[PDF] Méthodes approchées pour la résolution dun problème d

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École Polytechnique de l"Université de Tours

64, Avenue Jean Portalis

37200 TOURS, FRANCE

Tél. +33 (0)2 47 36 14 14

www.polytech.univ-tours.fr

Département Informatique

5 eannée

2013 - 2014

Rapport Final de PFE

Méthodes approchées pour la résolution

d"un problème d"ordonnancement avectravaux interférants

Encadrants

Faiza Sadi

faiza.sadi@univ-tours.fr

Ameur Soukhal

ameur.soukhal@univ-tours.fr Université François-Rabelais, ToursÉtudiant

Baptiste Mille

baptiste.mille@etu.univ-tours.fr

DI5 2013 - 2014

Version du 5 mai 2014

Table des matières

1 Introduction8

2 Présentation du projet

9

2.1 Contexte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Ordonnancement monocritère

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Ordonnancement multicritère

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Ordonnancement avec travaux interférants

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Objectifs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Méthodes de résolution

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Méthode exacte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.2 Méthode approchée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 L"approcheε-contrainte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Les algorithmes génétiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.1 Description de la méta-heuristique [

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.2 Sélection

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5.3 Croisement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.4 Mutation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 Réalisation des développements

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Travail réalisé17

3.1 Compréhension du projet

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Rédaction du cahier de spécifications

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Comparateur de fronts de Pareto

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.1 Critères de comparaison

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.2 Fonctionnement du programme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Générateur d"instances

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5 Problème 1 :Pm|di|P(CAmax,?UBi). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

3.5.1 Quelques propriétés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.5.2 Heuristique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5.3 Algorithme Génétique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5.4 Comparaison entre l"heuristique et l"algorithme génétique

. . . . . . . . . . . . . . 36

3.6 Problème 2 :Pm|di|P(?UAi,CBmax). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

3.6.1 Heuristique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.6.2 Algorithme Génétique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6.3 Comparaison entre l"heuristique et l"algorithme génétique

. . . . . . . . . . . . . . 42

3.7 Le programme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.7.1 Entrées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.7.2 Sorties

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.7.3 Fonctionnement du programme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44III

TABLE DES MATIÈRES

4 Déroulement du projet

45

4.1 Gestion du projet

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1 Les séances

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.2 Communication MOA MOE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Diagrammes de Gantt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 Tâche 1 : gestion et versionning du projet

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.2 Tâche 2 : documentation, lecture et compréhension

. . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.3 Tâche 3 : rédaction du cahier des spécifications

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.4 Tâche 4 : échange du cahier des spécifications entre la MOA et la MOE

. . . . . . 47

4.2.5 Tâche 5 : Programme de comparaison de fronts de Pareto

. . . . . . . . . . . . . 48

4.2.6 Tâche 6 : recherche d"une heuristique basée sur l"?-approche. . . . . . . . . . . . 48

4.2.7 Tâche 7 : Préparation soutenance mi-parcours

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.8 Tâche 8 : Générateur d"instance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.9 Tâche 9 : implémentation des heuristiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.10 Tâche 10 : application d"une approche génétique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.11 Tâche 11 : implémentation des algorithmes génétiques

. . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.12 Tâche 12 : tests, correction et optimisation sur le premier problème

. . . . . . . . 50

4.2.13 Tâche 13 : tests, correction et optimisation sur le second problème

. . . . . . . . . 50

4.2.14 Tâche 14 : rédaction du rapport final

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.15 Tâche 15 : préparation de la soutenance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Conclusion52IV

Table des figures

2.1 Organigramme de l"algorithme génétique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Elitisme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Tournoi Binaire (k=2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Eclipse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 Comparaison Front1 avec Front2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Moyenne des distances les plus courtes entre les points du Front1 et ceux du Front2

. . . 18

3.3 Moyenne des distances les plus courtes entre les points du Front1 et le Front2

. . . . . . . 19

3.4 Moyenne des distances entre les points d"un front

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.5 Dominance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.6 Convention de nommage dossiers machines

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.7 Convention de nommage dossiers jobs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.8 Convention de nommage fichiers instances

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.9 Exemple de contenu d"un fichier instance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.10 Contenu feuille "Résultat"

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.11 Contenu feuille "XMachines"

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.12 Détermination de l"intervalle desdj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

3.13 Illustration propriété 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.14 Exemple donnant un front avec plusieurs solutions non dominées

. . . . . . . . . . . . . . 29

3.15 Affectation des rangs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.16 Structure d"un individu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.17 Transformation en une liste

