[PDF] Sommes et produits Nous avons fait les deux

View - Download Sommes et produits

Previous PDF

Next PDF

BCPST1Sommes et produits

" Jeune homme, en mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s"y habitue. »

J. von Neumann (1903-1957)

Ce chapitre est purement calculatoire. Il vise à introduire trois notations et à les manipuler.1 Le symbole somme Pourq6= 1fixé, la somme des puissances deqa été vue au lycée : q

0+q1+q2+q3++qn=1qn+11q

L"utilisation des points de suspension pour écrire cette somme rend l"écriture assez lourde et potentiellement ambigüe. Ce chapitre introduit une notation plus ramassée n X k=0q k=q0+q1+q2+q3++qn Cette notation se lit comme une boucleforen informatique : kva prendre toutes les valeurs successives de0(borne du bas) jusqu"àn(borne du haut) Pour chaque valeur dekon rajoute le nombreqk(à droite du signe somme) au résultat précédent.kq ksomme partielle jusqu"àk0q 0= 11 1q

1=q1 +q2q

21 +q+q2:

::nq n1 +q+q2++qn=1qn+11qOn peut ensuite varier les plaisirs :

Exemple

n X k=01 = 1 + 1 ++ 1|{z} n+1fois=n+ 1 Si on veut sommer lesqkà partir de5et jusqu"àn1pourq6= 0, on écrit : n1X k=5q k=q5+q4++q0+q1++qn1 BCPSThttps://molin-mathematiques.frSoientm2Zetn2Z, avecmn,

Soit(am;am+1;;an)une liste de nombres1.

On définit la somme desakpourkvariant demànpar n X k=ma k=am+am+1++an

On note également :

nX k=ma k=X mkna k=X k2[[m;n]]a k

Pourm > n, la somme est vide et vaut 0 :nP

k=ma k= 0Notation(Utilisation du symboleP) L"usage des points de suspension pour définir la notation somme n"est pas parfaite- ment satisfaisante. D"un point de vue purement formel, on préfèrerait donc une définition qui s"appuie sur le caractère récursif de la somme. En effet, si on sait définir une somme jusqu"au rangn, alors il suffit de rajouter un seul élément pour avoir une somme jusqu"au rangn+ 1. Ainsi, on peut formuler une définition équivalente de la somme à l"aide du principe de récurrence : Initialisation - somme vide :Pour tout(m;n)2Z2avecm > n,nX k=ma k= 0: Hérédité :Pour tout(m;n)2Z2avecmn+ 1,n+1X k=ma k=nX k=ma k+an+1.Définition 1.1(Définition d"une somme par récurrence)

Exemple

Soita2R;calculernX

k=0a.

Solution :1:Cette notation est valable pour tout objet mathématique pour lequel une opération associative

" somme » a été définie (pour certaines formules, la commutativité est aussi nécessaire). Ce n"est

pas spécifique aux nombres : cette notation sera utilisée plus loin pour sommer des vecteurs par

exemple.Remarques : 1. L"indice ne recule pas: sim > n, c"est-à-dire si la borne du bas est plus grande que celle du haut, alors la somme est vide et vaut0par convention.

Exemple :

5X k=72 k= 0:

2.kestl"indice de sommation, on dit que l"indice estmuet. Cela veut dire qu"il

ne sert qu"à l"intérieur de la somme et qu"on peut changer son nom sans changer la valeur de la somme.

Exemple :nX

k=02 k=nX i=02 i=nX j=02 j On utilise souvent une des lettresi;joukcomme indice. 3. L"indice n"a de sens qu"à l" intérieurde la somme ; en dehors, il n"est plus défini. S"il vous reste un indice dans l"expression après le calcul de la somme, c"est que vous vous êtes trompé 2.

Exemple

Chercher l"erreur :

nX n=0q n:

Solution :

Pour tout(m;n;p)2Z3avecmpn,nX

k=ma k=pX k=ma k+nX k=p+1a k.Propriété 1.2(Relation de Chasles) Cette relation permet simplement de faire une petite pause au milieu du calcul. At- tention néanmoins à bien recommencer à l"indicep+ 1, et non à l"indiceppour ne

compter qu"une seule foisap.2:Ce n"est pas le cas en Python où on peut récupérer la valeur du dernier indice d"une boucle

foraprès la fin de la boucle.

