Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout
L'inégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1− on a : ( )1. 1 n x nx. + ≥. +.
Inégalité de Bernoulli:
10 sept. 2022 RECURRENCE ET. LIMITE DE SUITE. Chapitre 2 : Démonstration par récurrence et limite de suite. I. RAISONNEMENT PAR RECURRENCE. 1. Commençons par ...
Montrons linégalité de Bernoulli : ∀n∈ ℕ ∀a ∈ ℝ+
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SUITES ET RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Démontrons l'inégalité de Bernoulli : ∀a ∈ ℝ+. * ∀n∈ ℕ
Le raisonnement par récurrence
12 mar. 2017 3) Pour prouver un critère de divisibilité. 4) Pour prouver une inégalité non-triviale (l'inégalité de. Bernoulli par exemple). 5) ...
Fascinants nombres de Bernoulli
19 avr. 2013 Proposition 2 Relations de récurrence entre les nombres de Bernoulli ... (Cette suite d'inégalités étant vraie car q ≥ 3 et p − k + 1 ≥ 2 ...
Mathématiques Avancées
2 oct. 2014 Raisonnement par récurrence. Page 5. Une inégalité suisse. Théorème (Inégalité de Bernoulli). Pour tout entier naturel n ≥ 1 et pour tout réel ...
LES SUITES (Partie 1)
D'après le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel n
EXERCICES MPSI R. FERRÉOL 16/17
II 2)3) RÉCURRENCES BINÔME. 9. (inégalité de Bernoulli) : Montrer que si x ^ −1
Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale
- Limite de (qn) après démonstration par récurrence de l'inégalité de Bernoulli. - Divergence vers + ∞ d'une suite minorée par une suite divergeant vers +
Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout
L'inégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1? on a :.
SUITES ET RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Démontrons l'inégalité de Bernoulli : ?a ? ?+. * ?n? ?
EXERCICES MPSI R. FERRÉOL 16/17
(inégalité de Bernoulli) : Montrer que si x ^ ?1 alors pour tout n entier naturel
LES SUITES (Partie 1)
de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel n
Mathématiques Avancées
2 oct. 2014 Raisonnement par récurrence. Page 5. Une inégalité suisse. Théorème (Inégalité de Bernoulli). Pour tout entier naturel n ? 1 et pour tout réel ...
Le raisonnement par récurrence
12 mar. 2017 4) Pour prouver une inégalité non-triviale (l'inégalité de. Bernoulli par exemple). 5) Enfin le raisonnement par récurrence sous-tend.
Démonstrations exigibles au bac
(1 + na)(1 + a) (par hypothèse de récurrence et car 1 + a ? 0) (l'inégalité de Bernoulli :) pour tout réel positif a et tout entier naturel n ...
Raisonnement par récurrence : Exercices Corrigés en vidéo avec le
Récurrence - inégalité de Bernoulli x est un réel positif. Démontrer que pour tout entier naturel n (1 + x)n ? 1 + nx. Récurrence et géométrie.
Fascinants nombres de Bernoulli
19 avr. 2013 La récurrence est ainsi vérifiée. Théorème 6 Von Staudt-Clausen. La somme Bp + ? q premier q?1
Le raisonnement par récurrence
La somme des nombres impairs: Deviner la formule pour la somme des n premi- ers nombres impairs puis la démontrer par récurrence. 3. L'inégalité de Bernoulli:
Historique
L"objectif d"un raisonnement par récurrence est de prou- ver qu"une propriétéP(n)est vraie pour une infinité d"entiers naturels n?n0, oùn0désigne un entier na- turel fixé. Ce raisonnement est rendu possible du fait même de la structure discrète deNet donc de l"existence de la no- tion de " successeur » currence semble remonter àBlaise Pascal
dans son traite autour du triangle qui porte son nom. Mais c"est le ma- thématicienHenri Poincaré
(1854-1912) qui l"a formalisé et a donné à cette méthode très puissance de raisonne- ment un contexte rigoureux et indiscutable.Quand peut-on utiliser un raisonnement par
récurrence? 1) Pour déterminer le terme général d"une suite nu- mérique ou établir une formule explicite de somme (somme des carrés, des cubes par exemple) 2) Pour démontrer qu"une suite est minorée, majorée, bor- née ou encore monotone. 3)Pour prouver un critère de divisibilité.
