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O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)

Magnétostatique

O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)

I - Présentation du champ magnétique

1 - Introduction :L"électrostatique

est l"étude des interactions entre particules chargées immobiles.

La magnétostatique

est l"étude des interactions entre particules chargées en mouvement (en régime indépendant du temps). Certains corps aimantés (comme la magnétite, Fe 3O

4) attire le fer.

L"acier, par frottement contre un aimant naturel, acquiert des propriétés

équivalentes.

Des conducteurs parcourus par des courants sont également sources de champs magnétiques.

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(Ci-contre : lignes du champ magnétique

créé par un barreau aimanté)Les interactions électriques et magnétiques sont étroitement liées (exemple : phénomène d"induction).Elles représentent deux aspects différents d"une seule propriété de la matière : sa charge électrique.Le magnétisme est une manifestation des charges électriques en mouvement.

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Lignes de champ magnétique, pôle nord, pôle sud :

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Champ magnétique terrestre :Il ressemble à celui d"un barreau aimanté incliné. Une aiguille de boussole s"aligne dans la direction du champ, approximativement vers le pôle nord géographique, qui n"est pas très loin du pôle magnétique sud de la Terre.Ce champ s"étend jusqu"à des milliers de kilomètres dans l"espace et possède la symétrie de révolution autour de l"axe du barreau aimanté fictif.

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NNN SN

N SS S S S N

N SN SN S

Dipôles magnétiques :Les fragments d"un barreau aimanté ont toujours deux pôles (un pôle nord et un pôle sud).Un aimant se comporte comme s"il était composé de petites unités bipolaires, appelées

dipôles magnétiques

Il n"existe pas de

monopôles magnétiques (équivalents des charges électriques ponctuelles).

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N S S N

Le champ autour d"une tige aimantée, illustré par un ensemble de petites boussoles. Ce dessin montre

le champ seulement dans un plan.

En fait, le champ se trouve dans l"espace à 3 dimensions ; il a une symétrie de révolution autour de

la tige. La photo montre l"alignement de la limaille de fer au voisinage d"une petite tige aimantée.

Par convention, le champ d"un aimant sort de son pôle nord et entre par leur pôle sud. La photo ne

permet pas de distinguer le pôle nord du pôle sud.

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2 - Définition du champ magnétique :On considère une particule ponctuelle q placée au point M. Au voisinage

d"un aimant ou d"un conducteur parcouru par un courant, elle est soumise à la force magnétique : Cette force permet de définir le champ B (par l"intermédiaire de la charge

test q, de la même manière qu"en électrostatique).Unités du champ magnétique :Dans le SI : le Tesla (T)Le Gauss :

Bvqfr r r TG4 101

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Valeurs typiques de champs magnétiques :

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On choisit un vecteur densité de

courant dirigé selon (Oz), symétrie cylindrique (la norme de j ne dépend que la distance r à l"axe (Oz)).

Par exemple :

L"intensité à travers dS est alors :

Et : Exemple 1 : (cylindre infini parcouru par un courant volumique) O x yz M z r zurjjr r zzuj

Rrurjjrrr

0 dS

θdrdrrjdSrjdi)()(

R drdrrji 02 0

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Soit :

Si le vecteur j avait été constant

(et égal à j

0), alors l"intensité à

travers une section quelconque du cylindre aurait été : O x yz M z r zurjjr r dS R jRdrjRri 002 02

322ππ

02jRi

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3 - Répartition linéique de courant : Les conducteurs de faible section sont assimilés à des fils.

Le courant " linéique » est alors simplement le courant parcouru par le fil. 1tMi 2tMi M 1 M 2

Circuit

filiforme

Le courant électrique dépend

a priori du temps et du point M.

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II - La loi de Biot et Savart

Cette loi a été énoncée en 1820 par les physiciens Biot et Savart. Ces physiciens ont notamment déterminé les champs magnétiques créés par les deux circuits suivants : I a a A 1AB r +=2212)(

01aIABπμ

I a a A 2AB r ((+=412)( 02 aIAB a

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1 - Énoncé de la loi de Biot et Savart :On considère un

circuit filiforme fermé (C) parcouru par un courant d"intensité I constante. 20 4)(

PMuIdMBd

MPP→

?=r lr r (C) PIM )(MB r )(MBd Pr MP u →rlrd )(20 4)( CMP

PMuIdMBr

lr r )1,104(: 2 007 00==

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2 - Propriétés de symétrie du champ magnétique : On considère une répartition volumique de courants assimilables à des fils

infinis collés les uns aux autres. P PS

Conducteur

lrId lrIdCette répartition de courants possède un plan de symétrie (ΠΠΠΠ +): aux points P et P S, existent les mêmes éléments de courants lrId

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P PS )(MBd Pr M S M )(SPMBd Sr SSMP u →r M Pu →r