BCPST32 Méthodes de calcul

A Linéarité

La somme est linéaire, c"est-à-dire que

pour toutes les suites(un)et(vn), et pour toute constante, on a

8(m;n)2Z2;nX

k=m(uk+vk) =nX k=mu k+nX k=mv kPropriété 2.1(Linéarité de la somme)

Preuve

Pour toutm2Z, on prouve le résultat par récurrence surn, à partir de la définition de la somme. Remarque :Dans la récurrence, seul "n» doit varier. on ne fait jamais de récurrence sur un couple de valeurs, mais seulement sur un nombre entier.

Rédaction formelle :

Pourm2Zquelconque fixé,

Sin < m, alors le résultat est vrai (toutes les sommes sont vides et donc nulles). On démontrer le résultat pournmpar récurrence surn.

Pour toutnm, on définit la propriété

P m(n) :"nX k=m(uk+vk) =nX k=mu k+nX k=mv k»

Initialisation :pourn=m, le résultat est vrai.

Hérédité :on suppose que le résultat est vrai pour un certainnmquelconque fixé, et on le montre alors pourn+ 1. n+1X k=m(uk+vk) =nX k=m(uk+vk) + (un+1+vn+1) =nX k=mu k+nX k=mv k+un+1+vn+1(par hypothèse de récurrence) nX k=mu k+un+1! +nX k=mv k+vn+1 =n+1X k=mu k+n+1X k=mv k

D"où le résultat vrai au rangn+ 1.

Ainsi, par principe de récurrence,8nm,Pm(n)est vraie. Par disjonction des cas, on a prouvé ce résultat pour toutn2Z(àmfixé).

Et commemétait supposé quelconque, le résultat est vrai pour tout(m;n)2Z2.Avec les notations précédentes,

n X k=m(uk+vk) =nX k=mu k+nX k=mv ketnX k=mu k=nX k=mu kCorollaire 2.2

Exemple

Calculer

nX k=03 k2k.

Solution :

B Changements d"indices

Commençons par un exemple :

n X k=0(k+ 1)2= 12+ 22++n2+ (n+ 1)2=n+1X j=1j 2 Dans cet exemple, nous avons changé d"indice : au lieu de calculer pourk2[[0;n]], nous avons poséj=k+ 12[[1;n+ 1]]ce qui simplifie l"expression de la somme. k2[[0;n]]j=k+1()j2[[1;n+ 1]] Remarque :Comme l"indice est muet, on peut garder la lettrekdans la seconde somme. On n"est pas obligé de la remplacer parj(même si c"est plus facile au début).

BCPSThttps://molin-mathematiques.frLe décalage d"indice revient à utiliser un indice translaté d"une valeur fixe.

Par exemplej=k1ouj=k+ 1.BLes bornes sont aussi translatées. n X k=ma k+1=n+1X j=m+1a j

Pour ne pas se tromper :

On repère le changement d"indice que l"on souhaite réaliser, par exemplej=k+ 1dans le cas ci-dessus pour transformerak+1enaj. On cherche à la main les premières et dernières valeurs de la somme. par exemple, on commence pourk=mavecak+1=am+1=aj, il faut donc que la nouvelle somme commence àj=m+ 1, la somme se termine aveck=n, c"est-à-direak+1=an+1=aj, donc la nouvelle somme finit avecj=n+ 1. Il doit y avoir le même nombre d"éléments dans les deux sommes : si je repousse

la borne inférieure de1, alors la borne supérieure doit être repoussée d"autant.Méthode(Décalage d"indice)

Exemple

Calcul de la somme géométrique :

nP k=0qkavecq6= 1.Solution : Pour inverser l"ordre de sommation (lire la somme en sens contraire) pourkvariant de0àn, on remplacekparj=nkqui varie de0àn. n X k=0a nk=nX j=0a j Tester les bornes à la main pour ne pas se tromper.Méthode(Inversion de l"ordre de sommation) BOn doit conserver une borne de début de somme qui est inférieure à la borne de fin de somme pour ne pas avoir une somme vide. Dans le cas général, pourkvariant demàn, on posej=n+mk: n X k=ma k=nX j=ma n+mj Mais ceci n"est pas à apprendre par coeur, on le retrouve facilement à la main sur les cas concrets.

Exemple

Calculer la somme arithmétique :Sn=nX

k=0k.