4) Pour prouver une inégalité non-triviale (l"inégalité deBernoulli par exemple)
5) Enfin, le raisonnement par récurrence sous-tend quelques démonstration de question ( ROC Le raisonnement par récurrence est parfois délicat à ma- nipuler :Il faut savoir identifier
qu"il s"impose car dans le cadre du BAC, ce n"est pas toujours suggéré. Il faut y penser mais se garder de voir des récurrences partout. Un contexte propice au raisonnement par récurrence est celui des suites récurrentes d"ordre 1. L"étape d"hérédité n"est pas toujours facile à réaliser La stratégie dépend de la forme de la propriété mais dans tous les cas, on doit partir de quelque chose d"ac- quis. Le plus souvent, il s"agit de l"hypothèse de récur- rence (HR). Qu"on débute par elle ou qu"on l"injecte en cours de raisonnement,HR doit toujours avoir été uti-
lisée Les grandes étape du raisonnement par récurrenceInitialisationOn commencetoujourspar s"assurer que la pro-
priété à démontrer est vérifiées au rang initialn0. Dans le cas contraire, inutile d"aller plus loin, la pro- priété est fausse dans le cadre de l"énoncé.Le raisonnement par
récurrence? d0dndn+1Le premier
domino tombe.AmorceSi lenedomino tombe, il
fait tomber le(n+1)e.Propagation
D"autres raisonnements par récurrence existent. Certains sont hors programme comme la récurrence finie, la récurrence descendante ou transfinie. En revanche, on présente parfois au lycée la récur- rence forte . Cette dernière consiste à booster l"hy- pothèse de récurrence par rapport à une récurrence simple en supposant la propriété à démontrer vraie jusqu"à un rang fixé (i.e den0àn).HéréditéIl s"agit de prouver que le caractère mathématique setransmet à la génération suivante.On fait une
hypothèse de récurrence (HR) qui consiste à supposer que la propriété est vraie pour un entier naturelfixéntel quen?n0 Sous cette hypothèse, il "agit alors de montrer que la propriété rest vraie au rang suivant(n+1).Conclusion :Si
P(n0)estvraie
etP(n)?P(n+1)
alors,onamon- tré par récurrence que :?n?n0,P(n)est vraie.L"initialisation est indispensable!
L"étape d"initialisation
consiste en général en une simple formalité (souvent évidente) mais n"en reste pas moins in- dispensable pour rendre le raisonnement effectif En effet, l"hérédité qui est un processus avant tout méca- nique nécessite une amorce pour s"appliquer de proche en proche (effet dominos). Il existe de nombreux exemples de propriétés héréditaires et pourtant fausse.Exemple
:?n?N?, 6n+1 multiple de 5. Cette propriété est héréditaire et pourtant fausse (sin=1, on a 61+1=7 non multiple de 5)ROC et raisonnement par récurrence
Ces propriétés sont en général précédées d"un prére- quis indispensable à la netteté du raisonnement.. 1) ?n?N?,(ex)n=en x 2) ?n?N?, ln(xn) =nlnx, avecx>0. 3) ?n?N?, arg(zn) =narg(z) [2π], avecz?=0. 4) ?n?N?, zn= ( z)n. 5)Inégalité de Bernoulli
: soita?Reta>0 : ?n?N,(1+a)n?1+na.PAULMILAN
DERNIÈRE IMPRESSION LE12 mars 2017 à 17:43TERMINALE S La récurrence sur le terrain - Quelques exemplesExemple 1-P(n):?n?N?,n∑
k=1k3=?n(n+1) 2? 2Initialisation:n=1On a1∑
k=1k3=13=1 et?1(1+1) 2? 2 =12=1P(1)est vraie, la proposition est initialisée.
Hérédité
: Soitn?N?fixé, on suppose quen∑ k=1k3=?n(n+1) 2? 2 est vraie. (HR)Montrons alors quen+1∑
k=1k3=?(n+1)(n+2) 2? 2 : ordre(n+1). (But)On a :n+1∑
k=1k3= n∑ k=1k3+ (k+1)3 HR= ?n(n+1) 2? 2 + (n+1)3 n2(n+1)2+4(n+1)34=(n+1)2(n2+4n+4
4 (n+1)2(n+2)24=?(n+1)(n+2
2? 2 P(n+1)est vraie, la proposition est héréditaire.Conclusion:
Par initialisation et hérédité, on a montré que : ?n?N?,n∑ k=1k3=?n(n+1) 2? 2 La récurrence sur le terrain - Quelques exemplesExemple 2-P(n):?n?N, 3?un+1?un?8
La suite(un)est définie par
u0=8 etun+1=⎷3un+1=f(un)
La fonction associéef:x?→⎷
3x+1 est croissante sur[-1
3;+∞[car composée de
deux fonctions croissantes. fne change pas la relation d"ordreInitialisation:n=0
On au0=8 etu1=⎷
24+1=5 donc 3?u1?u0?8
P(0)est vraie. La proposition est initialisée.
Hérédité
: Soitn?Nfixé, on suppose que 3?un+1?un?8. (HR)Montrons alors que 3?un+2?un+1?8.
(But)D"après HR : 3?un+1?un?8
f?? f(3)? f(un+1)? f(un)? f(8) ?3?⎷10?un+2?un+1?5
P(n+1)est vraie. La proposition est héréditaire.Conclusion:
Par initialisation et hérédité :?n?N, 3?un+1?un?8Interprétation:
On a montré
?n?N,un+1?undonc(un)est décroissante ?n?N, 3?un?8 donc(un)est bornée par [3; 8]. En particulier,(un)est minorée par 3.Qu"en déduire ...
La suite(un)converge vers??[3 ; 8]
Exemple 3 - Inégalité de Bernoulli:P(n):?n?N,?a>0(1+a)n?1+naInitialisation:n=0On a(1+a)0=1 et 1+0a=1 ainsi(1+a)0?1+0a.
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