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La géométrie des tétraèdres

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  • Quelle est la formule pour calculer le volume d'un tétraèdre ?

    On rappelle que le volume d'un tétra?re est donné par la formule ? = 1 3 ? × ?, où ? est l'aire d'une base du tétra?re et ? la hauteur correspondante.

  • Quelle est la base d'un tétraèdre ?

    Le tétra?re ?est une pyramide à base triangulaire. Par contre, on parlera de tétra?re régulier lorsque les faces de cette pyramide sont des triangles équilatéraux isométriques.
  • En géométrie, le tétra?re régulier est un tétra?re dont les 4 faces sont des triangles équilatéraux. Il poss? 6 arêtes et 4 sommets.

La géométrie des tétraèdres

Philippe TILLEUIL

Collège Sainte Marie - Mouscron

S.B.P.M. - 27 août 2013

Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20131 / 63

Résumé

La géométrie des tétraèdres

L"exposé sera consacré à quelques problèmes concernant la géométrie des tétra- èdres (quelconques), en commençant par les comparer à des questions analogues pour les triangles du plan. Ce sera l"occasion de se promener à travers quelques points d"histoire de cette géométrie, et aussi d"en esquisser quelques prolongements actuels. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20132 / 63

Introduction

De quoi sera-t-il question(s)?

On va discuter de la manière detransposerdes idées, desdé- finitions, des propriétés de la géométrie plane pour développer des idées, desdéfinitionset des propriétés de la géométrie dans l"espace.Plus précisément, la géométrie (élémentaire) des triangles est-elle un (bon)modèlede la géométrie (élémentaire) des tétraèdres?En bref :

Beaucoup de questions!

Quelques réponses ...

La question de la méthode ...

Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20133 / 63

Introduction

Y a t-il une histoire?

Ça remonte (évidemment) à Euclide ...

Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20134 / 63

Introduction

... et Archimède, Euler, etc. Mais laissons parler un " débutant » : "Les pyramides triangulaires tiennent, par leur simplicité, parmi les corps solides le même rang que les triangles parmi les figures planes; car de même que toute figure plane rectiligne peut être regardée comme composée de triangles, de même aussi tout corps solide terminé par des plans peut être supposé formé de pyramides triangulaires; mais si les Géomètres se sont toujours beaucoup occupés de l"étude des triangles et n"ont cessé d"en approfondir les propriétés, ils n"ont fait, ce me semble, qu"effleurer celles des pyramides triangulaire; et des principaux Problèmes qu"on peut proposer sur ces sortes de solides, il n"y en a encore qu"un très-petit nombre qui ait été résolu ... »J. L. Lagrange (1736-1813)

Solutions analytiques de quelques problèmes

sur les pyramides triangulaires- Nouveaux mémoires de l"Académie Royale des Sciences et

Belles-Lettres de Berlin (1773).

Cela deviendra unleitmotiv.Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20135 / 63

Introduction

De 1773 à 1965(!), il se passe bien des choses concernant la géométrie du

tétraèdre et, plus généralement, la géométrie dans l"espace :dans un grand nombre de revues :

les Annales de Gergonne, les Annales Scientifiques de l"Ecole Normale Supérieure, le Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (ou Journal de Liouville), les Nouvelles Annales de Mathématiques, le Bulletin de la Société Mathématique de France, l"Ensei- gnement Mathématique, les Commentarii Mathematici Helvetici, le Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ou Journal de Crelle), les Mathematische Annalen, le Jah- resbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, l"Archiv der Mathematik und Physik (ou Archives de Grünert), les Elemente der Mathematik, le Duke Mathematical Journal, The Analyst/Annals of Mathematics, l"American Mathematical Monthly, les Philosophical Transactions of the Royal Society of London, le Tohoku Mathematical Journal, Mathesis (1881-1915 & 1922-1965), etc. (!Digizeitschriften, Project Euclid,

NUMDAM, Gallica, JSTOR,etc.)Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20136 / 63

Introduction

et dans beaucoup de livres : Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20137 / 63

Introduction

Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20138 / 63

Introduction

(!DML/Bielefeld, Gallica,

BookFinder,etc.)Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20139 / 63

Introduction

Un exemple ... exemplaire

L"aire d"un triangle peut se définir en termes de puzzles,maisen général le volume d"un tétraèdre ne peut pas se définir ainsi! !Troisième problème de Hilbert (1900 - 1901 - 1965 - ...)Et maintenant? La géométrie du tétraèdre - et plus généralement, la géométrie de l"espace - a donc été (très) bien étudiée, avant de tomber dans l"oubli. En se plongeant dans la littérature qui s"y rapporte, on peut commencer à comprendre pourquoi :on ne s"y retrouve pas! Mais cela change, et il se passe actuellement des choses très intéressantes

en géométriedes petites dimensions.Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201310 / 63

