[PDF] Cours de Topologie L3-math 3.4 Théor`eme

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Cours de Topologie L3-math

Renaud Leplaideur

Annee 2014-2015

UBO 2

Table des matieres

1 Rappels, preliminaires 5

1.1 Rappels sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Formalisme ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Ensemble et structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Cardinalites, ensembles compliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Cardinal d'un ensemble-Ensemble (non)-denombrable . . . . . . . . 9

1.2.2 Ensembles compliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Espaces metriques 13

2.1 Notions, objets et proprietes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Denition d'une distance, exemples et contre-exemples . . . . . . . 13

2.1.2 Ensembles ouverts, ensembles fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3 Interieur, adherence, ensembles denses . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Suites dans un espace metrique-Espaces complets . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Convergence-divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2 Caracterisation des adherences et des fermes . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3 Caracterisation des interieurs (et des ouverts) . . . . . . . . . . . . 21

2.2.4 Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.5 Application de la completude : le theoreme de Baire . . . . . . . . . 24

3 Continuite-Homeomorphismes 27

3.1 Denition. La continuite preserve la topologie . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Denition. Caracterisation avec les ouverts et les fermes . . . . . . . 27

3.1.2 Images directes d'ouverts ou de fermes . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.3 Notion de topologie. Distances equivalentes . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Homeomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Continuite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Theoreme du point xe pour les applications contractantes . . . . . . . . . 33

4 Espaces compacts 35

4.1 Denition a l'aide des recouvrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.1 Preliminaires : topologie induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.2 Recouvrement d'ouverts, intersections de fermes . . . . . . . . . . . 35

3

4 TABLE DES MATI

ERES

4.1.3 Quelques proprietes des compacts et caracterisations des compacts

deR. Exemple du Cantor triadique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.4 Le Cantor Triadique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2 Compacts et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.1 Valeur d'adherence d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.2 Caracterisation sequentielle d'un compact. Completude des compacts 39

4.3 Compacts et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.1 Image d'un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.3 Uniforme continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Espaces Vectoriels Normes 45

5.1 Normes sur un espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.1 Denition et distance associee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Applications lineaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.1 L'evnL(E;F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.2 Normes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 Compacite et EVN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3.1 Compacite ou non compacite des boules unites . . . . . . . . . . . . 50

5.3.2 Equivalence des normes en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3.3 Application : Partition de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3.4 Un critere de compacite dansC0: theoreme d'Ascoli . . . . . . . . . 52

5.4 EVN complets : espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.4.1 Denition, exemples et une description . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.4.2 Theoreme de Stone-Weirstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.4.3 Series et critere de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6 Espaces connexes 57

6.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.1.1 Un titre a trouver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.1.2 Caracterisation des connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2 Connexes deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.2.1 Les connexes deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.2.2 connexite par arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Chapitre 1

Rappels, preliminaires

1.1 Rappels sur les ensembles

1.1.1 Formalisme ensembliste

Un ensembleEest une collection (eventuellement vide)d'elements. L'ensemble vide se note;. Un ensemble decrit a partir de ses element se note avec des accolades. Pour signier quexest un element deEon ecritx2E. Exemple 1.f0;1;2gdesigne l'ensemble compose des 3 elements, 0, 1 et 2.

On dispose d'operation sur les ensembles :

1. L'intersection,\. SiAetBsont deux ensembles,A\Best l'ensemble des elements

qui appartiennent aAet aB.

2. L'union,[. SiAetBsont deux ensembles,A[Best l'ensemble des elements qui

appartiennent aAou aB(c'est a dire a au moins l'un des deux).

3. L'inclusion,. SiAetBsont deux ensembles, ecrireABsignie que tous les

elements deAsont aussi elements deB. On dit alors queAest unsous-ensemble ou une partiedeB.

4. Le produit,AB, designe l'ensemble descouplesdont la premiere coordonnee est

dansAet la deuxieme dansB, c'est a dire

AB=f(x;y); x2A; y2Bg:

Nier l'inclusion,A6Bsignie queAcontient un element qui n'est pas dansB. Ainsi, ;est inclus dans tout ensemble. L'intersection et l'union peuvent se faire sur une famille quelconque. Ainsi, l'intersec- tion de deux ensembles permet de denir par recurrence l'intersection d'un nombre ni d'ensembles. Mais on peut aussi avoir une intersection (ou une union) innie :

Exemples 2.

n2NAndesigne l'intersection que tous les ensemblesAnc'est a dire x2 \n2NAnsi et seulement si8n; x2An: S x2IAxdesigne l'union desAx, c'est a dire queyappartient a cette union si et seule- ment siyappartient a l'un (au moins) desAx. 5

6 Chapitre 1. Rappels, preliminaires

Exercice 1

1/ Decrire\x2]1;1[[x";x+"] avec" >0 xe.

