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Theorie des champs

Responsable de publication : Sophie Chouaf

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du copiste et non destinees a une utilisation collective, ainsi que les analyses et courtes citations,

sous reserve que soient indiques clairement le nom de l'auteur et la source. c

Les Presses de l'ENSTA,

Imprime en France

ISBN 978-2-7225-0955-9

www.ensta-paristech.fr

Jer^ome Perez

Theorie des champs

Les equations de la physique

Mecanique analytique

Relativite restreinte et generale

Mecanique quantique

PALAISEAU

LES PRESSES DE L'ENSTA

828, Boulevard des marechaux, 91120 Palaiseau

Table des matieres

Partie I Mecanique analytique

1 L'incroyable legs de Joseph-Louis Lagrange: : : : : : : : : : : : :3

1.1 L'origine

3

1.2 La methode de variation des constantes

4

1.2.1 Ordre 1 : l'idee

4

1.2.2 Ordres superieurs : la generalisation

5

1.3 Application au mouvement de la Lune

7

1.3.1 L'idee de la methode

7

1.3.2 La mise en uvre

8

1.4 Generalisation a tous les problemes de mecanique conservative 12

1.4.1 La construction des equations de Lagrange

12

1.4.2 La n de son uvre.

1 5

1.5 Complements historiques sur la vie, l'uvre de Joseph Louis

Lagrange et son contexte.

