TD 3 : Information de Fisher méthode du ? 1 Information de Fisher
Dhu?l-Q. 29 1430 AH Calculer l'information de Fisher dans les mod`eles statistiques ... en effet
TD no 7 : Information de Fisher et vraisemblance
In(?) = n. 3(1 + ?)2 . Exercice 3. La durée de vie en heures d'un certain type d'ampoule peut être modélisée par une.
Année Universitaire 2006-2007 COURS DE STATISTIQUE
3.1 Un exemple introductif. 3.2 Exhaustivité. 3.3 Information de Fisher. 4. L'estimation ponctuelle. 4.1 Définition d'un estimateur.
Observabilité et inversibilité de la matrice dinformation de Fisher
Le palliatif est alors l' «augmentation » de la MIF selon la méthode de Levenberg-Marquardt [12]. b) Second contre-exemple (tiré de [8]) : Considérons le
Information de Fisher
En termes simples moins une observation est probable
Mise `a niveau Comparaison destimateurs
Information de Fisher. Inégalité de l'Information et borne de Cramer-Rao. Efficacité asymptotique. EXEMPLES. Exemple 1 : la loi exponentielle Soit X ? E(?)
Statistiques mathématiques
L'analyse statistique aura alors pour but par exemple de déterminer (toujours au vu des Exemple 3.5 (Information de Fisher pour une v.a. gaussienne):.
Corrigé : Feuille de travaux dirigés 3
Il reste à calculer sa variance et l'information de Fisher I1(?). Un calcul similaire à celui de la question 1. donne Var?(X1) = ? d'où. Var?(S(X)) =.
Problèmes inverses Partie 2 — Chapitre 3 Estimation par maximum
Définition. Info. de K.-L. EMV : consistance. Info. de Fisher norm. asympt. Effic. asympt. Int. conf. et test de Wald. Vraisemblance. Un exemple discret.
UV Statistique Cours n°5/6
Information de Fisher. • Exemple : Calculer l'information apportée par une observation sur le paramètre µ d'une loi normale ou ?2 est connu.
LICENCED'INGENIERIEMATHEMATIQUES
AnneeUniversitaire2006-2007
COURSDESTATISTIQUEINFERENTIELLE
(VersionAvril2007) JER^OMEDUPUIS
UNIVERSITEPAULSABATIER(ToulouseIII)
1 2SOMMAIRE
1.Exemplesintroductifsetgeneralites
1.1Exemplesintroductifs
1.2Generalites
2.Modelesstatistiques
2.2Autresmodelesstatistiques
3.Exhaustiviteetinformation
3.1Unexempleintroductif
3.2Exhaustivite.
3.3InformationdeFisher
4.L'estimationponctuelle
4.1Denitiond'unestimateur
4.2Proprietesd'unestimateur
4.3Comparaisonentreestimateurs
4.4Estimateurdumaximumdevraisemblance
4.5Estimateurdesmoments
35.L'estimationparintervalledeconance
5.1Denition,exempleetcommentaires
5.2Quelquesprincipesgeneraux
5.3Intervallesdeconanceclassiques
6.Lestests
6.1Exemplesintroductifs
6.2Laproblematiqued'untest
6.3L'approchedeNeyman-Pearson
6.5Lapratiquedestests.
-laloideXestquelconque. -laloideXestquelconque -comparaisondesvariances(testdeFisher). -comparaisondesmoyennes(testdeStudent).6.6Testsnonparametriques.
6.6.1TestdessignesettestdeWilcoxon.
46.6.3Testduchi-deuxd'independance.
51.1Exemplesintroductifs
ExempleNo1.
ExempleNo2.
2. deceresultatquelapieceestequilibree?ExempleNo3.
6 exponentielledeparametresisadensiteest: f(x)=1 exph xi1I[0;+1[(x):
ousi,al'inverse>T.Commentaires
X1.2Generalites
7 modelisation(aleatoire)desdonnees. statistiquedechoixdemodeles). b)Validerlemodeleretenu. testsportantsurlesparametresdumodele. derniereetapedecetteprocedure. aleatoires. 8Chapitre2.MODELESSTATISTIQUES
Denition.
