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Nombres complexes et trigonometrieChapitre 4

1 Ensemble des nombres complexes 2

1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Conjugue d'un nombre complexe . . . . . . . . . .

2

1.3 Module d'un nombre complexe . . . . . . . . . . .

3

2 Nombres complexes de module 1 et trigonometrie 5

2.1 Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . .

5

2.2 Application a la trigonometrie . . . . . . . . . . . .

6

2.2.1 Linearisation des puissances de cosinus et

sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Factorisation par l'angle de l'arc moitie . .

7

2.2.3 Calculs de sommes de cosinus et sinus . . .

7

2.2.4 Polyn^omes de Tchebichev . . . . . . . . . .

7

3 Forme trigonometrique, argument 8

4

Equations algebriques dansC9

4.1 Racines carrees d'un nombre complexe . . . . . . .

9

4.2Equation du second degre a coecients complexes10

5 Racinesn-iemes d'un nombre complexe 11

5.1 Racinesn-iemes de l'unite . . . . . . . . . . . . . .11

5.2 Racinesn-iemes d'un complexe . . . . . . . . . . .12

6 Exponentielle complexe 13

7 Nombres complexes et geometrie plane 13

7.1 Alignement et orthogonalite . . . . . . . . . . . . .

13

7.2 Transformations remarquables du plan . . . . . . .

14

8 Fonctions a valeurs complexes 14

Mathieu Mansuy - Professeur de Mathematiques en superieures PCSI au Lycee Saint Louis (Paris) mansuy.mathieu@hotmail.fr

PCSI5Lycee Saint Louis, Paris

1 Ensemble des nombres complexes

1.1 Denition

Denition.On appelle ensemble desnombres complexeset on noteC, l'ensemble des nombres de la formea+ibou

aetbsont des reels et ouiun element qui veriei2=1. Dans cet ensemble, on denit une loi + et une loipar :

(a+ib) + (a0+ib0) = (a+a0) +i(b+b0) et (a+ib)(a0+ib0) = (aa0bb0) +i(ab0+a0b)Remarque.Rpeut ^etre vu comme un sous-ensemble deCen identiantx2Ravec le nombre complexex+i0.

En particulier, les lois + etdenies surCprolongent l'addition et la multiplication usuelles surR.Soitz2C. Alors il existe un unique couple (a;b)2R2tel quez=a+ib.Propriete 1

Preuve.En eet si (a;b) et (a0;b0) sont tels quez=a+ib=a0+ib0, alors (aa0) =i(b0b). En elevant au carre, on obtient (aa0)2=(b0b)2, et donca=a0etb=b0. Denition.Soitz=a+ib2C. On dit queza pourecriture algebriquea+ibet on denit: ?asapartie reellequ'on noteraRe(z), ?bsapartie imaginairequ'on noteraIm(z).

Sia= 0, on dira quez=ibest imaginaire pure. On noteraiRl'ensemble des imaginaires pures.(1)Soien tz;z02C. Alors:z=z0,Re(z) =Re(z0) etIm(z) =Im(z0).

(2) L'application f: (a;b)7!z=a+ibrealise une bijection deR2surC.Propriete 2 Interpretation geometriqueCette bijection nous permet d'identier leplan complexeau plan usuel muni d'un repere orthonorme direct (O;~i;~j) : On associe az=a+ib2Cun unique pointMdu plan de coordonnees (a;b), et un unique vecteur~vtel que ~v=a~i+b~j. On dit quezest l'axedu pointMet du vecteur~v, et on ecritM(z) et~v(z). On notera que, pourA(z) etB(z0) deux points du plan, l'axe du vecteur~ABestz0z. Exemple.Soitz=a+ib2Ctel quea2+b2= 1. Montrer que siz6= 1, alors1+z1zest un nombre imaginaire pur.