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.18 Croisement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.19 Mutation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.20 Comparaison du % de solutions exactes trouvées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.21 Comparaison des "Average Distance Point Function"

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.22 Comparaison de l"écart entre les fronts approchés et le front exact

. . . . . . . . . . . . . 37

3.23Pm|di|P(?UAi,CBmax)UB & LB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.24 Comparaison du % de solutions exactes trouvées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.25 Comparaison des "Average Distance Point Function"

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.26 Comparaison de l"écart entre les fronts approchés et le front exact

. . . . . . . . . . . . . 43

4.1 Exemple de compte rendu hebdomadaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Diagramme de Gantt initial

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Diagramme de Gantt final

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46V

Liste des tableaux

3.1 Tableau résultats de l"heuristique pourPm||CAmax,?UBj. . . . . . . . . . . . . . . . . .30

3.2 Tableau résultats de l"AG pourPm||CAmax,?UBj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

3.3 Tableau résultats de l"heuristique pourPm||?UAj,CBmax. . . . . . . . . . . . . . . . . .40

3.4 Tableau résultats de l"AG pourPm||?UAj,CBmax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41VI

Remerciements

Je souhaite remercier mon encadrante Sadi Faiza pour ses conseils et la disponibilité qu"elle aura eu

tout au long de ce projet. De plus je souhaite aussi remercier Ameur Soukhal pour ses conseils notamment

en début de projet.7

Introduction

Ce document présente le travail effectué lors du PFE

1réalisé durant la dernière année du cursus

d"école d"ingénieur universitaire polytechnique Tours. L"intitulé de ce PFE est :"Méthodes approchées

pour la résolution d"un problème d"ordonnancement avec travaux interférants".

Celui-ci, proposé par l"équipe Ordonnancement et Conduite (OC) au Laboratoire Informatique de l"école,

a été encadré par Faiza Sadi et Ameur Soukhal qui représentaient la MOA. Le projet a été réalisé par

Baptiste Mille, élève ingénieur DI5 Polytech Tours qui représentait la MOE.1. Projet de Fin d"Études

8

Présentation du projet

2.1 Contexte

2.1.1 Ordonnancement monocritère

Un problème d"ordonnancement monocritère consiste à organiser des tâches, en respectant des contraintes

temporelles et de ressources dans le but d"optimiser une fonction objectif.

Exemple :Pm||Cmax(ntravaux à ordonnancer surmmachines, le critère à minimiser est le maximum

des dates de fin d"exécution des travaux)

2.1.2 Ordonnancement multicritère

Un problème d"ordonnancement multicritère diffère d"un monocritère en optimisant plusieurs fonctions

objectifs au lieu d"une seule. La qualité de la solution est donc mesurée par plusieurs critères.

Exemple :P2||Cmax,?Uj(n travaux à ordonnancer sur m machines. Le premier critère à minimiser

est le maximum des dates de fin d"exécution des travaux. Le second est de minimiser la somme des travaux

en retard 1)

2.1.3 Ordonnancement avec travaux interférants

Nous nous intéressons dans ce projet à une classe particulière des problèmes d"ordonnancement multicri-

tères. Ces problèmes sont appelés dans la littérature, ordonnancement avec travaux interférants. Dans leur

formulation, plusieurs agents sont considérés, tel que chaque agent possède un sous-ensemble de travaux

et une fonction objectif. Un critère global est aussi considéré (agent global) afin de mesurer la qualité de

l"ordonnancement appliqué sur la totalité des travaux. Celui-ci est fixé suivant la notation à trois champs

des problèmes d"ordonnancement présentée dans " Multicriteria scheduling [ 1 ] ». On note ces problèmes parα|β|γtel que : -αest représentatif de l"environnement machine -βles contraintes

-γcritères d"optimalité du problème (γ=f0,...,fk. Avecf0le critère de l"agent 0 etfkle critère

de l"agent k)

Si uniquement deux agents sont considérés, alors on notefAl"agent global etfBl"autre agent. Quand

il s"agit d"environnement à machines parallèles, ces problèmes s"avèrent être NP-difficiles [

4

].1. Un travail est dit en retard si, sa date de fin de réalisation dépasse sa date de fin souhaitée.

9

Chapitre 2. Présentation du projet

2.2 Objectifs

Dans cette étude nous considérerons plusieurs machines identiques et deux agents A,B. L"agent global

Aveut minimiser sonCmax, quant à l"agentB, il cherche à minimiser le nombre de travaux en retard?Uj

(ainsi que le problème inverse : A veut minimiser?Ujet B veut minimiserCmax). AvecUj, une fonction

booléenne qui prend 1 si le travail est en retard, 0 sinon.

