La géométrie des tétraèdres
Qu'est-ce qui correspond à un triangle isocèle . . . ou équilatéral ? Si on s'intéresse aux propriétés des faces ou des arêtes . . . Question. Caractériser les
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Sur les systèmes desmiques de trois tétraèdres
PREMIÈRES PROPRIÉTÉS D'UN SYSTÈME DESMIQUE DE TROIS TÉTRAÈDRES. sions un couple de droites G un couple d'arêtes d'un tétraèdre
AUTOUR DU TÉTRAÈDRE RÉGULIER
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Volume dun tétraèdre
Le volume d'un tétraèdre (pyramide à base triangulaire) est égal au tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur. V = 1. 3. ×B×h. La base est l'une des
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SUR LE TÉTRAÈDRE DONT LES ARÊTES OPPOSÉES SONT
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Métropole juin 2018
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t2 dt = 1 3 A h On peut maintenant calculer le volume de nos deux polyèdres réguliers — Le tétraèdre régulier est une pyramide dont la base est un triangle
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Étudier la propriété suivante : Dans un tétraèdre quelconque et en particulier dans un bicoin les trois bimédianes sont concourantes en G qui est leur milieu
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Chaque sommet d'un tétraèdre est relié à tous les autres par une arête et de même chaque face est reliée à toutes les autres par une arête Ces
tétraèdre - Gerard Villemin - Free
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Quelle est la formule d'un tétraèdre ?
En fonction de la longueur a de l'arête, les formules suivantes permettent de calculer le volume V et l'aire A d'un tétra?re régulier : V = ?212a3. A = ?3a2.Quelle est la formule pour calculer le volume d'un tétraèdre ?
On rappelle que le volume d'un tétra?re est donné par la formule ? = 1 3 ? × ?, où ? est l'aire d'une base du tétra?re et ? la hauteur correspondante.Quelle est la base d'un tétraèdre ?
Le tétra?re ?est une pyramide à base triangulaire. Par contre, on parlera de tétra?re régulier lorsque les faces de cette pyramide sont des triangles équilatéraux isométriques.- En géométrie, le tétra?re régulier est un tétra?re dont les 4 faces sont des triangles équilatéraux. Il poss? 6 arêtes et 4 sommets.
Volume d'un tétraèdre
Rappel
Le volume d'un tétraèdre (pyramide à base triangulaire) est égal au tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur. V = 13×B×hLa base est l'une des 4 faces triangulaires.
La hauteur est la distance entre le sommet qui n'est pas sur la base et la base ; la hauteur est donc la longueur du segment joignant le sommet qui n'est pas sur la base à sa projection orthogonale sur la base.Dans l'espace muni du repère orthonormal (O,
⃗i, ⃗j, ⃗k) on considère les points : A(2 ; 4 ; 2), B(-4 ; 1 ; 2), C(0 ; 3 ; 8) et D(2 ; -1 ; 6). On se propose de calculer le volume du tétraèdre ABCD.1- Vérifier que les points B, C et D définissent un plan.
2- Soit H(-1 ; 1 ; 5). On veut montrer que H est la projection orthogonale de A dans le plan (BCD) ;
pour cela : a) Montrer que H est un point du plan (BCD). b) Montrer que la droite (AH) est orthogonale au plan (BCD).3- Soit I le milieu de [CD]. Montrer que les droites (BI) et (CD) sont perpendiculaires, puis calculer
l'aire du triangle BCD.4- Calculer le volume du tétraèdre ABCD.h
BVolume d'un tétraèdre
Dans l'espace muni du repère orthonormal (O, ⃗i, ⃗j, ⃗k) on considère les points :
A(2 ; 4 ; 2), B(-4 ; 1 ; 2), C(0 ; 3 ; 8) et D(2 ; -1 ; 6). On se propose de calculer le volume du tétraèdre ABCD.1- Vérifier que les points B, C et D définissent un plan.
On a⃗BC(4, 2, 6) et ⃗BD(6, -2, 4). S'l existait un réel k tel que ⃗BD=k⃗BC on aurait à la
fois 4k = 6 et 2k = -2 ; k devrait être égal à la fois à 1,5 et à -1 ce qui est impossible. Les
vecteurs ⃗BC et ⃗BD ne sont donc pas colinéaires, ce qui montre que les points B, C et D définissent bien un plan.2- Soit H(-1 ; 1 ; 5). On veut montrer que H est la projection orthogonale de A dans le plan (BCD) ;
pour cela : a) Montrer que H est un point du plan (BCD).a droite (AH) est orthogonale au plan (BCD). b) Montrer que la droite (AH) est orthogonale au plan (BCD). a) Cherchons deux réels k et l tels que ⃗BH=k⃗BC+l⃗BD. On a ⃗BH(3 ; 0 ; 3). D'où : {3=4k+6l0=2k-2l
3=6k+4l ⇔ {3=10l
k=l3=10l ⇔ {k=3
10 l=310. Ainsi
⃗BH=310⃗BC+3
10⃗BD.
Les vecteurs
⃗BH, ⃗BC et ⃗BD sont coplanaires, le point H appartient donc au plan (BCD). b) On a ⃗AH(-3 ; -3 ; 3). Ainsi : ⃗AH⋅⃗BC=-3 × 4 -3 × 2 + 3 × 6 = -12 - 6 + 18 = 0 ⃗AH⋅⃗BD =-3 × 6 -3 × (-2) + 3 × 4 = -18 + 6 + 12 = 0Le vecteur
⃗AH est donc orthogonal aux vecteurs ⃗BC et ⃗BD qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD). Cela montre que la droite (AH) est orthogonale au plan (BCD).3- Soit I le milieu de [CD]. Montrer que les droites (BI) et (CD) sont perpendiculaires, puis calculer
l'aire du triangle BCD. On a I(1 ; 1 ; 7) car les coordonnées de I sont les moyennes des coordonnées de C et D. D'où ⃗BI(5 ; 0 ; 5) et ⃗CD(2 ; - 4 ; -2). Alors⃗BI⋅⃗CD= 5 × 2 + 0 × (-4) + 5 × (-2) = 10 - 10 = 0. Les vecteurs ⃗BI et ⃗CD sont
orthogonaux, donc (BI) ⊥ (CD).L'aire du triangle BCD est donc égale à
BI×CD
2.Or BI =
4- Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
Pour calculer le volume de ABCD on choisit le triangle BCD comme base. Comme H est la projection de A sur (BCD), la hauteur est AH.Or AH =
3= 30.
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