1.2 Conjugue d'un nombre complexe

Denition.Soitz=a+ib2C. On appelleconjuguedezle nombre complexeztel quez=aib.Remarque.Dans le plan complexe, les points imagesM(z) etM0(z) sont donc symetriques par rapport a

l'axe (Ox). 2

PCSI5Lycee Saint Louis, ParisSoientz;z02C. Alors:

(1)z=z(2)z+z0=z+z

0(3)zz0=zz

0:

En particulier, siz06= 0, alors(

zz 0) =z z

0et pour tout2R,z=z.Propriete 3

Preuve.On le montre par un calcul direct pour le produit. Le quotient s'en deduit alors directement.Soitz2C. Alors:

(1)Re(z) =z+z 2 (2)Im(z) =zz

2i(3)z2R,z=z(4)z2iR,z=z:Propriete 4

Exemple.Soitz=a+ib2Ctel quea2+b2= 1.

1.

Mon trerque z=1z

2.

En d eduirequ esi z6= 1, alors1+z1z2iR.

1.3 Module d'un nombre complexe

Denition.Soitz=a+ib2C. On appellemoduledezle nombre reel positif notejzjet deni par : jzj=pa

2+b2:Remarque.Le module prolonge naturellement la notation de valeur, c'est a dire que le module d'un nombre

reel est egal a sa valeur absolue.Soitz;z02C. Alors: (1)jzj= 0,z= 0 ; (2)jRe(z)j jzjetjIm(z)j jzj; (3)jzj=jzj; (4)jzz0j=jzjjz0j, et siz06= 0,jzz

0j=jzjjz0j.Propriete 5

Preuve.

Pourz2C,zz=jzj2. Ainsi siz6= 0,y=z

jzj2verieyz=zy= 1. On l'appelle inverse dez.Propriete 6 Preuve.On ecritz=a+ib, avec (a;b)2R2. Alorszz= (a+ib)(aib) =a2+b2=jzj2. Le reste s'en deduit aisement. 3

PCSI5Lycee Saint Louis, ParisPour toutz1;z22C,

jjz1j jz2jj jz1+z2j jz1j+jz2j En particulier,jz1+z2j=jz1j+jz2j ,z2= 0 ou92R+; z1=z2, c'est a dire que les points O;M

1(z1) etM2(z2) sont alignes sur une m^eme demi-droite d'origineO.Propriete 7(inegalite triangulaire)Preuve.Demontrons la premiere inegalite triangulaire. On a, avec la proposition precedente,

jz1+z2j2= (z1+z2)(z

1+z2) =z1z

1+z1z 2+z2z 1+z2z

2=jz1j2+z1z

2+z 1z

2+jz2j2

=jz1j2+ 2<(z1z

2) +jz2j2 jz1j2+ 2j<(z1z

2)j+jz2j2 jz1j2+ 2jz1z

2j+jz2j2

jz1j2+ 2jz1j jz

2j+jz2j2 jz1j2+ 2jz1j jz2j+jz2j2= (jz1j+jz2j)2:

Ainsi, comme la fonction racine carree est croissante, on obtientjz1+z2j jz1j+jz2j. Pour la deuxieme inegalite triangulaire, il faut montrer quejz1z2j jz1j jz2j jz1z2j. L'inegalite de gauche equivaut ajz2j jz1z2j+jz1jc'est-a-direjz1+ (z2z1)j jz1j+jz2z1j. Cette inegalite

est vraie par la proposition precedente. L'inegalite de droite equivaut ajz1j jz1z2j+jz2jc'est-e-dire

jz2+(z1z2)j jz2j+jz1z2j, qui est aussi vraie par la proposition precedente. On a donc le resultat souhaite.

Supposons avoir egalite :jz1+z2j=jz1j+jz2j. On a donc egalite partout dans les inegalites precedente, et

Re(z1z

2) =jRe(z1z

2)j=jz1z

2j. Ainsi,Re(z1z

2)2R+etRe(z1z

2)2=jz1z

2j2=Re(z1z

2)2+Im(z1z

2)2donc

Im(z1z

2) = 0. Finalement, le nombrez1z

2est donc un reel positifet son conjuguez2z

1aussi. Siz16= 0, alors

z

2=z2z1z

1jz1j2=jz1j2z1, donc en posant=jz1j22R+,z2=z1.

