[PDF] [PDF] Trigonométrie et nombres complexes





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Chapitre 1 - Trigonométrie et nombres complexes

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Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications

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Trigonométrie et nombres complexes

On appelle cos(?) et sin(?) les coordonnées de M. On peut définir un nombre complexe (noté avec une barre en dessous) par z=a+j.b.



Nombres complexes et trigonométrie

2.2.3 Calculs de sommes de cosinus et sinus . Si ? est un réel on note ei? le nombre complexe défini par ei? = cos ? + i sin ?. Exemples.



ÉTS

Puisque les fonctions sinus et cosinus sont périodiques un nombre complexe a + bi s'écrit sous la forme polaire générale de la façon suivante:.



Utilisation de la notation complexe pour les quantités harmoniques

1 - Représentation complexe d'une quantité harmonique. Soit un signal harmonique x(t) = A cos(?t + ?). A est l'amplitude du signal ? est sa phase (entre 0 



Trigonométrie. Nombres complexes. (notes de cours)

25 sept. 2017 2.3 Sinus et cosinus d'une somme . ... un bonne maîtrise des formules de trigonométrie et du calcul avec les nombres complexes (y.



Cours délectrocinétique - EC4-Régime sinusoïdal

complexe qui est un outil d'aide à la résolution des équations. Soit un signal sinusoïdal d'expression mathématique x(t) = Xm cos(Êt+„) on lui associe.



Chapitre13 : Fonctions hyperboliques

la fonction ch (cosinus hyperbolique). ‚ On voit tout de suite qu'elle est paire et de classe c8 sur R. MPSI Mathématiques. Analyse réelle et complexe.



Rattrapage dAnalyse Complexe

Soit E = C{?/2 + n? n ? N} et la fonction tangente complexe tan : E ? C donnée par tan(z) = sin z cos z.



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2 sept 2015 · On peut également trouver des formules pour les sommes de cosinus (et/ou sinus tangente) ou pour les cosinus (et/ou sinus tangente) de sommes 



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cos( + ) = cosC ? (? )7 = cos cos(? ) + sin sin(? ) = cos cos ? sin sin - 3e formule : sin( ? ) = cos Z 2 ? ( 



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? Les nombres complexes sont utiles pour le calcul de sommes de cosinus on sinus car mieux vaut considérer des sommes avec exp(i?) qu'avec cos(?) ou sin(?) 



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?? ? R / z = cos(?) + isin(?) On dit que ? est un argument du nombre complexe z Remarques : R 1 Si on a un nombre complexe quelconque z non nul 



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25 sept 2017 · On définit les fonctions circulaires sin cos tan à l'aide du cercle trigonométrique (cercle de rayon 1 orienté dans le sens contraire des 



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cosinus des multiples de ? Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Les nombres complexes



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Remarque : Le module d'un nombre complexe est une distance : c'est donc un On reconnait à partir des valeurs des angles remarquables le cosinus et le



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Le cosinus est donc une ligne trigonométrique qui va avec le sinus ou encore qui est (où i est le nombre complexe tel que i2 = ?1) eix n'est autre que 



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Complexes de module 1 Proposition (Formules d'Euler ) cos(?) = d'addition des cosinus et sinus démontrer les formules suivantes de

  • Comment calculer un angle complexe ?

    Pour mettre sous forme trigonométrique un complexe z=a+ib z = a + i b , on met en facteur le module ?a2+b2 a 2 + b 2 , puis on cherche un angle ? tel que ???cos?=a?a2+b2sin?=b?a2+b2.

  • Quel est la formule du cos ?

    cos x = (1 - tg² x/2) / (1 + tg² x/2)

  • Qu'est-ce que la forme trigonométrique ?

    Théorème – Définition : Tout nombre complexe non nul z s'écrit sous la forme suivante : z = r (cos (?) + i sin (?)) avec r = z et ? = arg (z) [2?] Cette forme est appelée forme trigonométrique du complexe z.
  • Les lignes trigonométriques pour les angles de 0°, 90°, 45°, 30° et 60° peuvent être calculés dans le cercle trigonométrique à l'aide du théorème de Pythagore. La table des cosinus est obtenue en inversant celle des sinus.
cos(θ) =OP=QM sin(θ) =OQ=PM tan(θ) =IR=IR OI =PM OP cos(θ)2+sin(θ)2=1.

1+tan(θ)2=1cos(θ)2,

?π4 ?π3 2 ?2π3 6π 4π 3π

22π3π

cos(θ)1⎷3

2⎷2

21
20-

12-1sin(θ)01

2⎷2

2⎷3

21⎷3

20 tan(θ)0⎷3

31⎷3--

⎷30

π+θ?π-θ?π2

+θ??π2 π2 -θπ2

θ-π2

-θ-π2 cos(a+b) =cos(a)cos(b) -sin(a)sin(b), x 2-

π2-ππ1

2-

π2-ππ1

cos(a-b) =cos(a)cos(b) -sin(a)sin(b). sin(a)sin(b) =12 (cos(a-b) -cos(a+b)). ?π2 +kπ;π2 + (k+1)π? ,k?Z.