Selon la formulation à trois champsα|β|γdes problèmes d"ordonnancement, les problèmes sujets de ce

projet se notent :

Pm|di|CAmax,?UBiPm|di|?UAi,CBmax

Étant donnée la complexité du problèmePm||Cmaxet dePm||?Uj(problèmes NP-difficiles), la mini-

misation des deux critères à la fois est donc aussi NP-difficile. Une méthode exacte serait coûteuse en temps

machine. Dans ce travail nous allons favoriser les méthodes heuristiques. Ces méthodes ont un meilleur

rapport qualité/temps de calcul que les méthodes exactes, même si elles ne garantissent pas l"optimalité.

Néanmoins elles fournissent rapidement une solution dite "approchée".

On est dans un cas multicritère. Nous allons chercher l"ensemble des solutions non dominées ou un

ensemble représentatif de celui-ci : front de Pareto. Ce front sera comparé à celui retourné par une méthode

exacte. Puisque nous nous intéresserons à l"énumération de front de Pareto nos deux problèmes peuvent

s"écrire de cette manière :

Pm|di|P(CAmax,?UBi)

Pm|di|P(?UAi,CBmax)

2.3 Méthodes de résolution

2.3.1 Méthode exacte

Une méthode exacte permet de trouver une solution optimale à un problème donné. Toutefois, ces

méthodes peuvent devenir rapidement couteuses en temps d"exécution, notamment pour les problèmes

NP-difficiles. En effet, le temps de traitement et la complexité du problème sont généralement liés (plus

c"est complexe, plus le temps d"exécution sera important). Ci-dessous, quelques méthodes exactes parmi

les plus connues :

Pro cédurepa rS éparationet Évaluation

Programmation dyn amique

Programmation pa rcontraintes

Programmation liné aire

2.3.2 Méthode approchée

Les méthodes approchées (i.e. Heuristiques) permettent de trouver de manière rapide une solution réa-

lisable à un problème donné. Cependant cette solution n"est pas forcément la solution optimale.

L"objectif d"une heuristique est donc de trouver une solution la plus proche possible de celle d"une

méthode exacte tout en étant plus rapide. La qualité d"une méthode approchée va donc se calculer par

rapport à l"écart obtenu entre sa solution et l"optimale. Plus ce résultat est proche de la solution optimale,

meilleure est l"heuristique. Il existe plusieurs classes d"heuristiques. Celles-ci sont définies par leur fonctionnement.10 L"approcheε-contrainteDéterministes VS Stochastiques

On dit d"une heuristique qu"elle est déterministe si elle ne fait pas appel au hasard. Pour chaque exé-

cution sur un même jeu de données, on obtiendra le même résultat.

On dit d"une heuristique qu"elle est stochastique si elle fait appel au hasard. Pour chaque exécution sur

un même jeu de données, on n"obtiendra pas forcément le même résultat.

Construction VS Amélioration

On dit d"une heuristique qu"elle est de construction si son exécution part de l"instance du problème

pour construire une solution réalisable.

On dit d"une heuristique qu"elle est d"amélioration si son exécution part d"une solution réalisable et

l"améliore par exploration du voisinage.

Solution VS Population

On dit d"une heuristique qu"elle est à la base de population si elle part/construit plusieurs solutions.

Quelques heuristiquesHeuristiquesDéterministesStochastiquesConstructionAméliorationSolutionPopulation

Algorithme de listeXXX

Colonies de fourmisXXX

Recherche localeXXX

Algorithme GénétiqueXXX

TabouXXX

Recuit SimuléXXX

2.4 L"approcheε-contrainte

Dans un premier temps, nous considérerons l"approcheε-contrainte. Par cette approche, nous cherche-

rons une solution non-dominée dite solution optimale de Pareto. Il s"agit de chercher une solution minimisant

le critère de l"agent A tout en bornant supérieurement la valeur de la fonction objectif de l"agent B. Les

problèmes se notent donc :

Ces problèmes d"ordonnancement retournent une solution optimale de Pareto. Afin d"obtenir un front

de Pareto il faudra faire varier la valeur Q en suivant l"algorithme ci-dessous :11

Chapitre 2. Présentation du projet

Algorithm 1Approcheε-contrainte avecfA=CmaxetfB=?Uj1:Q = UB

2:whileQ≥LBdo

3:Résoudre le problème

4:ifPas de solutionthen

5:break;

6:else

7:noter(α,β) = (?UBj,CAmax) la solution retournée.