Reciproquement, siz1= 0 ou siz2=z1avec2R+, on verie facilement qu'on a egalite.

Interpretation geometrique du module.

Dans le plan complexe, si on noteM(z) ou~v(z), alorsjzjrepresente la distanceOMou la norme du vecteur~v.

SiM0(z0) designe un autre point,jz0zjrepresentera la distanceMM0.

L'inegalite triangulaire peut s'interpreter geometriquement de la maniere suivante : sizetz0representent les

axes de deux vecteurs~uet~u0alors :jj~u+~u0jj jj~ujj+jj~u0jj.x~ iy j0~u~u

0~u+~u0Le cas d'egalite dans l'inegalite triangulaire correspond au cas ou les vecteurs~uet~u0sont colineaires de m^eme

sens.

Soit!2Cetr2R+.

?L'ensemble des pointsM(z) du plan tels quejz!j=rest le cercle de centre!et de rayonr. ?L'ensemble des pointsM(z) du plan tels quejz!j< r(resp.jz!j r) est le disque ouvert (resp. ferme) de centre!et de rayonr. disque ouvert (c'est a dire ne contenant pas les points du cercle) contrairement au disque ferme. 4

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2 Nombres complexes de module 1 et trigonometrie

2.1 Nombres complexes de module 1

Denition.On appellecercle trigonometriqueet on noteUl'ensemble des nombres complexes de module 1 :

U=fz2C=jzj= 1g:Remarque.z2U,z=1z

Denition.Siest un reel, on noteeile nombre complexe deni parei= cos+isinExemples. ?e2i= 1,ei=1. ?ei2 =i,ei2 =i.(1)P ourtout 2R,eiappartient aU. (2) T outnom brec omplexede mo dule1 p euts' ecrireeiou2R

AinsiU=fei;2Rg.Propriete 8

Remarque.Le reelest de plus unique si on impose2[0;2[ ou2[;[.

Preuve.

(1) Soit 2R, alorsjeij2= cos2+ sin2= 1. Ainsijeij= 1 etfei;2Rg U. (2) R eciproquement,soit z2U. On ecritzsous la formea+ibavec (a;b)2R2. Commejzj= 1,a2+b2= 1. On a alorsa21, donca2[1;1]. Or, pour toutx2[1;1], il existe (un unique)t2[0;] tel que x=cos(t) (t= arccos(x)). On en deduit queb2= 1a2= 1cos2t= sin2tdoncb=sint. Commet2[0;], sint0. Si b0,b= sint, et on pose=t, de sorte quez= cost+isint=eit. Sinon on pose=tet z=a+ib= costisint= cos+isin=ei. On a doncU fei;2Rg.

Ainsi,U=fei;2Rg.(1)82R;e

i=ei (2)8(;0)2R2; eiei0=ei(+0) (3)82R; ei=1e i (4)8(;)2R2;ei=ei()[2].Propriete 9

Preuve.

(1)

P ourtout r eel, on a :e

i=cos+isin= cosisin= cos+isin=ei. 5

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(2)

Consid eronsdeux r eelset0. On a:

e iei0= (cos+isin)(cos0+isin0) = (coscos0sinsin0) +i(cossin0+ sincos0) = cos(+0) +isin(+0) =ei(+0): (3)

On en d eduitque eiei=ei0= 1, doncei=1e

i. (4) L' egaliteei=eiequivaut eei()= 1. Celle-ci a lieu si et seulement si cos() = 1 et sin() = 0, ce qui revient e dire queest un multiple entier en 2.

