Applications linéaires matrices
https://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=exomaths:exercices_corriges_application_lineaire_et_determinants.pdf
Espaces vectoriels
Pascal lainé. 23. Allez à : Exercice 21. Correction exercice 22. 1. Une famille de 4 vecteurs dans un espace de dimension 3 est liée ce n'est pas une base. 2
Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 : Soit : → définie
est une application. (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective. Justifier.
Groupes anneaux
anneaux
Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1 : On donne 0
Pascal Lainé. 1. NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : On donne 0 un réel tel que : cos( 0) = 2. √5 et sin( 0) = 1. √5 . Calculer le module et l'argument de
Polynômes
Les racines complexes communes à et sont 1 de multiplicité 1 et −1 de multiplicité 2. Page 21. Polynômes. Pascal Lainé. 21. Allez à : Exercice 34.
Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 : Soient = {12
https://www.exoco-lmd.com/dlattach/?attach=525
RELATION BINAIRE
Montrer que est une relation d'équivalence dans ( ). Allez à : Correction exercice 21 : Page 5. Relation binaire. Pascal Lainé.
Fonctions élémentaires Pascal Lainé 1
Pascal Lainé. 1. Fonctions élémentaires. Exercice 1. Déterminer les limites de . lorsque → +∞ selon les valeurs de . Aller à : Correction exercice 1.
Logique
Pascal Lainé. 1. Logique. Exercice 1 : Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies
Applications linéaires matrices
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Groupes anneaux
anneaux
Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 : Soit : ? définie
est une application. (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective. Justifier.
Espaces vectoriels
Pascal lainé. 1. Espaces vectoriels. Exercice 1. Soient dans ?. 3 les vecteurs 1 = (11
RELATION BINAIRE
Montrer que est une relation d'équivalence dans ( ). Allez à : Correction exercice 21 : Page 5. Relation binaire. Pascal Lainé.
Arithmétique Pascal Lainé ARITHMETIQUE Exercice 1 : Étant
Pascal Lainé. ARITHMETIQUE. Exercice 1 : Étant donnés cinq nombres entiers consécutifs on trouve toujours parmi eux (vrai ou faux et pourquoi) :.
Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1 : On donne 0
Pascal Lainé. 6. Exercice 28 : Soit un nombre complexe de module et d'argument et soit son conjugué. Calculer. ( + )( 2 + .
Espaces vectoriels
Pascal lainé. 1. Espaces vectoriels. Exercice 1. Soient dans les vecteurs. et . La famille est-elle libre ? Allez à : Correction exercice 1. Exercice 2.
Logique
Pascal Lainé. 1. Logique. Exercice 1 : Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies
Polynômes
Pascal Lainé. 1. Polynômes. Exercice 1. Factoriser dans ?[ ] et dans ?[ ] le polynôme = ? . 8 + 2 4 ? 1. Allez à : Correction exercice 1.
(PDF) PASCAL LAINE ALGEBRE Nabil Hamriti - Academiaedu
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L'algèbre linéaire est présente dans tous les domaines des mathématiques (calcul diffé- rentiel calcul intégral théorie des nombres
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ailleurs (1) de modifier la construction de Schwarz de fkçon à pouvoir imposer aux surfaces Pw Limaçon de Pascal conchoïde du cercle p -s — Sa cosO
Exercices corriges Groupes anneaux corps Pascal Lainé 1 Groupes
Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Soit et la loi dans définie exercices corriges pdf Groupes anneaux corps Pascal Lainé 1 Groupes
liens - Gilles Dubois
Université de Lille (1) · Université de Lille (2) · exo-7 · Michel Quercia · Pascal Lainé - Licence Maths - Lyon 1 · CPGE Dupuy de Lôme
[PDF] Développements limités équivalents et calculs de limites
Pascal Lainé 1 Développements limités équivalents et calculs de limites Exercice 1 Déterminer le développement limité en 0 à l'ordre des fonctions
Pascal Lainé
1Ensembles-Applications
Exercice 1 :
Soit ݂ǣܫ՜ܬ
1. Donner des ensembles ܫ et ܬ
2. Donner des ensembles ܫ et ܬ
3. Donner des ensembles ܫ et ܬ
4. Donner des ensembles ܫ et ܬ
Allez à : Correction exercice 1 :
Exercice 2 :
Dire (en justifiant) pour chacune des applications suivantes si elles sont injectives, surjectives, bijectives :Allez à : Correction exercice 2 :
Exercice 3 :
Soit ؿܫԹ et ؿܬԹ, deux intervalles de Թ. Soit ݂ǣܫ՜ܬ1. Montrer que ݂ est injective.