BCPST5Solution :

C Sommes télescopiques

Le principe des sommes télescopiques s"appuie sur le changement d"indices. La méth- ode en elle-même est très simple. La vraie difficulté est d"y penser et de repérer les sommes télescopiques en les mettant sous la bonne forme. n X k=m(ak+1ak) =an+1amMéthode(Somme télescopique)

BIl faut être vigilant sur les termes qui restent et ne pas hésiter pas à faire le détail

à la main aux deux extrémités de la somme. n X k=m(ak+1ak) =am+1am +am+2am+1 +am+3am+2 anan1 +an+1an=an+1amPreuve nX k=m(ak+1ak) =nX k=ma k+1nX k=ma k(linéarité) n+1X k=m+1a knX k=ma k(chang. d"indicek+ 1remplacé park) =an+1+nX k=m+1a k nX k=m+1a k+am! (on sort les termes extrémaux pour obtenir les mêmes bornes) =an+1am Pour aller un peu plus vite dans la rédaction, nous avons coupé une étape dans le changement d"indice. On aurait pu commencer par poserj=k+ 1puis ensuitek=j. Nous avons fait les deux manipulations d"un coup.Exemple

Calcul de la somme des

1k(k+ 1).

Solution :

Exemple

Le calcul de la somme géométrique donné plus haut faisait aussi intervenir une somme télescopique.

Exemple

Soitr2R, etu, la suite définie paru02R, et8n2N; un+1=un+r.

Montrer que8n2N; un=u0+nr.

Solution :

D Indices pairs/impairs

Lorsque le signe change en fonction de la parité den, il est parfois intéressant de séparer la somme des indices pairs de celle des indices impairs.Méthode

Calculer

2nX k=0(1)kk.

Solution :

3 Sommes usuelles

Voici quelques sommes usuelles dont il faut connaître les valeurs et que l"on doit pouvoir recalculer rapidement (connaître la preuve). BÊtre attentif aux bornes de sommation : si on change les bornes, la valeur de la somme est modifiée.

A Sommes arithmétiques et géométriques

Soita2C, soientmndeux entiers,

n X k=ma= (nm+ 1)a (nombre de termes)aPropriété 3.1(Somme de constantes) BL"intervalle d"entiers[[m;n]], contientnm+ 1entiers. En particulier, pourm= 0,[[0;n]]contientn+ 1entiers.Soientmetndeux entiers avecmn, n X k=mk=(mn+ 1)(m+n)2 et en particulier :nX k=0k=n(n+ 1)2Théorème 3.2

Preuve(avec les notations " intuitives »)

On poseS=m+ (m+ 1) ++n

On écrit deux fois la somme, en sens contraire.

2S=m+m+ 1 +m+ 2 ++n1 +n

+n+n1 +n2 ++m+ 1 +m(m+n) + (m+n) + (m+n) ++ (m+n) +m+n Or dans la somme, il y anm+ 1termes, donc2S= (nm+ 1)(m+n). Ainsi

S=(nm+ 1)(m+n)2

Preuve(formelle)

On poseS=nX

k=mu k

2S= 2nX

k=mk= 2nX k=mk=nX k=mk+nX k=mk nX k=mk+nX j=m(n+mj)(changement d"indice pour retourner la somme) nX k=mk+nX j=m(n+m)nX j=mj(linéarité de la somme) nX k=m(n+m) = (nm+ 1)(n+m) n X k=mk= (nm+ 1)n+m2

BCPST7Soit(un)une suite arithmétique,

Soientmetndeux entiers avecmn,

n X k=mu k= (nm+ 1)un+um2 et en particulier :nX k=0u k= (n+ 1)un+u02 (nombre de termes)(moyenne des termes extrêmes)Théorème 3.3(Rappel : somme arithmétique) Remarque :Pourr= 0, on retrouve la somme d"une constante.

Preuve

On poseS=Pn

k=muk

2S= 2nX

k=mu k= 2nX k=m(u0+kr) = 2nX k=mu

0+ 2rnX

k=mk(linéarité) = 2(nm+ 1)u0+r(nm+ 1)(n+m) = (nm+ 1)(2u0+r(n+m)) = (nm+ 1)(un+um) n X k=mu k= (nm+ 1)un+um2

Soitq6= 1,

Soientmetndeux entiers avecmn,

n X k=mq k=qm1qnm+11qet en particulier :nX k=0q k=1qn+11qThéorème 3.4 BNe pas se tromper sur le nombre de termes pour l"exposant.