Exemple.Exprimer a l'aide de radicaux cos(12

) et sin(12 ) en notant que12 =pi3 4

On a d'apres la remarque suggeree :

exp(i=12) = exp(i=3i=4) = exp(i=3)exp(i=4):

Il en resulte que :

cos(=12) +isin(=12) = 12 +ip3 2 p2 2 ip2 2 =p3 + 1 2 p2 +ip312 p2

Par identication, on en deduit :

cos(=12) =p3 + 1 2 p2 et sin(=12) =p312 p2 :82R, cos=ei+ei2

et sin=eiei2iPropriete 10(Formules d'Euler)Preuve.Ces formules sont evidentes a partir de la denition deei.Pour2Retn2Z, (ei)n=einou encore par denition deei:

(cos+isin)n= cosn+isinnPropriete 11(Formule de Moivre)Preuve.Montrons par recurrence surn2Nla proprieteP(n) : \(ei)n=ein".

On a (ei)0= 1 =ei0doncP(0) est vraie.

Soitn2Ntel queP(n) soit vraie. Alors (ei)n+1= (ei)nei=einei(par hypothese de recurrence) =ei(n+1).

Ainsi,P(n+ 1) est vraie.

En conclusion, pour toutn2N,P(n) est vraie.

Pourn2ZnN,ein=1e

in=1(ei)n= (ei)n.

2.2 Application a la trigonometrie

2.2.1 Linearisation des puissances de cosinus et sinus

IPour lineariser une expression trigonometriquecoskxsinlx(en combinaison lineaire de termes encos(x) ousin(x)), on procede comme suit : (1) On utilise les formules d'Euler p ourchanger cosxetsinxen termes aveceixeteix. (2) On d eveloppec ompletement,ave cle bin^ omede Newton. (3) On r egroupeles termes deux adeux c onjuguesp ourr econna^tredes cos(x)ousin(x).

Exemples.Lineariser cos5(x) et cos2(x)sin3(x).

6

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2.2.2 Factorisation par l'angle de l'arc moitie

IPour factoriser une expression du typeei+ei0, on pensera a factoriser par l'angle moitie, c'est a dire par

e i+02 )et a utiliser ensuite la formule d'Euler.

Exemples.Factoriser les expressions suivantes :

?pourt2R, 1 +eit; ?pourp;q2R, cos(p) + cos(q).

2.2.3 Calculs de sommes de cosinus et sinus

ILes nombres complexes sont utiles pour le calcul de sommes de cosinus on sinus car mieux vaut considerer

des sommes avecexp(i)qu'aveccos()ousin()isolement.

Exemple.Calculer les sommesnP

k=0cos(kt) etnP k=0sin(kt) Pourx2Rnon congru a 0 modulo 2,eix6= 1 donc on a : n X k=0cos(kx) +inX k=0sin(kx) =nX k=0e ikx=nX k=0(eix)k(par la formule de Moivre) ix=2(eix=2eix=2) =eixn=22isin(n+1)x2

2isinx2

=eixn=2sin(n+1)x2 sin x2 D'ou nX k=0cos(kx) =Re(eixn=2)sin(n+1)x2 sin x2 = cos(xn=2)sin(n+1)x2 sin x2 etnX k=0sin(kx) =Im(eixn=2)sin(n+1)x2 sin x2 sin(xn=2)sin(n+1)x2 sin x2

2.2.4 Polyn^omes de Tchebichev

IPour transformer cos(nx) ou sin(nx) en un polyn^ome encosou ensin, on procede comme suit : (1) On ecritcos(nx) =Re(eix)n=Re((cosx+isinx)n)gr^ace a la formule de Moivre. (2)

On d eveloppeave cle bin^ omede Newton.

(3) On ne gar deque la p artier eelle(ou imaginair edans le c asd'un sinus).

Exemple.Exprimer cos(6x) en fonction de cos(x).