2/ Decrire[x2]1;1[[x";x+"] avec" >0 xe.

3/ Decrire\x2]";"[[x1;x+ 1] avec" >0 xe.

L'inclusion est une relation d'ordre partielle sur les ensembles. Relation d'ordre signie que

1. l'inclusion est re

exive :AA, .

2. L'inclusion est transitive : siABetBCalorsAC.

3. L'inclusion est antisymetrique : siABetBA, alorsA=B.

Remarque 1.Cette derniere propriete permet de verier dans la pratique l'egalite de deux ensembles. On montre la double inclusion. DireA(Bsignie queAest inclus strictement dansB, c'est a direABetB6A. SiEest un ensemble, on denit un nouvel ensemble, appele ensemble des parties de Eet noteP(E) qui est l'ensemble des sous-ensembles deE. Comme; EetEE, P(E) n'est jamais vide; il contient;etE(si celui-ci n'est pas vide). Sixest un element deE,fxgest unsingleton, c'est a dire un ensemble qui ne contient qu'un unique element, cet element etantx. Ainsifxg E, ce qui s'ecrit aussifxg 2 P(E). On prendra soin de ne pas confondrexetfxg. L'un est un element deE, l'autre un sous-ensemble deE. Exemple 3.Ainsi les ecrituresxEetfxg 2En'ont aucun sens.

Dans ce cours on utilisera souvent des cha^nes d'appartenance du type :x2UAce qui signie quexest un element d'un ensembleUqui est lui un sous-ensemble deA.

Exemple 4.On pourra ecrirex2 fxg E.

Lemme 1.1.1.Soit(Ai)i2Iune famille de sous-ensembles deE. On poseBi:=EnAi.

Alors\

i2IA i=En[ i2IB i Demonstration.Par denition du complementaire un element deEappartient a exacte- ment l'un des ensemblesAiouBi. Direx2 \Aisignie quexest dans tous lesAidonc dans aucunBidonc dans le complementaire de[Bi. Reciproquement, direx2En [Bisignie quexn'est dans aucunBidans dans tous lesAi.1.1.2 Applications

Premieres denitions

Etant donnes deux ensemblesEetF, on appelleapplicationdeEversFtoute operation qui consiste a associer a chaque elementxdeEun element (et un seul) dans

1.1. Rappels sur les ensembles 7

F. Souvent, on donne un nom a l'application, et souvent ce seraf, et l'element associe a xse notef(x). On note aussi f:x7!x pour dire qu'on considere l'applicationf. L'ensembleEest l'ensemble de depart, l'en- sembleFest l'ensemble d'arrivee. Ils ne sont pas necessairement identiques (ni de \m^eme nature"). Sixest un element deEetf:E!Fune application,f(x) s'appellel'imagedex parf. Siyest un element deF(ensemble d'arrivee) et si on ay=f(x), alors on dire que xestunantecedentdeyparx. Sixn'a qu'une seule image, l'elementypeut lui avoir plusieurs antecedents (ou aucun). Une applicationf:E!Fse caracterise par songraphe. Le graphe defest l'ensemble des elements deEFde la forme (x;f(x)). Il est courant de parler d'une application a partir de son expression enxlorsque celle ci existe. C'est cependant unabus de langage source d'erreurs de d'incomprehensions. Exemple 5.On parle dex2pour decrire l'application qui associe a chaquexdeRson carre,x2=x:x. On voit aussiexpourx7!exou encore sin(x) pour l'application sinus ou sin.

On rappelle quef:E!Fest dite :

1.injectivesi chaqueyde l'ensemble d'arrivee aau plusun antecedent parf. Cela

signie aussi que toute paire d'elementsxetx0dierents dansE,f(x)6=f(x0), ou encore, que sif(x) =f(x0), alors (necessairement)x=x0.

2.surjectivesi tout elementyde l'ensemble d'arrivee aau moinsun antecedent par

f.

3.bijectivesi elle est injective et bijective.

Exemple 6.exp une une bijection deRdansR+.x7!x2n'est ni injective ni surjective lorsqu'on la considere comme une application deRversR. Elle est injective si on restreint l'ensemble de depart aR+et surjective si on restreint l'ensemble d'arrivee aR+egalement. Sif:E!Fest une bijection, chaqueydeFadmet un unique antecedent parf.

Cela denit une autre application, inverse def, notee (souvent)f1. Elle verief(x) =y()y=f1(x)Images et preimages d'ensembles

On considere une applicationfdeEversF.

Denition 1.1.2.SiAest une partie deE, l'ensemble des points images parfdes elements deAse notef(A). SiBest une partie deF, l'ensemble des elements deE ayant une image parfdansBse notef1(B). Remarque 2.Il s'agit denotations. Il faut apprendre a distinguerf(x) def(fxg), f

1(y) (valable seulement sifest bijective) etf1(fyg).