1 7

2 Formulation lagrangienne: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :25

2.1 Coordonnees generalisees

2 5

2.2 Principe de moindre action

26

2.2.1 Quelles equations pourL?.. . . . . . . . . . . 2 7

2.2.2 Proprietes du lagrangien

28

2.3 Principe de relativite

30

2.4 Determination de la fonction de Lagrange

3 1

2.4.1 Particule libre

3 1

2.4.2 Systemes conservatifs

3 2

2.4.3 Systemes non conservatifs

35

2.4.4 Lagrangien et mouvement d'un solide

3 8

Table des matieres

2.4.5 Contraintes

41

2.4.6 Lagrangien d'une particule dans un champ electroma-

gnetique 47

2.5 Lagrangien, symetries et lois de conservation

5 0

2.5.1 Symetries

5 0

2.5.2 Theoreme de Noether

51

2.5.3 Trois exemples fondamentaux

52

3 Formulation hamiltonienne: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :57

3.1 Equations de Hamilton

57

3.2 Nature de la fonction de Hamilton

5 9

3.3 Interpretation des equations de Hamilton

6 0

3.4 Systemes dynamiques hamiltoniens

6 3

3.4.1 Crochets de Poisson

6 3

3.4.2 Le choix des coordonnees

7 1

3.4.3 Integrabilite d'un systeme dynamique hamiltonien

7 7

3.4.4 Transformations canoniques et crochets de Poisson

86 Partie II Relativite restreinte et electromagnetisme

4 Relativite restreinte: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :97

4.1 Insusances de la mecanique classique

97

4.2 Transformation de Lorentz

9 9

4.2.1 Nature de la transformation de Lorentz

9 9

4.2.2 Loi de composition des vitesses relativistes

10 2

4.3 Notations quadridimensionnelles

10 3

4.3.1 Le 4vecteur position d'un evenement. . . . . . . 10 4

4.3.2 Un peu de geometrie

1 09

4.3.3 Les 4vecteurs de la physique. . . . . . . . . . 11 5

4.3.4 Les Tenseurs

1 22

4.3.5 Calcul vectoriel dierentiel en relativite restreinte

1 28

5 Principe de moindre action et relativite: : : : : : : : : : : : : : : : :133

5.1 Construction de l'action

13 3

5.1.1 Particule libre

1 33

5.1.2 Particule soumise a des forces

1 34

5.2 Equation de la dynamique relativiste

13 5

5.2.1 Action toujours varie, bien fol est qui s'y e

13 5 VI

Table des matieres

5.2.2 Proprietes du tenseur champ

1 37

5.2.3 Premier groupe d'equations de Maxwell

13 9

5.2.4 Force de Lorentz

14 1

5.3 Sources du champ : 2

emegroupe d'equations de Maxwell. 1 42

5.3.1 Action d'interaction entre un champ et une assemblee

de charges en mouvement 1 42

5.3.2 Action d'auto-interaction du champ

1 43

5.3.3 Invariance de jauge

14 7

5.4 Les equations de Lagrange en relativite restreinte

14 8

5.4.1 Equation de la dynamique d'une particule relativiste

14 8

5.4.2 Les equations du champ

1 50

5.5 Le theoreme de Noether en theorie des champs

15 2

5.5.1 Le theoreme pour un champ scalaire

1 52

5.5.2 Un exemple pour champ de 4{vecteurs

15 2Partie III Theorie du champ de gravitation : Relativite generale

6 Principe d'equivalence: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :157

7 Application du principe d'equivalence: : : : : : : : : : : : : : : : : :161

7.1 Mouvement geodesique

1 61

7.2 Connexion ane et tenseur metrique

1 62

7.3 La connexion ane est-elle un tenseur ?

1 64

7.4 Derivee covariante

1 65

7.4.1 Necessite d'une nouvelle derivee

1 65

7.4.2 Construction

16 6

7.4.3 Proprietes

1 68

7.4.4 Derivee covariante le long d'une courbe

16 9

7.5 Deviation geodesique : Courbure

1 71

7.6 Proprietes de la courbure de Riemann-Christoel

17 2

7.6.1 Symetrie

17 3

7.6.2 Courbure completement covariante

1 73

7.6.3 Contractions : Tenseur de Ricci et courbure scalaire

1 74

7.6.4 Une remarque remarquable

1 75

8 Equations d'Einstein: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :177

8.1 Remarques preliminaires

1 77

8.2 L'action de courbure et sa variation

1 78 VII

Table des matieres

8.3 L'action de matiere et sa variation

18 2

8.3.1 Le tenseur energie-impulsion

1 82

8.3.2 Un petit exemple...

18 5

8.4 Equations du champ gravitationnel

1 86

8.4.1 Courbure = matiere

18 6

8.4.2 Choix de la constante

1 88Partie IV Mecanique quantique et autres crochets

9 Fondements de la mecanique quantique.: : : : : : : : : : : : : : : :195

9.1 Postulats de la mecanique quantique

1 95

9.1.1 Espace des etats de la mecanique quantique

1 95

9.1.2 Grandeurs physiques

19 8 9.1.3 Evolution temporelle. . . . . . . . . . . . . . 2 03

9.1.4 Representation spatiale

2 07

9.2 Formulation de Dirac de la mecanique quantique

21 1

9.2.1 Denitions, proprietes

2 11

9.2.2 Relation de fermeture et applications

21 3

9.2.3 Operateurs

2 14

9.2.4 Observables

2 15

9.2.5 Fonction d'onde

2 19

9.2.6 Commutation, compatibilite et indetermination.

2 22 9.2.7 Evolution temporelle des observables. . . . . . . 2 25

9.3 La mecanique quantique par le theoreme de Noether

2 29

9.3.1 Le lagrangien quantique

2 29

9.3.2 La symetrie du lagrangien quantique

2 32

10 La physique non-dissipative en quelques crochets: : : : : : :235

10.1 Mecanique classique

23 5
10.2 Electromagnetisme. . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7

10.3 Relativite generale

2 39

10.4 Physique statistique et mecanique des

uides

2 40Partie V De la theorie a la pratique

11 Exercices: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :247

VIII

Table des matieres

11.1 Mecanique classique

24 7

11.1.1 Juste pour verier ...

2 47

11.1.2 Pour se faire plaisir

2 47

11.1.3 La cha^ne d'oscillateurs couples

2 48

11.1.4 Le brachystochrone

24 8

11.1.5 Avec contraintes

2 49

11.1.6 Noether tres simple

24 9

11.1.7 De l'harmonique a Kepler

25 0

11.1.8 Lagrange, Hamilton et le champ magnetique

2 50

11.2 Relativites

25 1

11.2.1 Quelques manipulations

25 1

11.2.2 Electromagnetisme tensoriel

25 1

11.2.3

Energie-impulsion d'un

uide parfait.. . . . . . . 25 2

11.2.4 Un point commun entre l'electromagnetisme et la rela-

tivite generale 2 53

11.2.5 Le champ de Schwarzschild

2 54

11.2.6 Une approche lagrangienne du probleme des 2 corps :

classique et relativiste 2 55

11.3 Autour du theoreme de Noether en theorie des champs

25 8

11.3.1 Le courant de Noether

25 8

11.3.2 Symetrie de jauge en electromagnetisme

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