Pourx2R, on a On a

cos(6x) =Re(e6ix) =Re((cosx+isinx)6) =Re(cos6(x) + 6icos5xsin(x)15cos4(x)sin2(x)20icos3(x)sin3(x) + 15cos2(x)sin4(x) + 6icos(x)sin5(x)sin6(x)) = cos

6(x)15cos4(x)(1cos2(x)) + 15cos2(x)(1cos2(x))2(1cos2(x))3

= cos

6(x)15cos4(x) + 15cos6(x) + 15cos2(x)30cos4(x) + 15cos6(x)

1 + 3cos2(x)3cos4(x) + cos6(x)

= 32cos

6(x)48cos4(x) + 18cos2(x)1

7

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3 Forme trigonometrique, argumentSoitz2C, alors il existe (r;)2R+Rtel quez=rei.r=jzjetest unique modulo 2.Propriete 12(Forme polaire ou trigonometrique)Preuve.Existence :Commez6= 0, on peut poserz1=zjzj. Commejz1j= 1, il existe2Rtel quez1=ei.

Ainsiz=reiavecr=jzj.

Unicite :Si on a (r;r0;;0)2R+R+RRtel quez=rei=r0ei0, alorsr=jzj=r0, puisei=ei0 donc0[2]. Denition.On appelleargumentdez2Ctout reeltel quezjzj=ei. On le note arg(z).Remarques. ?Le nombren'est pas unique. ?Si0est un argument dez2C, tous les arguments dezsont de la forme+ 2k,k2Z. ?Si on impose2[0;2[ ou2[;[,est unique. ?z=z0()jzj=jz0j arg(z)arg(z0) [2] Interpretation geometrique.Dans le plan complexe, si on noteM(z), alorsArg(z) represente une mesure de l'angle oriente ( ~i;!OM).

Et de la m^eme facon, siM0(z0) designe un autre point,Arg(z0z) representera une mesure de l'angle oriente

~i;!MM0).

Lemme.Siz1=r1ei1etz2=r2ei2, alors :

z

1z2=r1r2ei(1+2)1z

1=1r

1ei1z2z

1=r2r

1ei(21):(1)8z2C, arg(z)arg(z) [2] ;

(2)

Si zetz02C, arg(zz0)arg(z) + arg(z0) [2] ;

(3)

Si zetz02C, argzz

0arg(z)arg(z0) [2] ;

(4)

Si z2Cetn2Z, arg(zn)narg(z) [2] ;

(5)

Si z2C, arg(z)+ arg(z) [2].Propriete 13

Soitz2C. On a:

(1)z2R,Arg(z) = 0 [] (2)z2R+,Arg(z) = 0 [2] (3)z2iR,Arg(z) =2 []Propriete 14 Exemples.Ecrire les formes trigonometriques des nombres complexes suivants : 8

PCSI5Lycee Saint Louis, Paris

?z=aei=( aeisia >0 (a)ei(+)sia <0 ?Pour2];[,z= 1 +ei= 2cos(=2)ei=2avec cos(=2)>0. ?Pour2]0;2[,z= 1ei= 2isin(=2)ei=2= 2sin(=2)ei(+)=2avec sin(=2)>0.

Calculer (1 +i)1515. (15154

= 378+34 )Si (a;b)2R2nf(0;0)g, il existe (A;!)2R+Rtel que pour toutt2R,acost+bsint=Acos(t!).Propriete 15

Preuve.Pourt2R, on a

acost+bsint=aeit+eit2 +beiteit2i=aib2 eit+a+ib2 eit:

Notonsz=a+ib2

6= 0 etz=rei!sa forme polaire (avecr2R+et!2R), alors

acos(t) +bsint=ze it+zeit=rei!eit+rei!eit=r(ei(t!)+ei(t!)) = 2rcos(t!) et on a le resultat voulu en posantA= 2r. Remarque.Une telle fonctiont7!acost+bsintest appelee signal sinusodal. Physiquement, le reelA

represente son amplitude, et!sa phase. Comme vu dans la preuve, l'amplitude est le module dea+ibet la

phase son argument. 4

Equations algebriques dansC

4.1 Racines carrees d'un nombre complexe

Denition.On appelle racine carree d'un nombre complexeztout nombre complexeuveriantu2=z.Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrees opposees.Propriete 16

Preuve.On ecritzsous la formereiet on cherche une racine carreeudezsous la formesei, avec (r;s)2R+et (;)2R2.