Question 1.Les operations ensemblistes\et[sont-elles preservees parf?

8 Chapitre 1. Rappels, preliminaires

On retiendra: les operations ensemblistes ne sont pas necessairement preservees par les images directes mais le sont par les images reciproques :f

1(B\B0) =f1(B)\f1(B0),f

1(B[B0) =f1(B)[f1(B0).1.1.3 Ensemble et structure

Rappels surR

On rappelle que l'ensemble des rationnelsQest strictement inclus dansRet que tout intervalle non vide deRcontient une innite de rationnels et d'irrationnels. On rappelle queRest caracterise par la propriete de la borne superieure : toute partie non vide majoree admet une borne superieure (c'est a dire un plus petit majorant).

Structure

On prendra soin de ne pas confondre un ensembleEavec ce m^eme ensembleEmuni d'un structure. Par exemple l'ensemble des nombres reelsRpeut-^etre muni (ou non) de plusieurs structures :

1.Rest groupe (muni de la loi +).

2.Rest un anneau (muni des lois + et).

3.Rest un corps.

4.Rest unR-espace vectoriel de dimension 1.

5.Rest le complete deQ.

6.Rest unQ-espace vectoriel de dimension innie non-denombrable.

Lorsque l'ensemble est muni d'une structure, on a des operations qui ont du sens, d'autres qui n'en n'ont pas.

Exemple 7.A-t-on l'egalite 2 =42

Oui si on travaille dansQ, non si on travaille dansZ. Plus precisement,42 n'existe pa dansZ. Etant donnes deux ensemblesEetFequipes d'une m^eme structure, on est naturelle- ment amene a etudier les applications allant deEversFet qui preservent la structure, c'est a dire qui transporte la structure surEvers la structure surF. On parle de mor- phisme (qui preserve la forme). Exemple 8.Morphismes de groupes, d'anneaux, de corps, applications lineaires, etc. Dans ce cours, la structure s'appellera une topologie et les applications qui preservent cette structure sont les applications continues. On cherche aussi a caracteriser les morphismes injectifs, surjectifs et bijectifs, et aussi les morphismes bijectifs dont l'application reciproque est aussi un morphisme.

1.2. Cardinalites, ensembles compliques 9

1.2 Cardinalites, ensembles compliques

1.2.1 Cardinal d'un ensemble-Ensemble (non)-denombrable

Lorsqu'un ensemble a un nombre ni d'element, ce nombre s'appelle decardinalde l'ensemble. Les choses deviennent plus compliquees des que l'on passe en cardinalite innie. Denition 1.2.1.Un ensembleEest dit denombrable s'il est en bijection avec une partie deN. Rappelons queNdesigne l'ensemble des entiers naturelsf0;1;2;3;:::g. Avec cette denition un ensemble de cardinalnest denombrable, puisqu'il est en bijection avec f0;:::;n1g. Parfois, la denition de denombrable sous-entend que l'ensemble est de cardinal inni. Lorsque le cardinal est ni, il y a des relations claires entre injection surjection et bijection : il ne peut y avoir de surjection d'un ensemble de cardinalnvers un ensemble de carinalm > n, il ne peut y avoir d'injection d'un ensemble de cardinalnvers un ensemble de cardinalm < net si deux ensembles de cardinal nis sont en bijection, alors ils on tel m^eme cardinal (c'est aussi une condition susante).

Exemples 9.

N,ZetQsont denombrables. Pourtant on aN ( Z ( Q.

Exercice 2

L'ensemblef0;1gNn'est pas denombrable.

Contre-exemple 10.L'ensembleRn'est pas denombrable. Pour le verier, il sut de montrer que l'intervalle [0;1] n'est pas denombrable. Pour montrer cette assertion, on montre que [0;1] contient une copie def0;1gN. Comme ce dernier n'est pas denombrable, alors la proposition est demontree. Pour verier que [0;1] contient une copie def0;1gN, il sut de se souvenir que tout reel s'ecrit en binaire sous la forme x=+1X n=0x n2(n+1); avec lesxidansf0;1g. En fait cetteecriture n'est pas unique, a cause des dyadiques (011111111:::= 100000:::). Mais cet ensemble est denombrable et donc le complementaire ne l'est pas.