M est un point quelconque de l"espace et M

Sson symétrique par rapport au

plan (ΠΠΠΠ )(MsymM S 20 20

4)(;4)(

SSMP

SPMPPMPuIdMBdPMuIdMBd

SS S ?=?=r lr r r lr r ((MBdSymPr

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Avec :

))(()(MBdSymMBd PSP S r r

MPMPSS

uSymuMPPMSS r r Et en utilisant les propriétés du produit vectoriel, on montre que : :

Par intégration, on déduit :

))(()(MBSymMB S r r P PS )(MB r M S M )(SMBr SSMP u r MP u →r ))((MBSym r

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Plan de

symétrie ΠΠΠΠ M

Si M appartient au plan (ΠΠΠΠ

+), M et M Ssont confondus.

Par conséquent :

MBsoitMBSymMBr

r r )(MB r )()()(++Π??Π?MBM r P PS lrIdl rId " C"est le contraire du champ

électrostatique ! »

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On considère une répartition volumique de courants assimilables à des fils infinis collés les uns aux autres. P PS

Conducteur

lrId Cette répartition de courants possède un plan d"anti-symétrie (ΠΠΠΠ -): aux points P et P

S, existent des éléments de courants de

sens opposés.

On montre alors que, pour :

lrId- ))(()(MBSymMB S r r )(MsymM S

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Plan de

symétrie ΠΠΠΠ M

Si M appartient au plan (ΠΠΠΠ

-), M et M Ssont confondus.

Par conséquent :

MBsoitMBSymMBr

r r )(MB r )()()(--Π??Π?MBM r P PS lrIdl rId " C"est le contraire du champ

électrostatique ! »

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III - Exemples classiques de champs magnétiques

1 - Spire circulaire :xyz

O M(z) M(-z)

RUne spire circulaire (C) de rayon R est parcourue par un courant constant d"intensité I.On souhaite calculer le champ magnétique en un point M situé sur l"axe (Oz) de la spire.

Étude des symétries : Tous les plans contenant l"axe (Oz) sont des plans d"anti-symétrie, par conséquent :

zuzBzBr r Le plan (Oxy) est un plan de symétrie pour la répartition de courants, par conséquent : )()(zBzB r r )(zB r )(zB- r AB

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Animation Java

A B

Lignes de champ dans le

plan (Oyz) (1 bobine)

Les lignes de champ sont des

lignes fermées.

Les lignes de champ ne

divergent pas à partir de leurs sources (les courants) mais tourbillonnent autour de celles-ci.

La règle de la main droite

donne l"orientation des lignes de champ.

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Animation Java

Lignes de champ dans le

plan (Oyz) (2 bobines)

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Animation Java

Lignes de champ dans le

plan (Oyz) (4 bobines)

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2 - Solénoïde fini et infini :Un solénoïde est un circuit constitué de spires jointives enroulées sur un

cylindre dont la section est ici supposée circulaire. On note L sa longueur, R le rayon de sa section circulaire et N le nombre total de spires. II z M L

N spires

On calcule le champ en un point M quelconque de l"axe (Oz) (intérieur ou extérieur au solénoïde).

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Animation Java

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Animation Java

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Animation Java

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Animation Java

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IV - Énoncé du théorème d"Ampère

Le théorème d"Ampère est " l"équivalent » du théorème de Gauss. Il permet de calculer le champ magnétique créé par une distribution de

courants lorsque celle-ci possède des symétries " fortes ».1 - Fil infini et circulation du champ magnétique :La circulation du champ magnétique est définie par :

rdr )(MB r M contour rdMBCr r

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Pour le champ électrostatique, cette circulation est nulle puisque : Si l"on regarde la carte du champ magnétique créé par un fil infini (ou une spire circulaire), on constate que la circulation du champ magnétique le long d"une ligne de champ (fermée) orientée n"est pas nulle

Théorème d"Ampère :

0.).(=-=-==

∫∫∫contourcontourcontour dVrdVgradrdMEC r r r

0 0( ) ( )

enl

C SB M d j n dS I

r r rr l

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V - Exemples d"applications du théorème d"Ampère

1 - Le fil infini :

)(MB r M I

Étude des invariances et des

symétries :Invariance par rotation autour de (Oz) et par translation autour de z. Le champ ne dépend pas des coordonnées θθθθ

et z.

Le plan contenant le fil et le

point M est un plan (ππππ +), par conséquent le champ s"écrit : θurBMBr r

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)(MBr M I

Choix du contour (C)

: on choisit le cercle de rayon r, de centre H (passant donc par

M) orienté de telle manière

que le vecteur normal soit .

La circulation C du champ sur

ce contour vaut : ∫∫∫ CCC drrBurdurBrdMBCθθ

θθr

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