Alorsu2=zsi et seulement sis2e2i=reisi et seulement si s

2=ret 2[2]

si et seulement si s=pret2 si et seulement si u=pre i=2ouu=pre i(=2+)=pre i=2 . On a donc le resultat voulu. Remarque.La notationpest reservee aux nombres reels positifs.

IPour determiner l'ecriture algebrique des racines carrees d'un nombre complexe, on procedera comme suit

: on cherche les racines dez=a+ibsous la formeu=x+iy. L'equationu2=zdonne le systemex2y2=a

2xy=ben identiant parties reelle et imaginaire. On pensera systematiquement a ajoute l'equation

juj2=jzj ,x2+y2=pa

2+b2pour trouver les valeurs dex2ety2. On prend ensuite les racines carrees, en

faisant attention aux signes relatifs dexety, donne par l'equation2xy=b.

Exemples.Determiner les racines carrees de 1 +i.

9

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On les cherche sous la formeu=x+iy. On a doncu2= 1+i. On ax2y2= 1 et 2xy= 1. On ajoute l'equation x

2+y2=juj2=j1 +ij=p2 pour avoir le systeme

x2y2= 1 x

2+y2=p2

donc les solutions sontx2=1+p2 2 et y

2=p212

. Comme 2xy= 1>0, on axetyde m^eme signe, nalement les racines carrees de 1 +isont 0 @s1 + p2 2 +isp212 1 A 4.2

Equation du second degre a coecients complexesSoitaz2+bz+c= 0 une equation d'inconnuez2Ca coecients (a;b;c)2C3aveca6= 0.

On appelle discriminant de l'equation et on note le nombreb24ac. ?Si = 0, l'equation a une unique solution, appelee racine double,b2a.

?Si 6= 0, l'equation a deux solutions,b2a, ouest une racine carree de .Propriete 17(Resolution de l'equation du second degre)Preuve.Pourz2C, on aaz2+bz+c=az+b2a

2+cb24a(mise sous forme canonique).

Ainsiaz2+bz+c= 0 si et seulement siaz+b2a

2=b24ac4asi et seulement siz+b2a

2=4a2.

Si = 0, l'equation equivaut az+b2a= 0 i.e.z=b2a.

Si 6= 0, notantune racine de , l'equation equivaut az+b2a=2ai.e.z=b2a. Remarque.Dans le cas particulier oua;b;c2Ret <0, on retiendra que les solutionsz1etz2ne sont pas seulement distinctes: ce sont des racines complexes conjuguees. Exemples.Resoudre dansCl'equationz22iz1 + 2i= 0Soienta;b;c2Ctels quea6= 0. Alors: z

1;z2sont les solutions de l'equationaz2+bz+c= 0,(

z

1+z2=ba

z

1z2=caPropriete 18(Relations coecients racines)Preuve.

)Supposons quez1etz2sont les deux solutions deaz2+bz+c= 0. Notonsune racine carree de =b24ac. Alorsz1=b+2aetz2=b2a(quitte a changeren).

Ainsiz1+z2=ba

etz1z2=(b+)(b)4a2=b224a2=b24a2=ca (Reciproquement, supposons quez1,z2verientz1+z2=ba etz1z2=ca On a alors :a(zz1)(zz2) =az2a(z1+z2)z+az1z2=az2+bz+c. Ainsi,z1etz2sont les deux solutions de l'equationaz2+bz+c= 0.

IPour resoudre un systeme de la formexy=

x+y=, on introduit donc l'equationz2z+.(x;y)est alors le couple de solutions de cette equation du second degre (ecrit dans un ordre ou l'autre). Exemple.Trouver deux nombres complexes de somme 2 et de produiti. 10quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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