[PDF] TD 3 : Information de Fisher méthode du ? 1 Information de Fisher

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Paul-Antoine Chevalier et Hugo Harari-Kermadec 17 novembre 2009

Statistiques

TD 3 : Information de Fisher, m

ethode du2

L3, ENS-Cachan, 2009-20101 Information de Fisher

Calculer l'information de Fisher dans les modeles statistiques suivants : +Q1 une loi de Poisson de parametre:

P((X=k)) =ekk!pourk2NSolution:

Dans le cas ou le modele est regulier, on peut calculer l'information de Fisher sous sa deuxieme forme etInegale anfois l'information de Fisher pour une observation (I1). On se contente donc de calculer l'information de Fisher dans le casn= 1. Montrons que la loi de Poisson conduit a un modele regulier. Le modele s'ecrit : (X1;:::;Xn);Xn=Nn;P n ;2R+ On a bien les deux hypotheses necessaires :Xne depend pas deet7!f(k) = e kk!estC1donc derivable deux fois. L

1() =ekk!

logL1() =+kloglog(k!) @logL1@ () =1 +k

2logL1@

2() =k

2

OrI1() =Eh@2logL1@

2()i etE[X] =, doncI1() =1 etIn() =n +Q2 une loi de Pareto de parametresavec >1 avec >0 xe, de densite : f(x) =1 x 1 x

Solution:

IciX= [;+1[ ne depend pas de(ici, xe, n'est pas un parametre mais une constante). La fonction7!1 exp(loglogx) est bien derivable deux fois.

On peut donc se limiter a calculerI1() :

L

1(x1;) =1

x 1 1 [;+1[(x) logL1(x1;) = log(1)log+loglogx1

On calcule les derivees de la Log-vraisemblance :

@logL1@ = 1=(1) + loglogx;

2logL1@

2=1(1)2

D'ouI1() =1(1)2etIn() =n(1)2.

+Q3 une loi uniforme sur [0;] avec >0 inconnu.Solution:

Pour une donnee, la vraisemblance du modele est

L

1() =f(x) =1

1[0;](x) =1

1[x;+1[();

l'ensembleXtel quef(x)>0 depend donc de. Ceci contredit la regularite du modele. L'information de Fisher est denie mais on ne peut pas utiliser sa deuxieme forme, niIn=nI1. L n() =Y i1 1xi=1 n1maxifxig; donc S n() =@logLn() =n

1maxifxig:

I n() =ESn()2=E n 2 =n2 2 Remarquons que sous la deuxieme forme, on aurait obtenu un autre resultat (faux) E @2logLn@ 2() =E @Sn@ =Eh n 2i =n 26=n2
2 En eet, pour ce modele n'est pas regulier, puisqueX= [0;] depend de.In() existe et est egale par denition a la variance du score, mais elle ne peut ^etre calculee a partir de la derivee seconde de la logvraisemblance.

2 Methode du2

Des le premier TD, H

2K se fait une idee sur les 1D3. Son jugement sur l'etudiantiprend

la forme d'une v.a.Xiuniforme dont on souhaite conna^tre la borne superieure. En eet, s'il est clair qu'un etudiant completement nul vaut 0, jusqu'ou peut monter l'estime de l'enseignant pour un de ses etudiants?

On releve donc les impressions d'H

2K sur les 1D3, qu'on suppose ^etre i.i.d. de loiU([0;0]).

7:68 7:84 3:36 1:2 1:2 5:52 1:04 0:88 5:6 4:88

0:16 7:84 1:92 1:84 3:04 2:96 7:84 5:6 5:52 7:28

+Q1 Calculer l'esperance deX1. En deduire un estimateur par substitution de0.Solution:

L'esperance deX1vaut

Z R +xf

0(x)dx=Z

R +x

01[0;0](x)dx=x220

0 0 =2020=02

On peut alors estimer

02 par la moyenneXet donc0par 2X. On trouve 2X= 8;32. +Q2 On veut estimer par la methode du2la borne superieure0. Pour une valeurdu parametre, on decoupeX= [0;] en 4 classes : C

1= [0;2]C2=]2;4]C3=]4;6]C4=]6;]

Quel est l'estimateur du2pour0?Solution:

On calcule les eectifs empiriques ^nket theoriquesnk() :ClasseC

1= [0;2]C

2=]2;4]C

3=]4;6]C

4=]6;]^nk7355

n k()20 2020
4220
6420
6 en eet, l'eectif theorique pour la deuxieme classe par exemple est n

2() =nFU([0;])(4)FU([0;])(2)= 20400200

= 2042

On a alors

e

Dn() =1n

4 X k=1(^nk)2n k()=4940=+940=+2540=+2520(6)==8340 +2520(6)

Pour trouver le minimum, on derive en:

eDn() =8340

152(6)2

eDn(^) = 0,(^6)2=1540832,^= 6 +r1540832,^7;9: N.B. :Puisqu'il y a des observations superieures a 6, on cherche unsuperieur a

6 on a doncq(

^6)2=^6.

On verie que la derivee seconde est positive :

2@

2eDn(^) =302(

^6)3>0

On a bien un minimum.

En fait, il s'agit de donneesU([0;8]). L'estimateur du2est donc meilleur que l'estimateur par substitution.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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