi alors il existe un ensembleniFItel queX=[i2FUi.Exemple [0;1] est compact.En eet, soit (Ui)i2Iouverts qui recouvrent [0;1]. On pose

W=fm2[0;1] : [0;m] admet un recouvrement ni par desUig.W6=;car9i2Itel que 02Uidonc 02W.West un intervalle de [0;1]. Il est donc de la forme [0;c[ ou [0;c].9i2Itel quec2Ui, doncW= [0;c].Sic<1, il existe ]c";c+"[UicarUiest ouvert, on aboutit a

la contradiction [0;c+"[W.Departement de Mathematiques,Ecole polytechnique, 2013Amphi 2: Suites - Compacite - ConnexiteCompacite

Exemple

]0;1[=S n1]1=n;11=n[ n'a pas de sous-recouvrement ni.Theoreme de Bolzano-Weierstrass Xest compact si et seulement si toute suite d'elements deX admet une sous-suite convergente.Proprietes Soient (X;d) et (X0;d0) deux espace metriques etf:X!X0une application continue. SiXest compact alorsf(X) est un compact deX0etfest

uniformement continue surX.Departement de Mathematiques,Ecole polytechnique, 2013Amphi 2: Suites - Compacite - Connexite

Proprietes des compacts

Une partieAXestb ornees'il existe R>0 etx02X, tel que

AB(x0;R).Propriete

SoitKX. SiKest compact alorsKest ferme et borne.Proprietes

SoitXun compact etFX. AlorsFest compact si et

seulement siFest ferme.SiK1;:::Knsontnparties compactes deXalorsS i2f1;:::;ngKiest compacte.Si (X;d) et (X0;d0) sont deux espace metriques compacts

alorsXX0est compact.Departement de Mathematiques,Ecole polytechnique, 2013Amphi 2: Suites - Compacite - ConnexiteCompacite dansRNOn considere surRNla normek(x1;:::;xN)k1= maxi=1;:::;Njxij:Theoreme

SoitKRN.Kest compact,Kest ferme et borne:En eet, soitKune partie fermee et bornee.Il existea>0 tel queK[a;a]N(Kbornee).[a;a]Nest compact (produit ni de [a;a] qui est compact).Kest ferme dans [a;a]Nqui est compact doncKest compact.Theoreme

Soit (X;d) un espace metrique compact etf:X!Rcontinue. Alors,f est bornee et atteint ses bornes, i.e. il existex0;y02Xtels que sup

x2Xf(x) =f(x0) et infx2Xf(x) =f(y0):Departement de Mathematiques,Ecole polytechnique, 2013Amphi 2: Suites - Compacite - Connexite

Equivalence des normes en dimension nieTheoreme

Toutes les normes deRNsont equivalentes.Soit (e1;:::;eN) la base canonique deRN. SoitNune norme surRN.

On aN(x) =N(NX

i=1x iei)NX i=1jxijN(ei) NX i=1N(ei)

kxk1:En particulierN: (RN;k k1)!(R;j j) est continue.La sphereS=fx2RN:kxk1= 1gest compacte.Il existe doncx02Stel queN(x0) = infx2SN(x)>0.Pour toutx2RN,N(x) N(x0)kxk1.Departement de Mathematiques,Ecole polytechnique, 2013Amphi 2: Suites - Compacite - ConnexiteResume des proprietes en dimension nie

Proprietes

SiEest un espace vectoriel de dimension niealorsToutes les normes deEsont equivalentes.Les notions d'ouverts, de continuite, de limite, de compacite

ne dependent pas du choix de la norme.Une partieKEest compacte si et seulement siKest fermee et bornee.Attention!Tout ceci estfaux en dimension innie, ou toutes les proprietes topologiques dependent du choix de la norme. Departement de Mathematiques,Ecole polytechnique, 2013Amphi 2: Suites - Compacite - Connexite

Connexite

Soit (X;d) un espace metrique.Denition

On dit queXestconnexe si Xsatisfait l'une des trois propositions equivalentes suivantes :1Xne peut pas s'ecrire comme reunion disjointe de deux ouverts non vides.2Xne peut pas s'ecrire comme reunion disjointe de deux fermes non vides.3Sif:X! f0;1gest continue alorsfest constante.Exemples

X= [0;1] est connexe etY= [0;1=2[[]1=2;1[ n'est pas connexe.Departement de Mathematiques,Ecole polytechnique, 2013Amphi 2: Suites - Compacite - ConnexiteProprietes des connexes

Proprietes

SoitAR. AlorsAest connexe si et seulement siAest un intervalle.L'image d'un connexe par une application continue est connexe.L'adherence d'un connexe est connexe. L'union de deux connexes d'intersection non vide est connexe. SiFest un ensemble discret,Aest connexe etf:A!Fest

continue alorsfest constante.Departement de Mathematiques,Ecole polytechnique, 2013Amphi 2: Suites - Compacite - Connexite

Connexite par arcs

Denition

Une partieAdeXest diteconnexe pa ra rcssi deux p ointsaetb deApeuvent ^etre joints par un chemin continu contenu dansA, c'est-a-dire qu'il existe : [0;1]!Acontinu tel que (0) =aet (1) =b.Tout ensemble connexe par arcs est connexe. Attention !La reciproque est fausse en general.Propriete Soit (E;k k) un espace vectoriel norme et soitUEouvert.

AlorsUest connexe si et seulement siUest connexe par arcs.Departement de Mathematiques,Ecole polytechnique, 2013Amphi 2: Suites - Compacite - Connexite

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