Commentaires.
poseeconnue;seulleparametreestinconnu. momentoul'onsedonnelaloideX,asavoirP. appelleunechantilloni.i.d.deloiP. l'espacesdesobservations. yamodelisation(etmodele). (Xn;B n;P n ;2)ouP n munidelatribuproduitB n. 9Notations.
Exemples.
laloideBernoullideparametre2=[0;1]. aunseullancer)denisurl'espace ouB=P(f0;1g)Remarques.
10 fonctionL:![0;1]denieparDanslecadredumodeled'echantillonnage
L(;x1;::::xi;:::;xn)=nY
i=1f(xi;): x2.3Autresmodelesstatistiques.
SituationNo1.
11SituationNo2.
Commentaires.
123.1Unexempleintroductif
estegaleaPn cela.3.2Exhaustivite.
Denition1.
Commentaires
IlconvientdenoterqueTnedependpasde.
Exemplesdestatistique
X=IRetY=IR.
(x1;:::;xi;:::;xn)7!T(x1;:::;xi;:::;xn)= xn. i=1x2i.Xn,T=Pn
iX2i,etc.Denition2.
Exemple
iXiestexhaustive.On 13 verieeneetfacilementque:P(X=xjT=t)=t(1)nt
Ctnt(1)nt=1CtnsinX
i=1x i=t etqueP(X=xjT=t)=0sinon.Theoremedefactorisation(admis).
ExempleNo1
i=1Xiestexhaustive puisque f(x;)=1 Qn i=1xi!T(x)exp[n] factoriseautraversde: g(x)=1 Qn i=1xi! etde h(T(x;))=T(x)exp[n]ExempleNo2
Pn i=1Xi;Pn3.3InformationdeFisher
14H1:82;8x2X;f(x;)>0.
H2:82;8x2X;@
@f(x;)et@2@2f(x;)existent. H3:82;8B2Bonpeutderiver2foisR
Bf(x;)dxparrapportasouslesigne
Remarques.
f(x;)=11I[0;](x).
3.3.1Denition
Soitlemodele((X;B);P;2).Laquantite
I()=E"
@logf(X;) 2# s'appellel'informationdeFisheraupoint.OnappellescorelaquantiteS(x;)=@
@logf(x;).Onadonc:I()=E[S2]
I()=E"
@2 @2logf(X;)# quecelledeladenition. 15Exemple.
3.3.3Proprietesdel'informationdeFisher
Propriete1.
I()0pourtout
Propriete2.
Q I (X;Y)()=IX()+IY()Consequence.
I (X1:::;Xi;:::;Xn)=nIX()Propriete3.(admise)
I I laloiimagedePparT.Exemple
iXiest 16 exhaustive.Onad'unepart: I (X1:::;Xi;:::;Xn)()=nIX()=n (1):D'autrepart,laloideT=Pn
pourdensite f(t;)=Ctnt(1)nt;t2f0;:::ng onendeduitque: 2 @2logf(t;)=" t2+nt(1)2# d'ouIT()=n (1)puisqueE[T]=n(cqfd). 17Chapitre4.L'ESTIMATION
4.1Denitiond'unestimateur
Autrementdit:
T:Xn! x7!T(x)Commentaires
aleatoireX. rappelerquelatailledel'echantillonestn)Exemple
b n(x)=Argmax2L(;x): 18 b nsuituneloiN(;2 n).4.2Proprietesd'unestimateur
4.2.1Estimateursansbiais
Soit bunestimateurde.Exemple
bn=XnestunestimateursansbiaisdeE[X].Remarque
Exemple
c2=1nP nParcontreS2n=1
n1P n zeroquandn!+1.Exemple
c2=1nP n4.2.2Estimateurconvergent
Exemple
l'estimateur bn= 19 verszeroestconvergent.4.3Comparaisonentreestimateurs
notionderisquequadratiquedenici-dessous. quadratique).Remarque
b 1=Xnetb2=nXn+1
unestimateuroptimalausensdecerisque.R(T)R(b)pourtoutestimateurbde.