Formulaire de Trigonométrie

Angles remarquables :

0π 6 4 3 2 sin01 2 ⎷2 2 ⎷3 21
cos1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 tan0 ⎷3

31⎷3

sin(α) cos(α)α

2-απ2+α

2-π2-α

Angles associés :

cos(-α) =cos(α)sin(-α) =-sin(α)tan(-α) =-tan(α)

Formules fondamentales :

cos2(x) + sin2(x)=11 + tan2(x)=1cos2(x)

Équations trigonométriques de base :

sin(x) = sin(a)?????x=a[2π] ou x=π-a[2π]cos(x) = cos(a)?????x=a[2π] ou x=-a[2π] tan(x) = tan(a)??x=a[π]

Formules d"addition :

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) sin(a+b) =sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)sin(a-b) =sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a) + tan(b)1-tan(a)tan(b)tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1 + tan(a)tan(b)

Formules de duplication :

cos(2a)=cos2(a)-sin2(a) =2cos2(a)-1 =1-2sin2(a) sin(2a) =2sin(a)cos(a) tan(2a)=2tan(a)1-tan2(a)

Formules de multiplication :

cos(a)cos(b)=12(cos(a+b) + cos(a-b)) cos(a)sin(b)=12(sin(a+b)-sin(a-b) sin(a)sin(b) =12(cos(a-b)-cos(a+b)) cos2(a) =12(1 + cos(2a)) sin2(a) =12(1-cos(2a))

Formules de la tangente du demi-

angle :(on poset= tan(x 2)) cos(x)=1-t21 +t2 sin(x) =2t1 +t2 tan(x)=2t1-t2

Formules de Simpson :

sin(p) + sin(q) =2sin?p+q2?cos?p-q2? sin(p)-sin(q) =2cos?p+q2?sin?p-q2? cos(p) + cos(q)=2cos?p+q2?cos?p-q2? cos(p)-cos(q)=-2sin?p+q2?sin?p-q2? 1 x 2-

π2-ππ-

3π23π2

x i 2= -1 z=a+ib,????a,b?R. (a+ib) + (a?+ib?) = (a+a?) +i(b+b?), (a+ib)?(a?+ib?) = (aa?-bb?) +i(ab?+a?b), xy OM ?a b?ab

R? ?? ? ?

????a=a? b=b?. z:=a-ib. z+¯z=2Re(z), z-¯z=2iIm(z). |z|=⎷z

¯z.

z

¯z=a2+b2,

|z|=OM. 1z =1z z¯ z=¯zz

¯z=¯z|z|2.

1z :=¯z|z|2, z=0?|z|=0 |z+z?|?|z|+|z?| |zz?|=|z| |z?|????1z ???=1|z|???zz ????=|z||z?| zn|=|z|n z=|z|(cos(θ) +isin(θ)). cos(θ) =a⎷a

2+b2sin(θ) =b⎷a

2+b2. xy OM ?a ??M??? ?? ????? ??????z? arg(zz?) =arg(z) +arg(z?) [2π] arg?zz =arg(z) -arg(z?) [2π] z=r(cos(θ) +isin(θ)). cos(θ) +isin(θ) =?iθ. z=r(cos(θ) +isin(θ)). ?r?iθ?? r ??iθ?? = (rr?)?i(θ+θ?), r?iθr ??iθ?=rr ??i(θ-θ?), iθ???? ?? ??????1????? ??? ?? ?????? 1z =1r ?-iθ. cos(θ) =?iθ+?-iθ2 z

2=a+ib,??(-z)2=a+ib.

x,y?????? ???? ??? (x+iy)2=a+ib.????? (x2-y2) +2ixy=a+ib. ????x |z|2=?a 2+b2. ?????|z|=?x

2+y2? ?? ???? ???? ???

x

2+y2=?a

2+b2.

2x2=a+?a

2+b2. x=±?a+⎷a 2+b22 ?? x?=0? ?? ???? ????? ?????? y=b2x=±b2 ?2 a+⎷a 2+b2.

2+b2???????

y

2=⎷a

2=|a|,

?? ???? ???y=±?|a|? az

2+bz+c=0.

az

2+bz+c=a(z-z0)(z-z1),

az

2+bz+c=a(z-z0)2.

z- (1+i))2- (1+i)2+2=0. ???(1+i)2=2i? ???? ?? ???????z?C??? ??? z- (1+i))2= -2-2i.

Z=X+iY? ?? ???? ???????

X=?-1+⎷2,??Y=-1?-1+⎷2

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