Preuve(avec les notations " intuitives »)

Si on note la sommeSn=q0+q1+q2+q3++qn,

alorsqSn=qq0+qq1+qq2+qq3++qqn =q1+q2+q3+q4++qn+1 Lorsqu"on calcule la différenceSnqSn, beaucoup de termes s"annulent : S nqSn=q0+q1+q2++qn q1+q2++qn+qn+1q 0qn+1

Donc en factorisant parSn:(1q)Sn= 1qn+1.

Commeq6= 1, on peut diviser par1qde chaque côté de l"égalité : S (déjà faite à la page 4 , mais ici, on peut adopter une preuve plus rapide).

On poseS=nP

k=0qk. (1q)S=SqS=Pn k=0qkqk+1=q0qn+1(somme télescopique):

Orq6= 1, doncnP

k=0qk=1qn+11q.Soit(un)une suite géométrique de raisonq6= 1,

Soientmetndeux entiers avecmn,

n X k=mu k=um1qnm+11qet en particulier :nX k=0u k=u01qn+11qThéorème 3.5(Rappel : somme géométrique) BNe pas oublier de mettre le premier terme en facteur. Au numérateur, l"exposant correspond au nombre de termes de la somme.

Preuve

n X k=mu m=nX k=mu mqkm=umn X k=mq km=umnmX k=0q k=um1qnm+11qRemarque :Dans le cas où la raison vaut1, on additionne simplementn+ 1fois le même termeu0.

B Sommes d"Euler

Ces trois sommes sont à connaître par coeur. n X k=0k=n(n+ 1)2 ;nX k=0k

2=n(n+ 1)(2n+ 1)6

;nX k=0k

3=n(n+ 1)2

2Théorème 3.6(Sommes d"Euler)

Preuve

On peut faire la preuve par récurrence à condition de connaître les formules au préalable.

Il existe aussi une preuve qui permet de retrouver facilement cette formule et qui se généralise à nP k=0k3;nP k=0k4...

Cela évite alors d"avoir recours à des formules " tombées du ciel ». Cette méthode sera

vue en exercice. BCPSThttps://molin-mathematiques.frC Égalité de Bernoulli L"égalité de Bernoulli est une généralisation de l"identité remarquable a

2b2= (ab)(a+b). On peut aussi la voir comme une généralisation de la

somme géométrique. Elle est surtout utile dans le sens de la factorisation.

Soient(a;b)2C2, soitn2N,

a n+1bn+1= (ab)nX k=0a kbnk= (ab)nX k=0a nkbkPropriété 3.7(Égalité de Bernoulli) BLa somme ne va que jusqu"àncontrairement aux puissances.

Preuve

La deuxième égalité s"obtient directement à partir de la première par changement d"indice :k!nk, ou simplement en remarquant une symétrie entreaetbau signe "» près. Pour la première égalité, nous proposons ici deux preuves.

Preuve directe :

Le plus simple est de partir de l"expression avec la somme (il est plus simple de dévelop- per que de factoriser) : (ab)nX k=0a kbnk=anX k=0a kbnkbnX k=0a kbnk=nX k=0a k+1bnknX k=0a kbnk+1 nX k=0a k+1 bn+1(k+1)akbn+1k =an+1bn+1(somme télescopique)

Autre preuve avec la somme géométrique :

Sia=b, le résultat est trivial (les deux membres valent0). Sia= 0, le résultat se vérifie de façon élémentaire en remplaçant dans la somme.

Dans les autres cas,

a n+1bn+1ba=an1ba n+11baquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

[PDF] indemnité de mobilité fonction publique territoriale

[PDF] calcul prime de mobilité

[PDF] indemnité de mobilité cdg

[PDF] changement de résidence administrative fonction publique territoriale

[PDF] prime de mobilité professionnelle

[PDF] prime de mobilité géographique

[PDF] indemnité de mobilité professionnelle

[PDF] indemnité mobilité pole emploi

[PDF] clause de mobilité legifrance

[PDF] code du travail marocain mutation

[PDF] code de travail marocain changement de poste

[PDF] clause de mobilité code du travail maroc

[PDF] code de travail marocain mobilité

[PDF] clause de mobilité droit marocain

[PDF] tutoriel padlet 2017