204.3.1LabornedeCramer-Rao
B que H2etH3(cfSection3.2),ona,pourtoutbn2B0():
Var[bn]1
nI() nI()estnoteeKn().Denition.bn2B0()estditecacesiVar[bn]=1
nI()Exemple
Var[bn]=(1)
n.Var[bn]
Kn() tendvers1quandn!+1.Commentairesetcomplements
214.4L'estimateurdumaximumdevraisemblance
L(;x1;::::xi;:::;xn)=nY
i=1f(xi;)4.4.1Denition
b n(x)=Argmax2L(;x): oux=(x1:::;xi;:::;xn).4.4.2Remarques
n+1(cfTDNo2). 22devraisemblance,bn(x)estsolutionde: @L(;x)=0; etesttelque: 2 @2L(;x)<0 aupoint=bn(x).
Commentaire
l'E.M.V.doitsefaire\alamain".Theoreme.Onfaitleshypothesessuivantes.
-estunouvertdeIR. @f(x;)existe8x,8 -8,8x,f(x;)>0 -an1xe(maisquelconque)bnestunique. 23Theoreme.Onsupposedeplusque:
@2 -0Af(x;)dxparrapporta.Alorssoustoutesceshypotheses
p n(bn)loi!N0;1I()
4.5L'estimateurdesmoments
nP n i=1Xki.LaLeprincipedelamethodeestlasuivante.
j=gj(1;:::;j;:::;J) j=hj(1;:::;j;:::;J) ditonprend: b j=hj(M1;:::;Mj;:::;MJ)(j=1;::J): 24Commentaire
demomentscentresetnoncentres.Exemple
:estimationdesparametresdelaloiBeta. f(x)=1B(a;b)xa1(1x)b11I[0;1](x)
Onmontreque:
E[X]=a
a+betVar[X]=ab(a+b)2(a+b+1)Onveriefacilementque:
a=E(X)"E(X)[1E(X)]Var(X)
Var(X)#
etb=[1E(X)]"E(X)[1E(X)]Var(X)Var(X)#
ba=Xn"Xn[1Xn]V2n
V2n# et bb=[1Xn]"Xn[1Xn]V2n V2n# ou V 2n=1 nn X i=1(XiXn)2 designelemomentempiriquecentred'ordre2. 25(typiquement95%),leparametreinconnu.
5.1Denition,exempleetcommentaires
P([T1;T2]3)=1
Exemple
loinormaledemoyenne.PartantdeXnN(;1n)ilesffaciledeverierque:
PXn1pnz12;Xn+1pnz12
3 =1 ouz1P(Zza)=aouZN(0;1).Donc
Xn1pnz12;Xn+1pnz12
26P
Xn1pnz12Xn+1pnz12
=1Commentaires
P2[T1(x);T2(x)]=1
27dependpasde. u inequation u
1h(X1:::;Xi;:::;Xn;)u2(1)
detellesorteque(1)soitequivalenta: g1(X1:::;Xi;:::;Xn)g2(X1:::;Xi;:::;Xn);
ExempleNo1
connue).Lafonction Xn =pnestpivotalepourpuisque: Xn =pnN(0;1)ExempleNo2
XN(;)ouestconnueet=2.Lafonction12Pn
i=1(XiXn)2estpivotalepour puisque: 1 2n X i=1(XiXn)22(n1)ExempleNo3
nestasymptotique- 28Xnq nloi !N(0;1)quandn!+1 ulier. .Partantde Xn =pnN(0;1) ona: P z 1 Xn =pnz12 =1 clairque: z11 Xn =pnz12()I=Xnpnz12;Xn+pnz11 3 est fournieparleresultatsuivant. 29
d'ordre1
2def(x).
Parconsequent:c'estl'intervalledeconance
Xnpnz12;Xn+pnz12
z 12estfourniparlestablesstatistiques.
5.3Intervallesdeconanceclassiques
est`grand'.5.3.1LaloideXestnormaleN(;2)
niveaudeconance1pourestXnpnz12;Xn+pnz12
etYsontindependantes,T=Z esttabulee).Comme Z= Xn =pnN(0;1) 30etque:
Y=(n1)S2n
22(n1)
ou Squotesdbs_dbs1.pdfusesText_1[PDF] information et création numérique
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