Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout PDF

L'inégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1− on a : ( )1. 1 n x nx. + ≥. +.

Inégalité de Bernoulli:

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Montrons linégalité de Bernoulli : ∀n∈ ℕ ∀a ∈ ℝ+

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SUITES ET RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

Démontrons l'inégalité de Bernoulli : ∀a ∈ ℝ+. * ∀n∈ ℕ

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D'après le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel n

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- Limite de (qn) après démonstration par récurrence de l'inégalité de Bernoulli. - Divergence vers + ∞ d'une suite minorée par une suite divergeant vers +

Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout

L'inégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1? on a :.

SUITES ET RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

Démontrons l'inégalité de Bernoulli : ?a ? ?+. * ?n? ?

EXERCICES MPSI R. FERRÉOL 16/17

(inégalité de Bernoulli) : Montrer que si x ^ ?1 alors pour tout n entier naturel

LES SUITES (Partie 1)

de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel n

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La somme des nombres impairs: Deviner la formule pour la somme des n premi- ers nombres impairs puis la démontrer par récurrence. 3. L'inégalité de Bernoulli:

PanaMaths Septembre 2013

L'inégalité de Bernoulli.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1, on a : 11 n xnx

Analyse

Elle est classique et bien pratique. On peut la trouver sous diverses formes, l'inégalité pouvant, modulo une petite modification du champ d'application, être stricte. La forme proposée est obtenue grâce à un raisonnement par récurrence simple.

Résolution

Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

P : " 1; , 1 1

nxxnx »

Initialisation

Pour

1n, on a : 1; , 1 1

n xxx et

1; , 1 1xnx x .

L'inégalité (qui s'avère être une égalité dans ce cas) est donc bien vérifiée pour tout réel x

supérieur ou égal à 1. 1

P est donc vraie.

Hérédité

Soit N un entier naturel non nul quelconque fixé. On suppose N

P vraie. On suppose donc que

l'on a :

1; , 1 1

N xxNx (hypothèse de récurrence).

On veut montrer que

P, c'est-à-dire :

1; , 1 1 1

N xxNx Pour tout réel x supérieur ou égal à 1 , on a : 10x et donc :

111111

NN xNxxxNxx

C'est-à-dire :

12 111
N xNx N x

PanaMaths Septembre 2013

Comme 2

0Nx, il vient

11 11NxNx Nx et, finalement :

1 111
N xNx t 1N

P est donc vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel n non nul,

P est vraie.

Résultat final

*, 1; , 1 1 n nx xnxquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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PanaMaths Septembre 2013

L'inégalité de Bernoulli.

Analyse

Résolution

Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

P : " 1; , 1 1

Initialisation

1n, on a : 1; , 1 1

1; , 1 1xnx x .

P est donc vraie.

Hérédité

P vraie. On suppose donc que

1; , 1 1

On veut montrer que

P, c'est-à-dire :

1; , 1 1 1

111111

C'est-à-dire :

PanaMaths Septembre 2013

0Nx, il vient

11 11NxNx Nx et, finalement :

P est donc vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel n non nul,

P est vraie.

Résultat final