Introduction

Mais dans une classe, à quoi tout cela sert-il? Un formidable réservoir de questions et de problèmes, de difficultés très variées. A distinguer : les questions de niveau " enseignement secondaire », et les questions -

élémentaires! - mais qui ne sont pas de ce niveau.La fabrication des images!Cabri 3DUn terrain d"expériences pour les idées et les méthodes :

l "importancede la géométrie des figures, l "intérêtd"une métho deinductive : les questions " naturelles », l acritique et la reconstruction de sdéfinitions, l aconvergence/divergence s ynthétique-vectoriel, e tc. (Re-)construire de la géométrie dans ma tête, avant d"essayer d"en intro- duire dans celle des élèves. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201311 / 63

Introduction

Au travail!

La géométrie des triangles est-elle un (bon)modèlede la géométrie des tétraèdres?Beaucoup de questions!

Quelques réponses ...

La question de la méthode ...

Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201312 / 63

Qu"est-ce qu"un tétraèdre?

Qu"est-ce qu"un tétraèdre?

Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201313 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Présentation des figurants

I. Présentation des figurants

@(ABC) =BCAC+AB@(ABCD) =BCDACD+ABDABCPhilippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201314 / 63

Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Des exemples

II. Des exemples

1. Qu"est-ce qui correspond à un triangle équilatéral?Un tétraèdre régulier ...

Question

Comment dessiner (correctement) un tétraèdre régulier? Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201315 / 63

Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Des exemples

II. Des exemples

1. Qu"est-ce qui correspond à un triangle équilatéral?Un tétraèdre régulier ...

Question

Comment dessiner (correctement) un tétraèdre régulier? Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201315 / 63

Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Des exemples

2. Qu"est-ce qui correspond à un triangle rectangle?Un tétraèdre trirectangle ...

Question

Quelle peut être la forme de la facenon triangle rectangled"un tétraèdre trirectangle?Question

Existe-t-il un tétraèdre donttoutesles faces sont des triangles rectangles?Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201316 / 63

Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Des exemples

... ou un tétraèdre quadrirectangle, ou orthoschème Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201317 / 63

Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Des exemples

3. Qu"est-ce qui correspond à un triangle isocèle ... ou équilatéral?

Si on s"intéresse aux propriétés des faces, ou des arêtes ...Question

Caractériser les tétraèdres dont les périmètres des faces triangulaires sont constants.

Question

Caractériser les tétraèdres dont les aires des faces triangulaires sont constantes.

!tétraèdresisocèles, ouéquifaciaux.Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201318 / 63

Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Des exemples

4. PérilsLa botanique des tétraèdres se révèle celle d"une jungle, dans laquelle

il est prématuré - ou même dangereux! - de trop s"aventurer.Le foisonnement des détails, propriétés remarquables, etc. a, de plus,

probablement tué le sujet (cfr. la période après 1900 ...)

5. Des contre-exemples, pour d"autres questionsQu"est-ce qu"un polyèdre régulier convexe?

Un tétraèdre isocèle a toutes ses faces isométriques; le " double tétraèdre régulier » n"est

formé que de triangles équilatéraux, etc.Tous les polyèdres sont-ilstétraédralisables, comme le pensait

Lagrange?

Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201319 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Un fantôme précieux

III. Un fantôme précieux

Un cube permet de réaliser un représentation fidèle - et utile! - d"un tétraèdre régulier.Cela n"est pas limité au tétraèdre régulier!

C"est ce qu"on appelle le

parallélipipède-enveloppe du tétraèdre.

Il n"a pas de " correspon-

dant triangulaire »! Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201320 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Un fantôme précieux Le parallélipipède-enveloppe d"un tétraèdre mérite qu"on s"y intéresse : il est utile!Question Dessiner et caractériser le parallélipipède-enveloppe d"un tétraèdre trirectangle.

Question

Dessiner et caractériser le parallélipipède-enveloppe d"un tétraèdre quadrirectangle.

Question

Caractériser le parallélipipède-enveloppe d"un tétraèdre isocèle. Le parallélipipède-enveloppe parle aux arêtes gauches du tétraèdre! Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201321 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Plus simple qu"un tétraèdre?

IV. Plus simple qu"un tétraèdre?

Un tétraèdre est formé de 3quadrilatères gauchesqui sont " bien enchaînés ». Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201322 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Plus simple qu"un tétraèdre? Heureusement, les arêtes d"un quadrilatère gauche sont aussi gauches que le quadrilatère ...... et permettent de retrouver le tétraèdre qui se cache derrière le quadrilatère. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201323 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Plus simple qu"un tétraèdre?

1. Un peu de caractérisations

Dans toutes les questions suivantes, on ne s"intéresse qu"aux quadrilatères gauchesnon dégénérés, c"est-à-dire non plans.Question

Caractériser les quadrilatères gauches dont tous les angles sont droits, et les côtés opposés

sont égaux.Caractériser les quadrilatères gauches dont tous les angles sont droits.