1.2.2 Ensembles compliques

Escalier du diable

On peut dissocier les dyadiques en considerant leur ecriture avec des zero a la n ou avec des 1 a la n. Pour cela on introduit un petit intervalle entre les 2 valeurs et on fait decro^tre la taille de cet intervalle en fonction l'ordre du dyadique. Si la decroissance est exponentielle, on recupere un intervalle de longueur nie. Il peut servir pour construire un escalier du diable :

10 Chapitre 1. Rappels, preliminaires

Figure1.1 { Escalier du diable

Peigne de Dirac

L'ensembleQ[0;1] vu dansR2.

courbe de Peano

1.2. Cardinalites, ensembles compliques 11

Fractales

12 Chapitre 1. Rappels, preliminaires

1.3 Objectifs du cours

Question 2.Brest est situe a 500km de Paris. Marseille est situe a 660km de Paris. Le train Brest-Paris met 4h30 (le plus rapide), le Marseille-Paris met 3h20. J'ai rendez-vous avec un collegue marseillais a Paris. Qui est y le plus proche? Question 3.Entre les fonctionsex, lnxetx2, quelles sont les plus proches? Question 4.Suite de fonction qui convergeC0mais pasC1(PhSP). Question 5.distance entre feuilles qui s'accumulent?

Chapitre 2

Espaces metriques

2.1 Notions, objets et proprietes topologiques

2.1.1 Denition d'une distance, exemples et contre-exemples

Espace metrique

SoitEun espace non vide.

Denition 2.1.1.On appelle distance surEtoute applicationd:EE!R+telle que

1. pour toutxet pour touty,d(x;y) =d(y;x),

2.d(x;y) = 0si et seulement six=y,

3. pour toutx;y;z d(x;y)d(x;z) +d(z;y)(inegalite triangulaire).

Un espace equipe d'une distance s'appelle un espace metrique.

Exemples et contre-exemples

DansRla valeur absolue est une distance.

DansR2, la metrique SNCF La distance entreAetBvautAO+OB. La distance entreCetDvautCD. Dans le demi-plan (ouvert) superieure la metrique hyperboliqueH2. SiAetBsont sur la m^eme verticale la distance vaut Z [A;B]dyy 2: Sinon, ils sont necessairement sur un unique cercle centre sur la droitey= 0, et la distance vaut Z _ ABdty 2: Dans l'ensemblef0;1gN. Un elementxest une suite (xn) (on parle aussi de mot inni) de 0 et de 1. La distance \usuelle" est donnee par le temps de concidence/separation : d(x;y) = 2minfk; xk6=ykg: 13

14 Chapitre 2. Espaces metriques

Figure2.1 { Metrique SNCF(0;0)xyz

Figure2.2 { Metrique de Poincare

5.4. EVN complets : espaces de Banach 55

Application : exponentielle de matrice.

On choisitAdansMn(R) muni d'une norme matricielle. On pose e

Adef=+1X

n=0A nn!: Cette serie converge car elle est absolument convergent etMn(R) est un Banach (car de dimension nie). On a en eet

XkAnkn!XkAknn!=ekAk:

Ceci permet de resoudre des systemes dierentiels : Y

0(t) =†

y01(t)... y

0n(t)

=A:† y1(t)... y n(t) ouAest une matricenn. Les solutions sont du typeY(t) =et:AY0.

56 Chapitre 5. Espaces Vectoriels Normes

Chapitre 6

Espaces connexes

6.1 Denition

6.1.1 Un titre a trouver

Denition 6.1.1.Un espace metriqueEest dit connexe siEet;sont les seule spartes a la fois ouvertes et fermees.

Exemples 31.

1-Nous verrons plus loin queRest connexe.

2-f0;1gNn'est pas connexe. En eet toute boule ouverte et aussi fermee. Par exemple

B(01;1).

Proposition 6.1.2.Soit(E;d)un espace metrique. Les proprietes suivantes sont equivalentes :

1.En'est pas connexe.

2. il existe une partition deEen 2 ouverts.

3. Il existe une partition deEen 2 fermes.

Demonstration.SiEn'est pas connexe, il existe une partieA(Enon vide qui est ouverte et fermee. DoncEnAest aussi ouverte et fermee etE=AtEnA. Cela montre

1 =)2 et 1!3.

L'equivalence 2()3 est immediate par passage au complementaire. L'implication 2 =)1 est aussi immediate : siE=AtBavecAetBouverts (et non

vides), alorsAetBsont aussi fermes et doncEn'est pas connexe.Denition 6.1.3.On appelle partie connexe d'un espaceEtoute partie qui munie de la

topologie induite est connexe. On appelle domaine une partie ouverte et connexe. Exemple 32.Il est plus facile (a ce stade) de dessiner des parties non connexes deR2

6.1.2 Caracterisation des connexes

Proposition 6.1.4.Un espace (metrique)Eest connexe si et seulement si toute appli- cation continuef:E! f0;1gest constante 57

58 Chapitre 6. Espaces connexes

Demonstration.Supposons qu'il existef:E! f0;1gcontinue non constante. Alors f

1(f0g) etf1(f1g) forment une partition deEen deux parties non vides. Chacune est

ouverte (ou fermee) comme image reciproque d'un ouvert (ou ferme). Reciproquement, siEn'est pas connexe, on ecritE=AtBavecAetBnon vides et ouvertes. On pose f(x) =8 :1 six2Aquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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