2. ܭ tel que ݂ǣܫ՜ܭ
Allez à : Correction exercice 3 :
Exercice 4 :
1. ݂ est-elle injective ?
2. ݂ est-elle surjective ?
3. ݃ est-elle injective ?
4. ݃ est-elle surjective ?
Allez à : Correction exercice 4 :
Exercice 5 :
Soient
Où ܧ
Les fonctions sont-elles injectives, surjective ? Comparer ݂ל݃ et ݃לAllez à : Correction exercice 5 :
Exercice 6 :
Soit ݂ une application de ܧ vers ܧ
Montrer que ݂ est surjective.
Pascal Lainé
2Allez à : Correction exercice 6 :
Exercice 7 :
݂ǣԳ՜Գ définie pour tout ݊א1. Existe-t-il ݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫ
2. Existe-t-il ݄ǣԳ՜Գ telle que :݄ל݂ൌܫ
Allez à : Correction exercice 7 :
Exercice 8 :
1. Existe-t-il une fonction ݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ
2. Existe-t-il une fonction ݄ǣԺ՜Ժ telle que ݄ל݂ൌܫ
Allez à : Correction exercice 8 :
Exercice 9 :
Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes (i) ݂ est injective (ii) ݂ est surjective (iii) ݂ est bijectiveAllez à : Correction exercice 9 :
Exercice 10 :
Répondre aux questions qui suivent, en justifiant, le cas échéant, votre réponse par un bref argument, un
calcul ou un contre-exemple.1. Si les applications ݑǣԳ՜Ժ et ݒǣԺ՜Գ ݑלݒל
aussi bijective. Vrai ou Faux, justifier.(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni
injectiveJustifier.
euclidienne de ݈ par ݊ est une application.(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni
injectiveJustifier.
4. Soient ܽǡܾǡܿǡ݀אԺ tels que ܽ݀െܾܿ
Allez à : Correction exercice 10 :
Exercice 11 :
Montrer que :
Pascal Lainé
3 a. Montrer que ݂ est injective ? b. ݂ est-elle surjective ?Allez à : Correction exercice 11 :
Exercice 12 :
Pour un entier ݊אԳ on désigne par ܫ2. A quelle condition portant sur les entiers ݉ et ݊ peut-on définir une application ݂ǣܫ՜ܫ
injective, surjective, bijective ?Allez à : Correction exercice 12 :
Exercice 13 :
Soient ܨ, ܧ et ܩ trois ensemble et soient ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܩ1. Montrer que si ݂ et ݃ sont injectives alors ݃ל
2. Montrer que si ݂ et ݃ sont surjectives alors ݃ל
3. Que peut-on conclure sur ݃ל
4. Montrer que si ݃ל
5. Montrer que si ݃ל
6. Si à présent ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܧ
suivants : a. ݃ל݂ൌܫ b. ݂ל݃ൌܫ c. ݂ל݂ൌܫAllez à : Correction exercice 13 :
Exercice 14 :
1. Montrer que si ݂ admet au moins une section alors ݂ est surjective.
2. Montrer que toute section de ݂ est injective.
Une application ݎ, de ܻ dans ܺ, telle que ݎל݂ൌܫ3. Montrer que si ݂ possède une rétraction alors ݂ est injective.
4. Montrer que si ݂ est injective alors ݂ possède une rétraction.
5. Montrer que toute rétraction de ݂ est surjective.
Allez à : Correction exercice 14 :
Exercice 15 :
Allez à : Correction exercice 15 :
Exercice 16 :
Pascal Lainé
4Allez à : Correction exercice 16 :
Exercice 17 :
Soit ݂ǣܦ
1. Représenter ܦ
b. Montrer que ݂ est injective, on pourra se ramener au système du 2.a..3. Est-ce que ݂ est surjective ?
Allez à : Correction exercice 17 :
CORRECTIONS
Correction exercice 1 :
Allez à : Exercice 1 :
Correction exercice 2 :
Une fonction est bijective si et
bijective.݂ est bijective.
Pascal Lainé
5 ݃ est une bijection strictement croissante de Թ sur Թ, par conséquent pour tout ݕא unique ݔא On va étudier (sommairement) cette fonction et dresser son tableau de variation. Les seules bijections de ؿܧԹ sur ؿܨԹ ܧ est ܨPour tout ݕאԹ il existe ݔא
Pour tout ݕא
autres ݕLe " ݔସ ݔ ».