8:end if

9:PoserQ=Q-1

10:S=S?(α,β)

11:end while

12:Retourner "S"2.5 Les algorithmes génétiques

Dans un second temps, nous considérerons la résolution de notre problème par l"application d"un algo-

rithme génétique.

2.5.1 Description de la méta-heuristique [

3

Les algorithmes génétiques (AG) sont des algorithmes stochastiques qui se basent sur une simulation du

processus de sélection naturelle : les individus les plus forts d"une espèce ont plus de chance de survivre que

les plus faibles. Ainsi, afin de reproduire ce phénomène, ces algorithmes utilisent un ensemble de solutions

candidates appelées " population d"individus ». Un individu est une solution du problème à résoudre. Pour

pouvoir évaluer un individu, on lui attribue une fonction d"adaptation (fitness) qui va permettre de calculer

sa qualité.

Dans notre population d"individus, on va sélectionner ceux qui nous paraissent les plus intéressants.

Ensuite, ils vont créer des enfants qui pourront subir des mutations et croisements afin de donner une

nouvelle population d"individus. On continue, ainsi de suite, jusqu"à atteindre un certain nombre de géné-

rations, un individu avec un fitness en dessous d"une valeur mise en paramètre ou un autre critère d"arrêt.

Le but espéré est de trouver à chaque nouvelle génération, un individu meilleur pour obtenir finalement un

individu proche de la perfection souhaitée.12

Les algorithmes génétiques

Figure2.1 - Organigramme de l"algorithme génétique13

Chapitre 2. Présentation du projet

2.5.2 Sélection

Tout d"abord, on part d"une population avec un certain nombre d"individus. Cette population est la

première génération de notre algorithme. Dans celle-ci, on va choisir un certain nombre d"individus afin

qu"ils deviennent les parents de notre future génération. Il existe plusieurs types de sélection.

L"élitisme

Cette sélection est "la plus simple". Elle va sélectionner les n premiers individus possédant le meilleur

résultat de la fonction d"adaptation (fitness) dans la population.Figure2.2 - Elitisme Roue

Ici chaque individu à une chance d"être sélectionné pour devenir l"un des futurs parents. Toutefois, un

individu possédant une meilleure fonction d"adaptation (fitness) aura plus de chance d"être sélectionné. La

probabilité qu"un individu puisse être sélectionné est la suivante :

P(individu) =Fitness(invidivu)individuMax

individu=1Fitness(individu)14

Les algorithmes génétiques

Tournoi

La méthode ici consiste à sélectionner des sous-groupes de k individus aléatoirement dans la population.

Puis de choisir le meilleur de chaque sous-groupe pour former les parents.Figure2.3 - Tournoi Binaire (k=2)

2.5.3 Croisement

À partir d"un père et d"une mère, on va créer un enfant qui va subir un croisement de ses deux parents.

Le croisement consiste à sélectionner pour chacun des caractères de l"enfant, celui du père ou celui de la

mère. Prenons un petit exemple de croisement humain :CaractèrePèreMèreEnfant

Couleur des yeuxMarronBleuMarron

Forme des yeuxAmandeRondAmande

Couleur des cheveuxBrunBlondBlond

Type de cheveuxLisseFriséFrisé

SexeMasculinFémininMasculin

On peut aussi tout à fait imaginer créer un nouvel enfant aléatoirement, et que chacun de ses gènes

possède une probabilité de prendre soit celui du père, celui de la mère ou de garder le nouveau gène.

2.5.4 Mutation

La mutation concerne l"évolution des caractères de l"enfant. Elle permet de ne pas bloquer sur un

optimum local. C"est une modification faible et avec une petite probabilité d"apparition. Si nous reprenons

le tableau des croisements, on peut muter les caractères de l"enfant :CaractèrePèreMèreEnfant avec mutation

Couleur des yeuxMarronBleuMarron-Vert

Forme des yeuxAmandeRondAmande

Couleur des cheveuxBrunBlondBlond

Type de cheveuxLisseFriséFrisé

SexeMasculinFémininMasculin

On a eu ici une mutation sur la couleur des yeux de l"enfant. Si on travaillait sur un codage binaire,

cette mutation pourrait être le passage d"un bit à 1 au lieu de 0 par exemple.15

Chapitre 2. Présentation du projet

2.6 Réalisation des développements

Durant ce projet, l"ensemble des développements est réalisé en java 7. Au final, trois programmes auront

été créés :

un générateur d"instances un compa rateurde fronts de P aretoquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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