Question

Caractériser les quadrilatères gauches dont 3 angles sont droits, et un couple de côtés opposés sont égaux.Caractériser les quadrilatères gauches dont 3 angles sont droits. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201324 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Plus simple qu"un tétraèdre? Dans le plan, les angles opposés d"un parallélogramme sont égaux - et donc supplémentaires! - et cela suffit à caractériser un parallélogramme.Question Caractériser les quadrilatères gauches dont les angles opposés sont égaux et

supplémentaires.Caractériser les quadrilatères gauches dont les angles opposés sont égaux.

Un tétraèdre équifacial est un bon sujet d"expérience pour cette question.

Mais on peut construire des quadrilatères gauches dont les angles opposés sont égaux et dont

tous les côtés sont de longueurs différentes. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201325 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Plus simple qu"un tétraèdre?

2. Un peu de généralisationsUn classique : le parallélogramme (plan) médian. C"est un fantôme du

fantôme! Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201326 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Plus simple qu"un tétraèdre? " CACAC » est uncritère d"isométriedes quadrilatères plans. Pour les quadrilatères gauches, il faut le faire évaluer en : " CA C DAC ».Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201327 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Plus simple qu"un tétraèdre? La somme des angles (intérieurs) d"un quadrilatère gauchen"estpas constante, et les exemples ne manquent pas! Une relation élémentaire, qui réduit pas mal de questions :

0

Question

Si on choisit un point sur chaque côté d"un quadrilatère gauche, à quelle(s)

condition(s) ces 4 points sont-ils coplanaires?Si les côtés opposés d"un quadrilatère gauche sont égaux, il possède

unaxede symétrie.Etc. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201328 / 63

Anatomie d"un tétraèdre

Anatomie d"un tétraèdre

Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201329 / 63 Anatomie d"un tétraèdreQu"est-ce qui détermine un tétraèdre?

I. Qu"est-ce qui détermine un tétraèdre?

Le modèle : les cas d"isométrie des triangles (CCC:::;CAC;ACA).Une adaptation : quelques cas d"isométrie des tétraèdres.

P resqueévident : CCCCCC . ..

U nair connu : CA

C DAC

L ecas " vecto riel» : CA CACAQuestion

Construire le tétraèdre pour lequelb=c=d=1etb0=c0=d0=0;55.Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201330 / 63

Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre!

II. Il y a trop d"angles dans un tétraèdre!

Dans un triangle, il y a 3 angles (intérieurs), et

Pangleintérieur=.

1. Les 22 candidatsLes angles " tout à fait plans » : ce sont les angles (intérieurs) de

face, aux sommets du tétraèdre.

Il y en a 34=12.

On a évidemment :

Xangleintérieurde face=4Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201331 / 63

Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre! Les angles " dans l"espace mais plans » : ce sont lesangles dièdresle

long des arêtes du tétraèdre. Il y en a donc 6.Comme 66=5, il devrait y avoir une relation ...Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201332 / 63

Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre! Les angles " tout à fait dans l"espace » : ce sont lesangles trièdres

aux sommets du tétraèdre. Il y en a donc 4.Dans un trièdre, il y a tout : angles de face et dièdres! CACACA)les angles de face

doivent déterminer les angles dièdres. Et la réciproque est vraie. Les angles trièdres pourraient correspondre aux angles (intérieurs) d"un triangle... Pour que ce soit intéressant, Il faut savoir les mesurer. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201333 / 63 Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre!

2. L"angle solide

Comme un angle trièdre est " tout à fait dans l"espace », il possède une mesure appropriée, analogue à la mesure d"angle sur le cercle : c"est l"angle

solide.(D) =b+c+d0Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201334 / 63

Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre! Deux trièdres de même angle solide ne sont donc pas nécessairement isométriques. ... Mais ils sontéquidécomposables! Lasommedes angles solides d"un tétraèdre est-elle constante?Question

Calculer la somme des angles solides

d"un tétraèdre régulier; d"un tétraèdre trirectangle " cubique »; d"un tétraèdre quadrirectangle " cubique ».

12Arc cos13

4=2;205142394:::6Arc cosp3

3 =2;590307055:::23

=2;094395102:::.Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201335 / 63

Anatomie d"un tétraèdreUne petite merveille ...

III. Une petite merveille ...

1. ... Dans un triangle!

a! b cLesvecteurs (unitaires) normaux extérieurs1

èresrelations :

!b;!c=A Etc.2

èmerelation :

!b;!c+\!c;!a+\!a;!b=23

èmerelation :

a!a+b!b+c!c=!0Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201336 / 63

Anatomie d"un tétraèdreUne petite merveille ...

Pourquoi est-ce merveilleux?Les 1

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