Pour tout ݕെଷ
య, ݕ admet deux antécédents, ݇ est ni surjective ni injective.Pascal Lainé
6Allez à : Exercice 2 :
Correction exercice 3 :
1.Donc ݂ est injective.
Allez à : Exercice 3 :
Correction exercice 4 :
1.Donc ݂
Donc pour tout א
݂ est surjective.
3.Donc ݃ est injective.
AlorsCe qui équivaut à
Allez à : Exercice 4 :
Correction exercice 5 :
݂ est injective.
ͳ ݊ tel que ͳൌ-݊, ݂
injective. Pour tout ݕൌ݊אԳ ݔൌ-݊א que :݃ est surjective.
Si ݊ est pair, il existe א
Si ݊ est impaire, il existe א
Pascal Lainé
7Que ݊ soit paire ou impaire
Remarque :
Comme on le voit sur cet exemple, il ne suffit pas que ݃ל de ݂݂ଵǣܧ՜ܧAllez à : Exercice 5 :
Correction exercice 6 :
Allez à : Exercice 6 :
Correction exercice 7 :
݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫAllez à : Exercice 7 :
Correction exercice 8 :
݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ Soit ݄ la fonction définie, pour tout אAllez à : Exercice 8 :
Correction exercice 9 :
On suppose que ݂ est injective, on va montrer que ݂ est surjective. pas injective.Soit ݂ܨא ݁ܧא
݁భ്݁మ donc ݂
Pascal Lainé
8 On suppose que ݂ est surjective et on va montrer que ݂ est injective. -à-݂ ors ݂ pas surjective. ݊െͳ éléments et le second ݊ donc il existe un ݂ montre que ݂ surjective. montrer les trois équivalences.Allez à : Exercice 9 :
Correction exercice 10 :
Cela montre que ݑלݒל
Car ݑ est injective
Car ݒ est injective
Car ݑ est injective
Finalement ݑלݒל
2. ݂
oduit de facteur premier entraine que ܽൌܽᇱ, ܾܾᇱ et ܿൌܿ
Donc ݂ est injective et pas surjective.
Donc ߮
Donc ߮
Premier cas ܽ
Pascal Lainé
9 Si ܽൌ-, alors ܾܿൌെͳ, en particulier ܾ Ce sont les mêmes formules que dans le cas où ܽAllez à : Exercice 10 :
Correction exercice 11 :
1. 2.Pascal Lainé
10Cela montre que ଵ
Finalement
Ce qui montre que ݂ est injective.
b. Regardons si ͳאCe qui équivaut à
Mais ଵ
Allez à : Exercice 11 :
Correction exercice 12 :
1. Première méthode : raisonnons par récurrence
applications injectives de plus. applications injectives de plus.Deuxième méthode :
2. ݂ǣܫ՜ܫ
tous distincts par conséquent ݉݊.Remarque :
Supposons que ݂ est surjective.
plusieurs images), par conséquent ݊݉.Pascal Lainé
11Pour que ݂ soit bijective il faut (et il suffit) que ݂ soit injective et sujective, par conséquent il
faut que ݉݊ et que ݊݉, autrement dit il faut que ݉ൌ݊.Remarque :
Allez à : Exercice 12 :
Correction exercice 13 :
Car ݃ est injective
Car ݂ est injective.
Donc ݃ל
2. Première méthode :
Pour tout ݖܩא il existe ݕܨא
Comme pour tout ݕܨא il existe ݔܧא surjective.Remarque :
(b) Si on commence par écrire " pour tout ݕܨא il existe ݔܧאDeuxième méthode :
que ݃ל3. Si ݃ et ݂ sont bijectives alors elles sont injectives et ݃ל
alors elles sont surjectives et ݃ל݂ est surjective, on en déduit que ݃לCar ݃ל
5. Première méthode :
Pour tout ݖܩא, il existe ݔܧא tel que ݖൌ݃לDeuxième méthode :
Ce qui montre que ݃ est surjective.
6. a. ݃ל݂ൌܫPascal Lainé
12Remarque :
b. ݂ל݃ൌܫ c. ݂ל݂ൌܫ Par conséquent ݂ est bijective et ݂ିଵൌ݂.Allez à : Exercice 13 :
Correction exercice 14 :
݂ est injective.
4. Pour tout ݔܺא
de ܺ valeur dans ܺ tous la même valeur).Pour tout ݔܺא
ݎ est bien une rétraction de ݂.
Remarque :
5. Pour tout ݔܺא
Cela montre que ݎ est surjective.
Remarque :
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