Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout
L'inégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1− on a : ( )1. 1 n x nx. + ≥. +.
Inégalité de Bernoulli:
10 sept. 2022 RECURRENCE ET. LIMITE DE SUITE. Chapitre 2 : Démonstration par récurrence et limite de suite. I. RAISONNEMENT PAR RECURRENCE. 1. Commençons par ...
Montrons linégalité de Bernoulli : ∀n∈ ℕ ∀a ∈ ℝ+
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SUITES ET RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Démontrons l'inégalité de Bernoulli : ∀a ∈ ℝ+. * ∀n∈ ℕ
Le raisonnement par récurrence
12 mar. 2017 3) Pour prouver un critère de divisibilité. 4) Pour prouver une inégalité non-triviale (l'inégalité de. Bernoulli par exemple). 5) ...
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Mathématiques Avancées
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LES SUITES (Partie 1)
D'après le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel n
Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale
- Limite de (qn) après démonstration par récurrence de l'inégalité de Bernoulli. - Divergence vers + ∞ d'une suite minorée par une suite divergeant vers +
Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout
L'inégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1? on a :.
SUITES ET RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Démontrons l'inégalité de Bernoulli : ?a ? ?+. * ?n? ?
EXERCICES MPSI R. FERRÉOL 16/17
(inégalité de Bernoulli) : Montrer que si x ^ ?1 alors pour tout n entier naturel
LES SUITES (Partie 1)
de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel n
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2 oct. 2014 Raisonnement par récurrence. Page 5. Une inégalité suisse. Théorème (Inégalité de Bernoulli). Pour tout entier naturel n ? 1 et pour tout réel ...
Le raisonnement par récurrence
12 mar. 2017 4) Pour prouver une inégalité non-triviale (l'inégalité de. Bernoulli par exemple). 5) Enfin le raisonnement par récurrence sous-tend.
Démonstrations exigibles au bac
(1 + na)(1 + a) (par hypothèse de récurrence et car 1 + a ? 0) (l'inégalité de Bernoulli :) pour tout réel positif a et tout entier naturel n ...
Raisonnement par récurrence : Exercices Corrigés en vidéo avec le
Récurrence - inégalité de Bernoulli x est un réel positif. Démontrer que pour tout entier naturel n (1 + x)n ? 1 + nx. Récurrence et géométrie.
Fascinants nombres de Bernoulli
19 avr. 2013 La récurrence est ainsi vérifiée. Théorème 6 Von Staudt-Clausen. La somme Bp + ? q premier q?1
Le raisonnement par récurrence
La somme des nombres impairs: Deviner la formule pour la somme des n premi- ers nombres impairs puis la démontrer par récurrence. 3. L'inégalité de Bernoulli:
II. 1)NOTATIONSET
1. : Sommes des puissancesp-ièmes desnpremiers entiers.
Posons :a
n= n k=1k=n(n+ 1)2;bn= n k=1k2;cn= n k=1k3;dn= n k=1k4. (a) En remarquant quec n+1= n k=0(k+ 1)3, montrer quecn+1=cn+ 3bn+ 3an+n+ 1 ;en déduire la valeur debn. (b) Montrer de même qued n+1=dn+ 4cn+ 6bn+ 4an+n+ 1; en déduire la valeur decn. Rep:b n=n(n+ 1)(2n+ 1)6;cn=n(n+ 1)2 2 (c) * Généralisation : siS pn= n k=0kp,montrer la formule de récurence de Pascal (1654) : (p+ 1)S pn= (n+ 1)p+1- p-1 k=0 p+ 1 k S kn. (d) * Calculerd n=S4net vérifier quedn= (6an-1)bn/5.2. : Remplir le tableau après avoir calculé les sommes correspondantes :
ai,j=1iji+jij1i, jnai j=
1ijnai j=
3. : (a) Calculer n1i,jnmin(i,j).
(b) En déduire la valeur de n1i,jnmax(i,j),puis celle de
n1i,jn|i-j|.
4. * Inégalité de Tchebychev :
(a) Montrer que 1i(autrement dit, lorsque deux séries dennombres sont rangés dans l'ordre croissant, le produit de leurs moyennes
est inférieur ou égal à la moyenne de leurs produits)5. * :
(a) Démontrer l'identité de Lagrange : n k=1 a2 k n k=1 b2 k =n k=1 akbk 2 1i(c) En déduire, pour-→u= (a1,a2,...,an)et-→v= (b1,b2,...,bn)∈Rnl'inégalité de Cauchy-Schwarz :
n k=1 akbk n k=1 a2 k n k=1 b2 kA quelle CNS portant sur
-→uet-→va-t-on égalité entre les deux membres de cette égalité ?6. * : Inégalité entre écart-type et écart moyen.
(a) Montrer que si n k=1ak= 0,alors n k=1a2 k12 n k=1|ak| 2Indication : partir de
n k=1ak 2 = 0. (b) En déduire que siσest l'écart-type de la série de nombres(a1,a2,...,an)etσ′son écart-moyen, alorsσn
2σRappel :σ=
n k=1(ak-m)2 netσ n k=1|ak-m| n,oùmest la moyenne arithmétique des ak.7. * : Encadrement de Gauss de la factorielle :
(a) Montrer que pourn1, n! = i+j=n+1 i1,j1 (b) Montrer que sii1etj1,alorsi+j-1iji+j 2 2 (c) En déduire l'encadrement :n n2n!n+ 12
n8. * : Un encadrement de
2n n (a) Montrer que : 1k2n kimpair k 1k2n kpair k=(2n)!22n(n!)2= 2n n4n (b) En déduire que pourn1:4 n 2n2n n 4 n 2.II 2)3)RÉCURRENCES, BINÔME
9. (inégalité de Bernoulli) : Montrer que six-1,alors pour toutnentier naturel,(1 +x)n1 +nx.
(a) Par récurrence. (b) En utilisant la formule du binôme, uniquement pourx0. (c) En utilisant la formule de Bernoulli, uniquement pourx0. (d) Proposez une quatrième méthode.10. : On donnef(x) =1
x+a; conjecturer une formule pour la dérivéen-ièmef (n)(x)et la montrer par récurrence. 2 EXERCICES MPSIA1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOMER. FERRÉOL 16/1711. : Partant deu0= 1,calculeru1,u2,u3puis conjecturer une formule pourunet la démontrer par récurrence, dans les
cas suivants : (a)u n+1=un un+ 1 (b)u n+1=unu2 n+ 1 (c)u n+1=un un+ 212. (nombres de Catalan) : On poseC
0= 1etCn+1=n
k=0CkCn-k. (a) Calculer les 5 premiers termes de cette suite. (b) Montrer par récurrence simple queC n2n-1pour toutn0. (c) * Montrer par récurrence forte queC n3n-2pour toutn0. (d) * Tenter de montrer par une récurrence similaire à celle de c)C n4n-2pour toutn0.A quel endroit ceci échoue-t-il ? Pourquoi est-il heureux que cette démonstration échoue ?13. * : Variantes de raisonnements par récurrence.
Parmi les énoncés suivants, lesquels permettent d'en déduire queP nest vraie pour tout natureln? (a)P0est vraie et pour tout natureln, Pn⇒(P2netP2n+1).
(b)P0etP1sont vraies et pour tout natureln1, Pn⇒(P2netP2n+1).
(c)P0,P1,P2sont vraies et pour tout natureln2, Pn⇒(P2netP2n+1).
(d)P1est vraie, pour tout natureln1, Pn⇒Pn-1et pour tout natureln, Pn⇒P2n(récurrence de Cauchy).
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